Алгебра 10 класс УМК Алимов. Дидактические материалы с решениями: Итоговая контрольная работа за курс 10 класса Вариант 1. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Итоговая Контрольная В1.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
Алгебра 10 класс Алимов
Итоговая контрольная. Вариант 1
Задание 1. Решите неравенство
\( x^2(2x + 1)(x — 3) \geq 0 \).
Решение.
1. Найдем нули каждого множителя:
* \( x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \) (двойной корень, знак не меняется).
* \( 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -0.5 \).
* \( x — 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \).
2. Отметим точки на числовой прямой в порядке возрастания: \(-0.5\), \(0\), \(3\).
3. Определим знак произведения на интервалах. Подставим пробное значение \( x = 1 \) (интервал \( (0; 3) \)):
* \( 1^2 = 1 > 0 \),
* \( 2\cdot1 + 1 = 3 > 0 \),
* \( 1 — 3 = -2 < 0 \).
Произведение: \( (+) \cdot (+) \cdot (-) = (-) \).
4. Чередуем знаки, помня, что в точке \( x = 0 \) знак не меняется (четная степень):
* \( (-\infty; -0.5) \): \( — \)
* \( (-0.5; 0) \): \( + \)
* \( (0; 3) \): \( — \)
* \( (3; +\infty) \): \( + \)
5. Неравенство нестрогое (\(\geq 0\)), включаем точки, где произведение равно нулю: \( x = -0.5 \), \( x = 0 \), \( x = 3 \).
✅ Ответ: \( x \in [-0.5; 0] \cup [3; +\infty) \).
Задание 2.
а) Решите уравнение \( \sqrt{3x + 4} — \sqrt{x} = 2 \).
Решение.
1. ОДЗ: \( 3x + 4 \geq 0 \) и \( x \geq 0 \) \(\Rightarrow\) \( x \geq 0 \).
2. Уединим корень: \( \sqrt{3x + 4} = \sqrt{x} + 2 \).
3. Возведем обе части в квадрат:
\[
3x + 4 = x + 4\sqrt{x} + 4.
\]
Упрощаем: \( 3x + 4 = x + 4\sqrt{x} + 4 \) \(\Rightarrow\) \( 2x = 4\sqrt{x} \).
4. Делим на 2: \( x = 2\sqrt{x} \).
5. Возведем еще раз в квадрат: \( x^2 = 4x \) \(\Rightarrow\) \( x^2 — 4x = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x(x — 4) = 0 \).
6. Корни: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 4 \). Оба удовлетворяют ОДЗ.
Проверка:
* \( x = 0 \): \( \sqrt{0+4} — \sqrt{0} = 2 — 0 = 2 \) — верно.
* \( x = 4 \): \( \sqrt{12+4} — \sqrt{4} = \sqrt{16} — 2 = 4 — 2 = 2 \) — верно.
✅ Ответ: \( x = 0 \) и \( x = 4 \).
б) Решите уравнение \( 4^x — 3 \cdot 4^{x-2} = 52 \).
Решение.
1. Заметим, что \( 4^{x-2} = \frac{4^x}{4^2} = \frac{4^x}{16} \).
2. Подставим:
\[
4^x — 3 \cdot \frac{4^x}{16} = 52.
\]
3. Вынесем \( 4^x \) за скобки:
\[
4^x \left(1 — \frac{3}{16}\right) = 52 \quad \Rightarrow \quad 4^x \cdot \frac{13}{16} = 52.
\]
4. Умножим обе части на \( \frac{16}{13} \):
\[
4^x = 52 \cdot \frac{16}{13} = 4 \cdot 16 = 64.
\]
5. Так как \( 64 = 4^3 \), то \( 4^x = 4^3 \) \(\Rightarrow\) \( x = 3 \).
Проверка: \( 4^3 — 3 \cdot 4^{1} = 64 — 3 \cdot 4 = 64 — 12 = 52 \) — верно.
✅ Ответ: \( x = 3 \).
в) Решите уравнение \( \log_2 \frac{8}{x} — \log_2 \sqrt{2x} = -\frac{1}{2} \).
Решение.
1. ОДЗ: \( \frac{8}{x} > 0 \) и \( 2x > 0 \) \(\Rightarrow\) \( x > 0 \).
2. Используем свойства логарифмов:
\[
\log_2 \frac{8}{x} — \log_2 \sqrt{2x} = \log_2 \left( \frac{8}{x} : \sqrt{2x} \right) = \log_2 \frac{8}{x \sqrt{2x}}.
\]
3. Упростим аргумент:
\[
\frac{8}{x \sqrt{2x}} = \frac{8}{ \sqrt{2} \cdot x^{3/2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} \cdot x^{-3/2} = 4\sqrt{2} \cdot x^{-3/2}.
\]
4. Уравнение принимает вид:
\[
\log_2 (4\sqrt{2} \cdot x^{-3/2}) = -\frac{1}{2}.
\]
5. По определению логарифма:
\[
4\sqrt{2} \cdot x^{-3/2} = 2^{-1/2}.
\]
6. Заметим, что \( 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \). Тогда:
\[
4\sqrt{2} \cdot x^{-3/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
\]
7. Умножим обе части на \( \sqrt{2} \):
\[
4 \cdot 2 \cdot x^{-3/2} = 1 \quad \Rightarrow \quad 8 x^{-3/2} = 1.
\]
8. Отсюда \( x^{-3/2} = \frac{1}{8} \) \(\Rightarrow\) \( x^{3/2} = 8 \).
9. Возведем обе части в степень \( \frac{2}{3} \):
\[
x = 8^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4.
\]
Проверка:
* \( \log_2 \frac{8}{4} = \log_2 2 = 1 \).
* \( \log_2 \sqrt{2\cdot4} = \log_2 \sqrt{8} = \log_2 (2^{3/2}) = 3/2 \).
* \( 1 — 1.5 = -0.5 = -\frac{1}{2} \) — верно.
✅ Ответ: \( x = 4 \).
Задание 3. Сколько корней имеет уравнение
\[
2\cos^2 x — \sin\left(x — \frac{\pi}{2}\right) + \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = 0
\]
на промежутке \( (0; 2\pi) \)? Укажите их.
Решение.
1. Упростим каждое слагаемое.
* \( \sin\left(x — \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x \). Значит, \( -\sin\left(x — \frac{\pi}{2}\right) = \cos x \). В исходном уравнении стоит минус перед синусом, поэтому:
\[
— \sin\left(x — \frac{\pi}{2}\right) = -(-\cos x) = \cos x.
\]
Но в уравнении написано \( — \sin(…) \), поэтому это слагаемое равно \( \cos x \). (Проверим: \( -\sin(x-\pi/2) = -(-\cos x) = \cos x \)).
* \( \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\operatorname{ctg} x \). Тогда:
\[
\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{tg} x \cdot (-\operatorname{ctg} x) = -1.
\]
2. Уравнение принимает вид:
\[
2\cos^2 x + \cos x — 1 = 0.
\]
3. Сделаем замену \( t = \cos x \), \( t \in [-1; 1] \):
\[
2t^2 + t — 1 = 0.
\]
Дискриминант: \( D = 1 + 8 = 9 \). Корни:
\[
t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{-1 — 3}{4} = -1.
\]
4. Обратная замена:
* \( \cos x = \frac{1}{2} \) \(\Rightarrow\) \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \).
* \( \cos x = -1 \) \(\Rightarrow\) \( x = \pi + 2\pi k \).
5. Отберем корни на интервале \( (0; 2\pi) \):
* Из первой серии: \( x = \frac{\pi}{3} \) и \( x = \frac{5\pi}{3} \) (так как \( -\pi/3 + 2\pi = 5\pi/3 \)).
* Из второй серии: \( x = \pi \).
6. Всего 3 корня.
✅ Ответ: 3 корня: \( \frac{\pi}{3} \), \( \pi \), \( \frac{5\pi}{3} \).
Задание 4. Найдите целые решения системы неравенств:
\[
\begin{cases}
\left(\frac{1}{2}\right)^{-2x+1} > 32, \\[4pt]
\log_4 (x — 6)^2 \leq 1.
\end{cases}
\]
Решение.
1. Первое неравенство:
\[
\left(\frac{1}{2}\right)^{-2x+1} > 32.
\]
Заметим, что \( \left(\frac{1}{2}\right)^{-2x+1} = 2^{2x-1} \) (так как \( (1/2)^a = 2^{-a} \)).
Также \( 32 = 2^5 \). Получаем:
\[
2^{2x-1} > 2^5.
\]
Основание \( 2 > 1 \), поэтому знак неравенства сохраняется:
\[
2x — 1 > 5 \quad \Rightarrow \quad 2x > 6 \quad \Rightarrow \quad x > 3.
\]
2. Второе неравенство:
\[
\log_4 (x — 6)^2 \leq 1.
\]
ОДЗ: \( (x — 6)^2 > 0 \) \(\Rightarrow\) \( x \neq 6 \).
Так как \( 1 = \log_4 4 \), то:
\[
\log_4 (x — 6)^2 \leq \log_4 4.
\]
Основание \( 4 > 1 \), поэтому:
\[
(x — 6)^2 \leq 4.
\]
Извлекаем корень: \( |x — 6| \leq 2 \) \(\Rightarrow\) \( -2 \leq x — 6 \leq 2 \) \(\Rightarrow\) \( 4 \leq x \leq 8 \).
С учетом ОДЗ (\( x \neq 6 \)) получаем: \( x \in [4; 6) \cup (6; 8] \).
3. Пересечение решений:
Первое неравенство: \( x > 3 \).
Второе: \( x \in [4; 6) \cup (6; 8] \).
Пересечение: \( x \in [4; 6) \cup (6; 8] \).
4. Целые решения: \( 4, 5, 7, 8 \). ( \( 6 \) исключено, так как \( x \neq 6 \)).
✅ Ответ: \( 4, 5, 7, 8 \).
Вы смотрели: Алгебра 10 класс УМК Алимов. Итоговая контрольная работа 10 класс с ответами Вариант 1. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Итоговая Контрольная В1.