Алгебра 10 класс УМК Алимов. Дидактические материалы Шабунин Контрольная работа № 4 Логарифмическая функция Вариант 2. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Контрольная 4 В2.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
Алгебра 11 класс Алимов
Контрольная № 4. Вариант 2
Проверяемая тема: Логарифмическая функция
- № 1. Вычислить: 1) log_3 (1/27}; 2) (1/3)^{2 log_{1/3} 7};
3) log_2 56 + 2 log_2 12 – log_2 63. - № 2. В одной системе координат схематически построить графики функций y = log_4 x и y = 4^x.
- № 3. Сравнить числа log_{0,9} (1 ½) и log_{0,9} (1 1/3).
- № 4. Решить уравнение log_4 (2x + 3) = 3.
- № 5. Решить неравенство log_5 (x – 3) < 2.
- № 6. Решить уравнение log_3 (x – 8) + log_3 x = 2.
- № 7. Решить уравнение log_{√3} x + log_9 x = 10.
- № 8. Решить неравенство log^2_2 x – 3 log_2 x ≤ 4.
ОТВЕТЫ на Вариант 2
№ 1. Вычислить:
1) \( \log_3 \frac{1}{27} \)
2) \( \left( \frac{1}{3} \right)^{2 \log_{1/3} 7} \)
3) \( \log_2 56 + 2 \log_2 12 — \log_2 63 \)
Решение:
1) \( \log_3 \frac{1}{27} = \log_3 3^{-3} = -3 \)
2) \( \left( \frac{1}{3} \right)^{2 \log_{1/3} 7} = \left( \left( \frac{1}{3} \right)^{\log_{1/3} 7} \right)^2 = 7^2 = 49 \)
3)
\[
\log_2 56 + 2 \log_2 12 — \log_2 63
= \log_2 56 + \log_2 12^2 — \log_2 63
\]
\[
= \log_2 \frac{56 \cdot 144}{63}
\]
\[
\frac{56}{63} = \frac{8}{9}, \quad \frac{8}{9} \cdot 144 = 8 \cdot 16 = 128
\]
\[
\log_2 128 = \log_2 2^7 = 7
\]
✅ Ответ: 1) \(-3\); 2) \(49\); 3) \(7\).
№ 2. В одной системе координат схематически построить графики функций
\( y = \log_4 x \) и \( y = 4^x \).
Решение:
— \( y = \log_4 x \) — логарифмическая функция с основанием \(4>1\), возрастает, проходит через точки \((1,0)\), \((4,1)\), \((1/4,-1)\). Область определения \(x>0\).
— \( y = 4^x \) — показательная функция с основанием \(4>1\), возрастает, проходит через точки \((0,1)\), \((1,4)\), \((-1, 1/4)\).
Графики симметричны относительно прямой \(y=x\), так как функции взаимно обратны.
✅ Ответ. описание текстом: возрастающие кривые, симметричные относительно \(y=x\), одна проходит через \((1,0)\), другая через \((0,1)\)).
№ 3. Сравнить числа
\( \log_{0,9} \left( 1\frac12 \right) \) и \( \log_{0,9} \left( 1\frac13 \right) \).
Решение:
Основание \(0.9 \in (0,1)\) ⇒ логарифмическая функция убывает.
Сравним аргументы:
\( 1\frac12 = 1.5 \), \( 1\frac13 \approx 1.333\) ⇒ \(1.5 > 1.333\).
Для убывающей функции: большему аргументу соответствует меньшее значение логарифма.
\[
\log_{0,9} 1.5 < \log_{0,9} 1.333
\]
То есть
\[
\log_{0,9} \left( 1\frac12 \right) < \log_{0,9} \left( 1\frac13 \right)
\]
✅ Ответ:
\[
\log_{0,9} \left( 1\frac12 \right) < \log_{0,9} \left( 1\frac13 \right)
\]
№ 4. Решить уравнение \( \log_4 (2x + 3) = 3 \).
Решение:
По определению логарифма:
\[
2x + 3 = 4^3 = 64
\]
\[
2x = 61 \quad \Rightarrow \quad x = 30.5
\]
Проверка ОДЗ: \(2x+3 = 64 > 0\) — верно.
✅ Ответ: \(x = 30.5\)
№ 5. Решить неравенство \( \log_5 (x — 3) < 2 \).
Решение:
ОДЗ: \(x — 3 > 0 \Rightarrow x > 3\).
Основание \(5 > 1\) ⇒ знак неравенства сохраняется:
\[
x — 3 < 5^2 = 25
\]
\[
x < 28
\]
С учётом ОДЗ: \(3 < x < 28\).
✅ Ответ: \(x \in (3; 28)\)
№ 6. Решить уравнение \( \log_3 (x — 8) + \log_3 x = 2 \).
Решение:
ОДЗ: \(x > 8\) (так как \(x > 0\) и \(x — 8 > 0\)).
Сумма логарифмов:
\[
\log_3 [ (x — 8) \cdot x ] = 2
\]
\[
x(x — 8) = 3^2 = 9
\]
\[
x^2 — 8x — 9 = 0
\]
\[
D = 64 + 36 = 100, \quad x_{1,2} = \frac{8 \pm 10}{2}
\]
\[
x_1 = 9, \quad x_2 = -1
\]
\(x_2 = -1\) не входит в ОДЗ.
Проверка \(x = 9\): \(\log_3 1 + \log_3 9 = 0 + 2 = 2\) — верно.
✅ Ответ: \(x = 9\)
№ 7. Решить уравнение \( \log_{\sqrt{3}} x + \log_9 x = 10 \).
Решение:
ОДЗ: \(x > 0\).
Перейдём к основанию 3:
\[
\log_{\sqrt{3}} x = \frac{\log_3 x}{\log_3 3^{1/2}} = \frac{\log_3 x}{1/2} = 2 \log_3 x
\]
\[
\log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2}
\]
Уравнение:
\[
2 \log_3 x + \frac{1}{2} \log_3 x = 10
\]
\[
\left( 2 + \frac12 \right) \log_3 x = 10
\]
\[
\frac{5}{2} \log_3 x = 10 \quad \Rightarrow \quad \log_3 x = 4
\]
\[
x = 3^4 = 81
\]
Проверка ОДЗ: \(81 > 0\) — верно.
✅ Ответ: \(x = 81\)
№ 8. Решить неравенство \( \log^2_2 x — 3 \log_2 x \le 4 \).
Решение: ОДЗ: \(x > 0\).
Замена \(t = \log_2 x\):
\[
t^2 — 3t — 4 \le 0
\]
\[
(t — 4)(t + 1) \le 0 \quad \Rightarrow \quad t \in [-1, 4]
\]
\[
-1 \le \log_2 x \le 4
\]
Основание \(2 > 1\) ⇒
\[
2^{-1} \le x \le 2^4
\]
\[
\frac12 \le x \le 16
\]
С учётом ОДЗ \(x > 0\) получаем \(x \in [0.5, 16]\).
✅ Ответ: \(x \in \left[ \frac12; 16 \right]\)
Вы смотрели: Алгебра Алимов Контрольная 4 по теме ─ Логарифмическая функция. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 10 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.