Алгебра 10 класс УМК Алимов. Дидактические материалы Шабунин Контрольная работа № 5 Тригонометрические формулы Вариант 2. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Контрольная 5 В2.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
Алгебра 11 класс Алимов
Контрольная № 5. Вариант 2
Проверяемая тема: Тригонометрические формулы
- № 1. Вычислить: 1) sin 765°; 2) cos (19π/6).
- № 2. Вычислить cos α, если sin α = 0,3 и ─7π/2 < α < ─5π/2.
- № 3. Упростить выражение:
1) cos (α ─ β) ─ cos(α + β);
2) (cos (3π/2 ─ α) + cos (π + α)) / (2 sin (α ─ π/2) cos (─α) + 1). - № 4. Решить уравнение:
1) 2 sin (x/2) = 1 ─ cos x;
2) cos (3π/2 + x) cos 3 x ─ cos(π ─ x) sin 3x = ─1. - № 5. Докажите тождество: (tg α + ctg α) (1 ─ cos 4α) = 4 sin 2α.
ОТВЕТЫ на Вариант 2
№ 1. Вычислить: 1) sin 765°; 2) cos 19π/6.
Решение:
► 1) 765° = 765° ─ 2 × 360° = 765° ─ 720° = 45°
sin 765° = sin 45° = √2/2
► 2) 19π/6 = 19π/6 ─ 2π = 19π/6 ─ 12π/6 = 7π/6
cos 19π/6 = cos 7π/6 = cos(π + π/6) = ─cos π/6 = ─ √3/2
✅ Ответ: 1) √2/2; 2) ─√3/2.
№ 2. Вычислить \( \cos \alpha \), если \( \sin \alpha = 0,3 \) и \( -\frac{7\pi}{2} < \alpha < -\frac{5\pi}{2} \).
Решение:
Интервал:
\( -\frac{7\pi}{2} = -3.5\pi \), \( -\frac{5\pi}{2} = -2.5\pi \)
Вычтем \( 2\pi \):
\( -3.5\pi + 2\pi = -1.5\pi \) — это нижняя граница в приведённом виде,
\( -2.5\pi + 2\pi = -0.5\pi \) — верхняя граница.
То есть \( \alpha \) лежит в интервале \( (-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}) \) после приведения к \([0, 2\pi)\) или \((-2\pi, 0)\).
Приведём к стандартному интервалу \([0, 2\pi)\):
Добавим \( 2\pi \) к границам:
\( -\frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{\pi}{2} \)
\( -\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{3\pi}{2} \)
Значит, в обычных градусах \( \alpha \) лежит между \( 90^\circ \) и \( 270^\circ \) после сдвига на \( 2\pi \), но так как синус положителен (0,3), то угол находится во II четверти (90°…180°).
Проверим: в исходном интервале \( -\frac{7\pi}{2} < \alpha < -\frac{5\pi}{2 \) — это соответствует углам от \(-630^\circ\) до \(-450^\circ\).
Прибавим \( 720^\circ \) (два оборота): получим \( 90^\circ < \alpha’ < 270^\circ \).
Синус положителен в I и II четвертях, но I четверть здесь только \( 90^\circ \) (не включается, т.к. строго больше), а от \( 90^\circ \) до \( 180^\circ \) — II четверть, от \( 180^\circ \) до \( 270^\circ \) синус отрицателен.
Значит, угол во II четверти: \( 90^\circ < \alpha’ < 180^\circ \), косинус там отрицательный.
\[
\cos \alpha = -\sqrt{1 — \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 — 0.09} = -\sqrt{0.91}
\]
Ответ: \( \cos \alpha = -\sqrt{0.91} \)
№ 3. Упростить выражение:
1) \( \cos (\alpha — \beta) — \cos(\alpha + \beta) \)
2) \( \dfrac{\cos \left( \frac{3\pi}{2} — \alpha \right) + \cos (\pi + \alpha)}{2 \sin \left( \alpha — \frac{\pi}{2} \right) \cos (-\alpha) + 1} \)
Решение:
► 1) Используем формулу разности косинусов:
\( \cos p — \cos q = -2 \sin\frac{p+q}{2} \sin\frac{p-q}{2} \)
Здесь \( p = \alpha — \beta \), \( q = \alpha + \beta \)
\( \frac{p+q}{2} = \frac{\alpha — \beta + \alpha + \beta}{2} = \alpha \)
\( \frac{p-q}{2} = \frac{\alpha — \beta — \alpha — \beta}{2} = -\beta \)
Тогда \( \cos(\alpha — \beta) — \cos(\alpha + \beta) = -2 \sin \alpha \sin(-\beta) = 2 \sin \alpha \sin \beta \)
► 2) Упростим числитель:
\( \cos\left( \frac{3\pi}{2} — \alpha \right) = \cos\left( \frac{3\pi}{2} — \alpha \right) = -\sin \alpha \) (по формуле приведения)
\( \cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha \)
Числитель: \( -\sin \alpha — \cos \alpha \)
Знаменатель:
\( \sin\left( \alpha — \frac{\pi}{2} \right) = -\cos \alpha \)
\( \cos(-\alpha) = \cos \alpha \)
Тогда \( 2 \sin\left( \alpha — \frac{\pi}{2} \right) \cos(-\alpha) = 2 (-\cos \alpha)(\cos \alpha) = -2 \cos^2 \alpha \)
Знаменатель: \( -2 \cos^2 \alpha + 1 = 1 — 2\cos^2 \alpha = -\cos 2\alpha \)
Итак, дробь:
\( \dfrac{-\sin \alpha — \cos \alpha}{-\cos 2\alpha} = \dfrac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\cos 2\alpha} \)
\( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha = (\cos \alpha — \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha) \)
Тогда \( \dfrac{\sin \alpha + \cos \alpha}{(\cos \alpha — \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)} = \dfrac{1}{\cos \alpha — \sin \alpha} \)
✅ Ответ:
1) \( 2 \sin \alpha \sin \beta \)
2) \( \dfrac{1}{\cos \alpha — \sin \alpha} \)
№ 4. Решить уравнение:
1) \( 2 \sin \frac{x}{2} = 1 — \cos x \)
2) \( \cos \left( \frac{3\pi}{2} + x \right) \cos 3x — \cos(\pi — x) \sin 3x = -1 \)
Решение:
► 1) \( \cos x = 1 — 2\sin^2 \frac{x}{2} \)
Тогда \( 1 — \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2} \)
Уравнение: \( 2\sin \frac{x}{2} = 2\sin^2 \frac{x}{2} \)
\( 2\sin \frac{x}{2} — 2\sin^2 \frac{x}{2} = 0 \)
\( 2\sin \frac{x}{2} \left( 1 — \sin \frac{x}{2} \right) = 0 \)
а) \( \sin \frac{x}{2} = 0 \) ⇒ \( \frac{x}{2} = \pi n \) ⇒ \( x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)
б) \( 1 — \sin \frac{x}{2} = 0 \) ⇒ \( \sin \frac{x}{2} = 1 \) ⇒ \( \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \) ⇒ \( x = \pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z} \)
Проверка:
Для \( x = 2\pi n \): \( 2\sin(\pi n) = 0 \), \( 1 — \cos(2\pi n) = 1 — 1 = 0 \) — верно.
Для \( x = \pi + 4\pi k \): \( 2\sin\left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) = 2 \cdot 1 = 2 \),
\( 1 — \cos(\pi + 4\pi k) = 1 — (-1) = 2 \) — верно.
✅ Ответ 1: x = 2πn или x = π + 4πk, n, k ∈ Z
► 2)
\( \cos\left( \frac{3\pi}{2} + x \right) = \sin x \) (по формуле приведения: \( \cos(3\pi/2 + x) = \sin x \))
\( \cos(\pi — x) = -\cos x \)
Уравнение: \( \sin x \cos 3x — (-\cos x) \sin 3x = -1 \)
\( \sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x = -1 \)
\( \sin(x + 3x) = -1 \)
\( \sin 4x = -1 \)
\( 4x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m \)
\( x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{2}, \; m \in \mathbb{Z} \)
Проверка: подставим \( x = -\frac{\pi}{8} \):
\( \cos\left( \frac{3\pi}{2} — \frac{\pi}{8} \right) = \cos\left( \frac{12\pi}{8} — \frac{\pi}{8} \right) = \cos\frac{11\pi}{8} \)
Лучше проверить по формуле: \( \sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x = \sin 4x = \sin(-\pi/2) = -1 \) — верно.
✅ Ответ 2: x = ─π/8 + πm/2, m ∈ Z.
№ 5. Докажите тождество:
\[
(tg. \alpha + ctg. \alpha)(1 — \cos 4\alpha) = 4 \sin 2\alpha
\]
Решение. Левая часть:
\( tg. \alpha + ctg. \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} \)
\( 1 — \cos 4\alpha = 1 — (1 — 2\sin^2 2\alpha) = 2\sin^2 2\alpha \)
Но \( \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \), значит \( \sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin 2\alpha}{2} \)
Тогда \( \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2}{\sin 2\alpha} \)
Умножаем: \( \frac{2}{\sin 2\alpha} \cdot 2\sin^2 2\alpha = 4\sin 2\alpha \)
Что и равно правой части.
✅ Тождество доказано.
Итоговые ответы:
1. 1) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \); 2) \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
2. \( -\sqrt{0.91} \)
3. 1) \( 2\sin\alpha\sin\beta \); 2) \( \dfrac{1}{\cos\alpha — \sin\alpha} \)
4. 1) \( x = 2\pi n \) или \( x = \pi + 4\pi k, \; n,k\in\mathbb{Z} \);
2) \( x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{2}, \; m\in\mathbb{Z} \)
5. Доказано.
Вы смотрели: Алгебра Алимов Контрольная 5 по теме ─ Тригонометрические формулы. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 10 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.