Частная школа 10 класс

► 1) √2 sin x – 1 = 0
Решение: Переносим 1 вправо:
√2 sin x = 1
Делим на √2:
sin x = 1/√2 = √2/2
Общее решение:
x = π/4 + 2π k, x = 3π/4 + 2π k, k ∈ Z
✅ Ответ: x = π/4 + 2π k,x = 3π/4 + 2π k, k ∈ Z
► 2) tg(x/2) – √3 = 0
Решение: tan (x/2) = √3
Значение √3 тангенс принимает при угле π/3:
x/2 = π/3 + π n, n ∈ Z
Умножаем на 2:
x = 2π/3 + 2π n
✅ Ответ: x = 2π/3 + 2πn, n ∈ Z

Общее решение для cos α = 1/2:
x/2 = ± π/3 + 2π k
Умножаем на 2:
x = ± 2π/3 + 4π k
Теперь отбираем корни на [0; 4π].
Для x = 2π/3 + 4π k :
─ k = 0 : x = 2π/3 — подходит.
─ k = 1 : x = 2π/3 + 4π = 14π/3 > 4π — не подходит.
Для x = ─ 2π/3 + 4π k :
─ k = 0 : x = ─ 2π/3 — не входит.
─ k = 1 : x = ─ 2π/3 + 4π = 10π/3 — это 10π/3 ≈ 10.47, а 4π ≈ 12.56, подходит.
─ k = 2 : x = ─ 2π/3 + 8π = 22π/3 > 4π — не подходит.
Итак, корни: 2π/3 и 10π/3.
Проверка:
─ cos((2π/3)/2) = cos(π/3) = 1/2 — верно.
─ cos((10π/3)/2) = cos(5π/3) = cos(2π ─ π/3) = cos(π/3) = 1/2 — верно.
✅ Ответ: 2π/3, 10π/3.

► 1) sin² x – sin x = 0
Решение: Выносим sin x:
sin x(sin x ─ 1) = 0
Значит: sin x = 0 или sin x = 1
─ sin x = 0: x = π n
─ sin x = 1: x = π/2 + 2π n
✅ Ответ: x = πn, x = π/2 + 2πn, n ∈ Z

► 2) 10 cos² x + 3 cos x = 1
Решение. Переносим 1:
10cos² x + 3cos x ─ 1 = 0
Замена t = cos x :
10t² + 3t ─ 1 = 0
Дискриминант:
D = 9 + 40 = 49, √D = 7
Корни:
t = (─3 ± 7)/20
t₁ = 4/20 = 1/5, t₂ = (─10)/20 = ─ 1/2
Обратная замена:
► 1) cos x = 1/5: x = ± arccos 1/5 + 2π n
► 2) cos x = ─ 1/2: x = ± 2π/3 + 2π n
✅ Ответ: x = ± arccos 1/5 + 2πn, x = ± 2π/3 + 2πn, n ∈ Z

► 3) 5 sin x + cos x = 5
Решение:
Воспользуемся методом вспомогательного угла. Делим на √{5² + 1²} = √26:
5/√26 sin x + 1/√26 cos x = 5/√26
Пусть cos φ = 5/√26, sin φ = 1/√26. Тогда:
sin(x + φ) = 5/√26
Заметим, что 5/√26 > 1? Нет, √26 ≈ 5.099, 5/5.099 ≈ 0.98 — меньше 1, значит решение есть.
Общее решение:
x + φ = arcsin 5/√26 + 2π k или x + φ = π ─ arcsin 5/√26 + 2π k
Но можно проще: выражение 5sin x + cos x максимум √26 ≈ 5.099, минимум ─5.099. 5 достигается. Найдём точное значение через arctg: φ = arctg 1/5.
Тогда:
x = arcsin 5/√26 ─ arctg 1/5 + 2π k
или
x = π ─ arcsin 5/√26 ─ arctg 1/5 + 2π k
Проверим частный случай: если sin x = 1, cos x = 0, то 5• 1 + 0 = 5 — подходит. Значит x = π/2 + 2π k — одно из решений.
Действительно, arcsin 5/√26 = arctg 5/1? Нет, но заметим: при x = π/2:
5 • 1 + 0 = 5
Проверим, подходит ли это под формулу: φ = arctg(1/5), sin(π/2 + φ) = cosφ = 5/√26 — не равно 5/√26? Равно, так как cosφ = 5/√26. Значит x = π/2 входит в первую серию.
Второй корень: x = π ─ arcsin 5/√26 ─ arctg 1/5. Но проще записать так.
✅ Ответ: x = π/2 + 2πk, x = π ─ 2arctg 1/5 + 2πk, k ∈ Z

► 4) sin⁴ x + cos⁴ x = sin² 2x – 1/2
Решение. Используем:
sin⁴ x + cos⁴ x = (sin² x + cos² x)² ─ 2sin² x cos² x = 1 ─ 1/2sin² 2x
Также sin² 2x = 4sin² x cos² x.
Подставляем:
1 ─ 1/2sin² 2x = sin² 2x ─ 1/2
Переносим:
1 + 1/2 = sin² 2x + 1/2sin² 2x
3/2 = 3/2sin² 2x
Делим на 3/2:
sin² 2x = 1
Значит: sin 2x = ± 1
Отсюда:
2x = π/2 + π n ⇒ x = π/4 + π n/2
Проверка: подставим x = π/4:
─ sin⁴ + cos⁴ = (√2/2)⁴ + (√2/2)⁴ = 1/4 + 1/4 = 1/2
─ sin²2x ─ 1/2 = sin²(π/2) ─ 1/2 = 1 ─ 1/2 = 1/2 — верно.
✅ Ответ: x = π/4 + π n/2, n ∈ Z