Алгебра 10 класс УМК Алимов. Дидактические материалы с ответами: Контрольная работа Тригонометрические выражения и уравнения Варианты 1-2. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Контрольная 7 В12.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
Алгебра 10 класс Алимов
Контрольная работа № 7
Проверяемая тема: Тригонометрические выражения и уравнения
Вариант 1
№ 1. Вычислить, отметив угол на окружности:
a) \(\cos 510^\circ\);
б) \(\sin \frac{19\pi}{6}\);
в) \(\cos \left(-\frac{11\pi}{3}\right)\);
г) \(\tan \frac{11\pi}{6}\);
д) \(\cot \left(-\frac{13\pi}{4}\right)\).
Решение:
► a) \(510^\circ = 360^\circ + 150^\circ\)
\(\cos 510^\circ = \cos 150^\circ = \cos(180^\circ — 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
► б) \(\frac{19\pi}{6} = 2\pi + \frac{7\pi}{6}\) (или \( \frac{19\pi}{6} = 3\pi + \frac{\pi}{6} \)? Проверим: \( \frac{19\pi}{6} = \frac{18\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 3\pi + \frac{\pi}{6} \))
\(3\pi + \frac{\pi}{6}\) — это угол, на \( \pi \) больше, чем \( \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \), но проще: \( \frac{19\pi}{6} — 2\pi = \frac{19\pi}{6} — \frac{12\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \).
\(\sin \frac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac12\).
► в) \(\cos\left(-\frac{11\pi}{3}\right) = \cos \frac{11\pi}{3}\) (чётность косинуса).
\(\frac{11\pi}{3} = 2\pi + \frac{5\pi}{3}\) (т.к. \( \frac{11\pi}{3} — 2\pi = \frac{11\pi}{3} — \frac{6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \)).
\(\cos \frac{5\pi}{3} = \cos\left(2\pi — \frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac12\).
► г) \(\tan \frac{11\pi}{6} = \tan\left(2\pi — \frac{\pi}{6}\right) = \tan\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\tan \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\).
► д) \(\cot\left(-\frac{13\pi}{4}\right) = -\cot \frac{13\pi}{4}\) (нечётность котангенса).
\(\frac{13\pi}{4} = 2\pi + \frac{5\pi}{4}\) (т.к. \( \frac{13\pi}{4} — 2\pi = \frac{13\pi}{4} — \frac{8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \)).
\(\cot \frac{5\pi}{4} = \cot\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cot \frac{\pi}{4} = 1\).
Тогда \(-\cot \frac{13\pi}{4} = -1\).
Ответ:
a) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\);
б) \(-\frac12\);
в) \(\frac12\);
г) \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\);
д) \(-1\).
№ 2. Найти \(\sin \alpha\), \(\tan \alpha\), \(\sin 2\alpha\), \(\cos 2\alpha\), если \(\cos \alpha = -\frac{9}{41}\) и \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\).
Решение:
Угол во II четверти: \(\sin \alpha > 0\), \(\tan \alpha < 0\).
\(\sin \alpha = \sqrt{1 — \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 — \frac{81}{1681}} = \sqrt{\frac{1600}{1681}} = \frac{40}{41}\).
\(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{40/41}{-9/41} = -\frac{40}{9}\).
\(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha \cos\alpha = 2 \cdot \frac{40}{41} \cdot \left(-\frac{9}{41}\right) = -\frac{720}{1681}\).
\(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha — \sin^2\alpha = \frac{81}{1681} — \frac{1600}{1681} = -\frac{1519}{1681}\).
Проверка: \(\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha = \frac{720^2 + 1519^2}{1681^2}\).
\(720^2 = 518400\), \(1519^2 = 2307361\), сумма \(2825761 = 1681^2\) (т.к. \(1681 = 41^2\), \(1681^2 = 2825761\)). Верно.
Ответ:
\(\sin \alpha = \frac{40}{41}\),
\(\tan \alpha = -\frac{40}{9}\),
\(\sin 2\alpha = -\frac{720}{1681}\),
\(\cos 2\alpha = -\frac{1519}{1681}\).
№ 3. Вычислите:
a) \(\sin 141^\circ \cos 51^\circ — \cos 141^\circ \sin 51^\circ\);
б) \(\cos 132^\circ \cos 18^\circ — \sin 132^\circ \sin 18^\circ\).
Решение:
a) По формуле \(\sin a \cos b — \cos a \sin b = \sin(a-b)\):
\(\sin 141^\circ \cos 51^\circ — \cos 141^\circ \sin 51^\circ = \sin(141^\circ — 51^\circ) = \sin 90^\circ = 1\).
б) По формуле \(\cos a \cos b — \sin a \sin b = \cos(a+b)\):
\(\cos 132^\circ \cos 18^\circ — \sin 132^\circ \sin 18^\circ = \cos(132^\circ + 18^\circ) = \cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Ответ:
a) \(1\);
б) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\).
№ 4. Найдите \(-9\cos 2\alpha\), если \(\cos \alpha = 0,8\).
Решение:
\(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha — 1 = 2 \cdot (0,8)^2 — 1 = 2 \cdot 0,64 — 1 = 1,28 — 1 = 0,28\).
Тогда \(-9\cos 2\alpha = -9 \cdot 0,28 = -2,52\).
Проверка: \(\cos\alpha = 0,8\), \(\cos 2\alpha = 0,28\), умножение на \(-9\) даёт \(-2,52\).
Ответ: \(-2,52\).
№ 5. Найдите значение выражения
\[
\sqrt{8} \cos^2 \frac{3\pi}{8} — \sqrt{8} \sin^2 \frac{3\pi}{8}.
\]
Решение:
Вынесем \(\sqrt{8}\) за скобки:
\[
\sqrt{8} \left( \cos^2 \frac{3\pi}{8} — \sin^2 \frac{3\pi}{8} \right).
\]
В скобках — формула косинуса двойного угла:
\[
\cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha.
\]
Здесь \(\alpha = \frac{3\pi}{8}\), тогда \(2\alpha = \frac{3\pi}{4}\).
Получаем:
\[
\sqrt{8} \cdot \cos \frac{3\pi}{4}.
\]
Значение \(\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Подставляем:
\[
\sqrt{8} \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\frac{\sqrt{8} \cdot \sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{16}}{2} = -\frac{4}{2} = -2.
\]
Ответ: \(-2\).
№ 6. Решить уравнения, сводящиеся к квадратным:
► а) \(2 \sin^2 x = 1\).
Решение:
\[
\sin^2 x = \frac12.
\]
\[
\sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.
\]
Общее решение:
\[
x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\]
Можно объединить: \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \; n \in \mathbb{Z}\) (проверка: при чётных \(n\) даёт \(\pi/4\), при нечётных \(3\pi/4\)).
Ответ: \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \; n \in \mathbb{Z}\).
► б) \(2 \cos^2 x + \cos x — 3 = 0\).
Решение:
Пусть \(t = \cos x\), \(|t| \le 1\).
\[
2t^2 + t — 3 = 0.
\]
\[
D = 1 + 24 = 25.
\]
\[
t = \frac{-1 \pm 5}{4}.
\]
\[
t_1 = 1, \quad t_2 = -\frac{3}{2} \; \text{(не подходит, т.к. } |t| \le 1\text{)}.
\]
Остаётся \(\cos x = 1\).
\[
x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.
\]
Ответ: \(x = 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}\).
► в) \(3 \tan^2 x + \tan x — 2 = 0\).
Решение:
Пусть \(t = \tan x\).
\[
3t^2 + t — 2 = 0.
\]
\[
D = 1 + 24 = 25.
\]
\[
t = \frac{-1 \pm 5}{6}.
\]
\[
t_1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, \quad t_2 = -1.
\]
1) \(\tan x = \frac{2}{3}\):
\[
x = \arctan \frac{2}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\]
2) \(\tan x = -1\):
\[
x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\]
Ответ: \(x = \arctan \frac{2}{3} + \pi n, \; x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}\).
г) \(2 \cos^2 x + 3 \sin x = 0\).
Решение:
Используем \(\cos^2 x = 1 — \sin^2 x\):
\[
2(1 — \sin^2 x) + 3 \sin x = 0.
\]
\[
2 — 2\sin^2 x + 3\sin x = 0.
\]
\[
-2\sin^2 x + 3\sin x + 2 = 0.
\]
Умножим на \(-1\):
\[
2\sin^2 x — 3\sin x — 2 = 0.
\]
Пусть \(t = \sin x\), \(|t| \le 1\).
\[
2t^2 — 3t — 2 = 0.
\]
\[
D = 9 + 16 = 25.
\]
\[
t = \frac{3 \pm 5}{4}.
\]
\[
t_1 = 2 \; \text{(не подходит)}, \quad t_2 = -\frac{1}{2}.
\]
Итак, \(\sin x = -\frac12\).
\[
x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\]
Ответ: \(x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \; x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}\).
№ 7. Решить однородное уравнение первой степени:
► а) \(\sqrt{3} \cos x + \sin x = 0\).
Решение:
Если \(\cos x = 0\), то уравнение превращается в \(\sin x = 0\), но \(\cos x = 0\) и \(\sin x = 0\) одновременно не выполняются, значит, \(\cos x \neq 0\). Поделим на \(\cos x\):
\[
\sqrt{3} + \tan x = 0.
\]
\[
\tan x = -\sqrt{3}.
\]
\[
x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\]
Ответ: \(x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}\).
► б) \(5 \cos x + 2 \sin x = 0\).
Решение:
Аналогично, \(\cos x \neq 0\) (иначе \(\sin x = 0\) — противоречие). Делим на \(\cos x\):
\[
5 + 2 \tan x = 0.
\]
\[
\tan x = -\frac{5}{2}.
\]
\[
x = \arctan\left(-\frac{5}{2}\right) + \pi n = -\arctan\frac{5}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\]
Ответ: \(x = -\arctan\frac{5}{2} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}\).
№ 8. Решить однородное уравнение второй степени:
\[
-3 \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 0.
\]
Решение:
Это однородное уравнение 2-й степени относительно \(\sin x\) и \(\cos x\). Поделим на \(\cos^2 x \neq 0\) (случай \(\cos x = 0\) проверим отдельно).
Если \(\cos x = 0\), то \(\sin^2 x = 1\), подставляем:
\[
-3 \cdot 1 + 0 + 0 = -3 \neq 0.
\]
Значит, \(\cos x = 0\) не подходит.
Делим на \(\cos^2 x\):
\[
-3 \tan^2 x + 1 + 2 \tan x = 0.
\]
\[
-3\tan^2 x + 2\tan x + 1 = 0.
\]
Умножим на \(-1\):
\[
3\tan^2 x — 2\tan x — 1 = 0.
\]
Пусть \(t = \tan x\):
\[
3t^2 — 2t — 1 = 0.
\]
\[
D = 4 + 12 = 16.
\]
\[
t = \frac{2 \pm 4}{6}.
\]
\[
t_1 = 1, \quad t_2 = -\frac{1}{3}.
\]
1) \(\tan x = 1\):
\[
x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\]
2) \(\tan x = -\frac13\):
\[
x = -\arctan\frac13 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\]
Ответ: \(x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \; x = -\arctan\frac13 + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}\).
Вариант 2
№ 1. Вычислить, отметив угол на окружности:
► а) sin 840°
Решение:
1. Найдём угол, меньший 360°, вычитая целое число полных оборотов:
\( 840° — 2 \cdot 360° = 840° — 720° = 120° \).
2. \( 120° \) находится во II четверти, синус положителен.
3. \( \sin 120° = \sin (180° — 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Ответ: \( \sin 840° = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
► б) sin \( \left( -\frac{17\pi}{4} \right) \)
Решение:
1. Прибавим \( 2\pi \) (полный оборот) несколько раз, чтобы получить угол от 0 до \( 2\pi \).
Сначала сделаем положительным направлением:
\( -\frac{17\pi}{4} + 2\pi k \), подберём \( k \) так, чтобы угол был в пределах \( [0, 2\pi) \).
\( -\frac{17\pi}{4} + 2\pi \cdot 3 = -\frac{17\pi}{4} + \frac{24\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \).
2. \( \frac{7\pi}{4} \) — IV четверть, синус отрицателен.
3. \( \sin \frac{7\pi}{4} = \sin \left( 2\pi — \frac{\pi}{4} \right) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
Ответ: \( \sin \left( -\frac{17\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
► в) sin \( \left( -\frac{16\pi}{3} \right) \)
Решение:
1. \( -\frac{16\pi}{3} + 2\pi \cdot 3 = -\frac{16\pi}{3} + \frac{18\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \).
2. \( \frac{2\pi}{3} \) — II четверть, синус положителен.
3. \( \sin \frac{2\pi}{3} = \sin \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Ответ: \( \sin \left( -\frac{16\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
► г) ctg \( \left( \frac{7\pi}{3} \right) \)
Решение:
1. \( \frac{7\pi}{3} — 2\pi = \frac{7\pi}{3} — \frac{6\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \).
2. \( \cot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\tan \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
Ответ: \( \cot \frac{7\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
► д) tg \( \left( -\frac{19\pi}{6} \right) \)
Решение:
1. \( -\frac{19\pi}{6} + 2\pi \cdot 2 = -\frac{19\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \).
2. \( \frac{5\pi}{6} \) — II четверть, тангенс отрицателен.
3. \( \tan \frac{5\pi}{6} = \tan \left( \pi — \frac{\pi}{6} \right) = -\tan \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \).
Ответ: \( \tan \left( -\frac{19\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \).
№ 2. Найти \( \cos \alpha, \tan \alpha, \sin 2\alpha, \cos 2\alpha \), если \( \sin \alpha = -\frac{12}{37} \) и \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \).
Решение:
1. Угол в III четверти: косинус отрицателен, тангенс положителен.
2. \( \cos \alpha = -\sqrt{1 — \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 — \frac{144}{1369}} = -\sqrt{\frac{1225}{1369}} = -\frac{35}{37} \).
3. \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-12/37}{-35/37} = \frac{12}{35} \).
4. \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \left( -\frac{12}{37} \right) \cdot \left( -\frac{35}{37} \right) = \frac{840}{1369} \).
5. \( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha = \frac{1225}{1369} — \frac{144}{1369} = \frac{1081}{1369} \).
Ответ:
\( \cos \alpha = -\frac{35}{37} \),
\( \tan \alpha = \frac{12}{35} \),
\( \sin 2\alpha = \frac{840}{1369} \),
\( \cos 2\alpha = \frac{1081}{1369} \).
№ 3. Вычислите:
а) \( \sin 161° \cos 11° — \cos 161° \sin 11° \)
Решение:
По формуле \( \sin(a — b) = \sin a \cos b — \cos a \sin b \):
\( \sin 161° \cos 11° — \cos 161° \sin 11° = \sin(161° — 11°) = \sin 150° = \frac{1}{2} \).
Ответ: \( \frac{1}{2} \).
б) \( \cos 212° \cos 32° + \sin 212° \sin 32° \)
Решение:
По формуле \( \cos(a — b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \):
\( \cos 212° \cos 32° + \sin 212° \sin 32° = \cos(212° — 32°) = \cos 180° = -1 \).
Ответ: \( -1 \).
№ 4. Найдите \( 14 \cos 2\alpha \), если \( \sin \alpha = 0,4 \).
Решение:
1. \( \cos 2\alpha = 1 — 2 \sin^2 \alpha = 1 — 2 \cdot (0,4)^2 = 1 — 2 \cdot 0,16 = 1 — 0,32 = 0,68 \).
2. \( 14 \cos 2\alpha = 14 \cdot 0,68 = 9,52 \).
Ответ: \( 9,52 \).
№ 5. Найдите значение выражения
\[
\sqrt{6} \cos^2 \frac{7\pi}{12} — \sqrt{6} \sin^2 \frac{7\pi}{12}.
\]
Решение:
Вынесем общий множитель \(\sqrt{6}\):
\[
\sqrt{6} \left( \cos^2 \frac{7\pi}{12} — \sin^2 \frac{7\pi}{12} \right).
\]
В скобках — формула косинуса двойного угла \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha — \sin^2\alpha\).
Здесь \(\alpha = \frac{7\pi}{12}\), тогда \(2\alpha = \frac{7\pi}{6}\).
Получаем:
\[
\sqrt{6} \cdot \cos \frac{7\pi}{6}.
\]
Найдём \(\cos \frac{7\pi}{6}\).
\(\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}\), косинус в третьей четверти отрицателен:
\(\cos \frac{7\pi}{6} = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Подставляем:
\[
\sqrt{6} \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{\sqrt{18}}{2} = -\frac{3\sqrt{2}}{2}.
\]
Ответ:
\[
-\frac{3\sqrt{2}}{2}.
\]
№ 6. Решить уравнения, сводящиеся к квадратным:
а) \(4\cos^2 x = 1\)
Решение:
\[
\cos^2 x = \frac14 \quad\Rightarrow\quad \cos x = \pm \frac12.
\]
1) \(\cos x = \frac12\):
\(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}\).
2) \(\cos x = -\frac12\):
\(x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}\).
Объединяя:
\[
x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}.
\]
Ответ:
\[
x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}.
\]
б) \(3\sin^2 x + \sin x — 4 = 0\)
Решение:
Пусть \(t = \sin x\), \(|t| \le 1\):
\[
3t^2 + t — 4 = 0.
\]
\[
D = 1 + 48 = 49, \quad t = \frac{-1 \pm 7}{6}.
\]
\[
t_1 = 1, \quad t_2 = -\frac{4}{3} \ \text{(не подходит, т.к. } |t| \le 1\text{)}.
\]
\(\sin x = 1\):
\[
x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}.
\]
Ответ:
\[
x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}.
\]
в) \(\tan^2 x + 2\tan x — 3 = 0\)
Решение:
Пусть \(t = \tan x\):
\[
t^2 + 2t — 3 = 0.
\]
\[
D = 4 + 12 = 16, \quad t = \frac{-2 \pm 4}{2}.
\]
\[
t_1 = 1, \quad t_2 = -3.
\]
1) \(\tan x = 1\):
\(x = \frac{\pi}{4} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}\).
2) \(\tan x = -3\):
\(x = \arctan(-3) + \pi n = -\arctan 3 + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}\).
Ответ:
\[
x = \frac{\pi}{4} + \pi n,\quad x = -\arctan 3 + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}.
\]
г) \(2\sin^2 x — 3\cos x = 0\)
Решение:
Используем \(\sin^2 x = 1 — \cos^2 x\):
\[
2(1 — \cos^2 x) — 3\cos x = 0.
\]
\[
2 — 2\cos^2 x — 3\cos x = 0.
\]
\[
2\cos^2 x + 3\cos x — 2 = 0.
\]
Пусть \(t = \cos x\), \(|t| \le 1\):
\[
2t^2 + 3t — 2 = 0.
\]
\[
D = 9 + 16 = 25, \quad t = \frac{-3 \pm 5}{4}.
\]
\[
t_1 = \frac12, \quad t_2 = -2 \ \text{(не подходит)}.
\]
\(\cos x = \frac12\):
\[
x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}.
\]
Ответ:
\[
x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}.
\]
№ 7. Решить однородное уравнение первой степени:
а) \(\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0\)
Решение:
Если \(\cos x = 0\), то \(\sin x = \pm 1\), подставляем: \(\sqrt{3} \cdot (\pm 1) + 0 \ne 0\) — не подходит.
Делим на \(\cos x \ne 0\):
\[
\sqrt{3} \tan x + 1 = 0.
\]
\[
\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}.
\]
\[
x = -\frac{\pi}{6} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}.
\]
Ответ:
\[
x = -\frac{\pi}{6} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}.
\]
б) \(4\cos x — 2\sin x = 0\)
Решение:
Если \(\cos x = 0\), то \(\sin x = \pm 1\), подставляем: \(0 — 2\cdot (\pm 1) \ne 0\) — не подходит.
Делим на \(\cos x \ne 0\):
\[
4 — 2\tan x = 0.
\]
\[
\tan x = 2.
\]
\[
x = \arctan 2 + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}.
\]
Ответ:
\[
x = \arctan 2 + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}.
\]
№ 8. Решить однородное уравнение второй степени:
\[
-5\sin^2 x + \cos^2 x + 4\sin x \cos x = 0.
\]
Решение:
Если \(\cos x = 0\), то \(\sin^2 x = 1\), подставляем: \(-5\cdot 1 + 0 + 0 = -5 \ne 0\) — не подходит.
Делим на \(\cos^2 x \ne 0\):
\[
-5\tan^2 x + 1 + 4\tan x = 0.
\]
\[
5\tan^2 x — 4\tan x — 1 = 0.
\]
Пусть \(t = \tan x\):
\[
5t^2 — 4t — 1 = 0.
\]
\[
D = 16 + 20 = 36, \quad t = \frac{4 \pm 6}{10}.
\]
\[
t_1 = 1, \quad t_2 = -\frac{1}{5}.
\]
1) \(\tan x = 1\):
\(x = \frac{\pi}{4} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}\).
2) \(\tan x = -\frac15\):
\(x = -\arctan\frac15 + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}\).
Ответ:
\[
x = \frac{\pi}{4} + \pi n,\quad x = -\arctan\frac15 + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}.
\]
Вы смотрели: Алгебра Алимов Контрольная 6 по теме ─ Тригонометрические уравнения. Цитаты из пособия использованы в учебных целях.