Алгебра 10 класс УМК Алимов. Дидактические материалы Шабунин Самостоятельная работа № 24 по п.19 «Логарифмические уравнения» Варианты 1, 2. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Самостоятельная 24.
Вернуться к СПИСКУ самостоятельных
Алгебра 10 класс Алимов
Самостоятельная работа № 24
Проверяемая тема: § 19. Логарифмические уравнения.
Вариант 1 (задания)
ОТВЕТЫ на Вариант 1
№ 1. Выяснить, какое из двух данных уравнений является следствием другого:
\[
\log_2(x-3)+\log_2(x+4)=3 \quad \text{и} \quad \log_2\big((x-3)(x+4)\big)=3.
\]
Решение:
По свойству логарифмов \(\log_a A + \log_a B = \log_a (AB)\) при \(A>0, B>0\).
Первое уравнение имеет область определения: \(x-3>0\) и \(x+4>0\), т.е. \(x>3\).
Второе уравнение: \((x-3)(x+4)>0\), т.е. \(x<-4\) или \(x>3\).
Если \(x>3\), то первое уравнение равносильно второму.
Но второе уравнение имеет дополнительную область \(x<-4\), где первое не определено.
Значит, второе уравнение — следствие первого (любой корень первого будет корнем второго, но не наоборот).
Ответ: Первое уравнение является следствием второго? Нет. Второе уравнение является следствием первого? Да.
№ 2. Записать какое–нибудь следствие уравнения:
\[
\log_2(x-1)=1.
\]
Решение:
Применим определение логарифма: \(x-1=2^1\), т.е. \(x-1=2\).
Это уравнение — следствие исходного (так как мы убрали логарифм, расширив область определения: исходное требует \(x>1\), а \(x-1=2\) верно для \(x=3\), но также не имеет ограничений, значит, любое решение исходного будет решением \(x-1=2\), но обратное не обязательно).
Ответ: \(x-1=2\).
№ 3. Записать какое–нибудь следствие уравнения:
\[
\log_3(x-2)+\log_3(x+4)=3.
\]
Решение:
Используем свойство суммы логарифмов: \(\log_3\big((x-2)(x+4)\big)=3\).
Это равносильное преобразование при \(x>2\). Чтобы получить следствие, можно убрать логарифм:
\((x-2)(x+4)=3^3=27\).
Область определения расширилась: теперь \(x\) может быть любым, не только \(x>2\).
Ответ: \((x-2)(x+4)=27\).
№ 4. Записать какое–нибудь следствие уравнения:
\[
\log_3\big(x^2-5x+4\big)-\log_3(x-4)=2.
\]
Решение:
По свойству разности логарифмов: \(\log_3\frac{x^2-5x+4}{x-4}=2\) при \(x^2-5x+4>0\) и \(x-4>0\).
Чтобы получить следствие, уберём логарифм:
\(\frac{x^2-5x+4}{x-4}=3^2=9\).
Область определения теперь только \(x\neq4\), без требования \(x>4\) и положительности числителя.
Ответ: \(\frac{x^2-5x+4}{x-4}=9\).
№ 5. Записать какое–нибудь следствие уравнения:
\[
2\log_5(x-4)=\log_5(3x-2).
\]
Решение:
Используем свойство: \(2\log_5 A = \log_5 A^2\).
Получаем \(\log_5 (x-4)^2 = \log_5 (3x-2)\).
Чтобы получить следствие, уберём логарифмы:
\((x-4)^2 = 3x-2\).
Область определения расширилась: исходное требует \(x>4\) и \(3x-2>0\), а новое уравнение — нет.
Ответ: \((x-4)^2 = 3x-2\).
№ 6. Выяснить, равносильны ли уравнения:
\[
\log_2(x-5)=\log_2(2x-1) \quad \text{и} \quad x-5=2x-1.
\]
Решение:
Первое уравнение равносильно системе:
\[
\begin{cases}
x-5>0,\\
2x-1>0,\\
x-5=2x-1.
\end{cases}
\]
Второе уравнение \(x-5=2x-1\) даёт \(x=-4\), но не учитывает ОДЗ первого.
Значит, второе уравнение — следствие первого, но не равносильно.
Ответ: Нет, не равносильны.
№ 7. Выяснить, равносильны ли уравнения:
\[
\log_3(x+5)=\log_3(2x+1) \quad \text{и} \quad x+5=2x+1.
\]
Решение:
Первое уравнение равносильно системе:
\[
\begin{cases}
x+5>0,\\
2x+1>0,\\
x+5=2x+1.
\end{cases}
\]
Из \(x+5=2x+1\) получаем \(x=4\).
Проверим ОДЗ первого: \(4+5>0\) и \(2\cdot4+1>0\) — верно.
Значит, \(x=4\) — единственный корень первого уравнения, и он же корень второго.
Второе уравнение \(x+5=2x+1\) имеет единственный корень \(x=4\), но его ОДЗ — все действительные числа.
Однако поскольку корень \(x=4\) удовлетворяет ОДЗ первого, и других корней нет, уравнения равносильны.
Ответ: Да, равносильны.
№ 8. Уравнение:
\[
\lg\bigl(x+\sqrt{3}\bigr)+\lg\bigl(x-\sqrt{3}\bigr)=0
\]
Решение:
1) Сумма логарифмов:
\[
\lg\bigl((x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\bigr)=0
\]
2) Упрощаем:
\[
\lg(x^2-3)=0
\]
3) Потенцируем:
\[
x^2-3=10^0=1
\]
\[
x^2=4
\]
\[
x=\pm 2
\]
4) Проверка ОДЗ:
\[
x+\sqrt{3}>0,\quad x-\sqrt{3}>0
\]
При \(x=-2\): \(-2+\sqrt{3}<0\) — не подходит.
При \(x=2\): оба выражения положительны.
Ответ: \(x=2\)
№ 9. Уравнение:
\[
\log_{2}(x-2)+\log_{2}(x-3)=1
\]
Решение:
1) Сумма логарифмов:
\[
\log_{2}\bigl((x-2)(x-3)\bigr)=1
\]
2) Потенцируем:
\[
(x-2)(x-3)=2^1=2
\]
\[
x^2-5x+6=2
\]
\[
x^2-5x+4=0
\]
\[
(x-1)(x-4)=0
\]
\[
x=1 \quad \text{или} \quad x=4
\]
3) ОДЗ: \(x-2>0\) и \(x-3>0\) ⇒ \(x>3\).
\(x=1\) не подходит.
Ответ: \(x=4\)
№ 10. Уравнение:
\[
\lg\bigl(x^{2}-9\bigr)-\lg(x-3)=0
\]
Решение:
1) Разность логарифмов:
\[
\lg\frac{x^2-9}{x-3}=0
\]
2) Упрощаем дробь:
\[
\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3 \quad (x\neq 3)
\]
Уравнение:
\[
\lg(x+3)=0
\]
3) Потенцируем:
\[
x+3=1
\]
\[
x=-2
\]
4) ОДЗ: \(x^2-9>0\) и \(x-3>0\) ⇒ \(x>3\) (так как \(x-3>0\) уже даёт \(x>3\), и тогда \(x^2-9>0\) автоматически).
Но \(x=-2\) не удовлетворяет \(x>3\)? Проверим исходное:
\(\lg(x^2-9)\) требует \(x^2-9>0\), т.е. \(x<-3\) или \(x>3\).
\(\lg(x-3)\) требует \(x-3>0\), т.е. \(x>3\).
Значит, ОДЗ: \(x>3\).
Тогда \(x=-2\) не входит в ОДЗ.
Ответ: нет решений.
№ 11. Уравнение:
\[
\log_{6}(x-1)-\log_{6}(2x-11)=\log_{6}2
\]
Решение:
1) Разность логарифмов:
\[
\log_{6}\frac{x-1}{2x-11}=\log_{6}2
\]
2) Потенцируем:
\[
\frac{x-1}{2x-11}=2
\]
\[
x-1=2(2x-11)
\]
\[
x-1=4x-22
\]
\[
-3x=-21
\]
\[
x=7
\]
3) ОДЗ: \(x-1>0\) ⇒ \(x>1\); \(2x-11>0\) ⇒ \(x>5.5\).
При \(x=7\) оба условия выполнены.
Ответ: \(x=7\)
№ 12. Уравнение:
\[
\log_{7}\bigl(2x^{2}-7x+6\bigr)-\log_{7}(x-2)=\log_{7}x
\]
Решение:
1) Переносим:
\[
\log_{7}\frac{2x^2-7x+6}{x-2}=\log_{7}x
\]
2) Разложим числитель: \(2x^2-7x+6=(2x-3)(x-2)\).
\[
\frac{(2x-3)(x-2)}{x-2}=2x-3 \quad (x\neq 2)
\]
Уравнение:
\[
\log_{7}(2x-3)=\log_{7}x
\]
3) Потенцируем:
\[
2x-3=x
\]
\[
x=3
\]
4) ОДЗ: \(2x^2-7x+6>0\), \(x-2>0\), \(x>0\).
При \(x=3\): \(2\cdot9-21+6=3>0\), \(x-2=1>0\), \(x>0\) — всё верно.
Ответ: \(x=3\)
№ 13. Уравнение:
\[
\log_{4}\bigl(x^{3}-x\bigr)-\log_{4}x=\log_{4}3
\]
Решение:
1) Разность логарифмов:
\[
\log_{4}\frac{x^3-x}{x}=\log_{4}3
\]
2) Упрощаем:
\[
\frac{x(x^2-1)}{x}=x^2-1 \quad (x\neq 0)
\]
Уравнение:
\[
\log_{4}(x^2-1)=\log_{4}3
\]
3) Потенцируем:
\[
x^2-1=3
\]
\[
x^2=4
\]
\[
x=\pm 2
\]
4) ОДЗ: \(x^3-x>0\) и \(x>0\).
\(x>0\) ⇒ \(x=2\) подходит (проверяем \(x^3-x=8-2=6>0\)).
\(x=-2\) не подходит из-за \(x>0\).
Ответ: \(x=2\)
№ 14. Уравнение:
\[
\log_{2}\!\frac{2}{x-1}=\log_{2}x
\]
Решение:
1) Потенцируем:
\[
\frac{2}{x-1}=x
\]
\[
2=x(x-1)
\]
\[
x^2-x-2=0
\]
\[
(x-2)(x+1)=0
\]
\[
x=2 \quad \text{или} \quad x=-1
\]
2) ОДЗ: \(\frac{2}{x-1}>0\) ⇒ \(x-1>0\) ⇒ \(x>1\); и \(x>0\).
При \(x=2\): \(x>1\) и \(x>0\) — верно.
\(x=-1\) не подходит.
Ответ: \(x=2\)
№ 15. Уравнение:
\[
\lg\frac{x+8}{x-1}=\lg x
\]
Решение:
1) Потенцируем:
\[
\frac{x+8}{x-1}=x
\]
\[
x+8=x(x-1)
\]
\[
x+8=x^2-x
\]
\[
x^2-2x-8=0
\]
\[
(x-4)(x+2)=0
\]
\[
x=4 \quad \text{или} \quad x=-2
\]
2) ОДЗ: \(\frac{x+8}{x-1}>0\) и \(x>0\).
При \(x=4\): дробь \(12/3>0\), \(x>0\) — верно.
При \(x=-2\): дробь \(6/(-3)<0\) — не подходит.
Ответ: \(x=4\)
№ 16. Уравнение:
\[
\frac{1}{2}\lg\bigl(x^{2}+x-5\bigr)=\lg(5x)+\lg\frac{1}{5x}
\]
Решение:
1) Упростим правую часть:
\[
\lg(5x) + \lg\frac{1}{5x} = \lg\left(5x \cdot \frac{1}{5x}\right) = \lg(1) = 0.
\]
2) Уравнение принимает вид:
\[
\frac{1}{2}\lg(x^{2}+x-5) = 0.
\]
3) Умножаем на 2:
\[
\lg(x^{2}+x-5) = 0.
\]
4) По определению логарифма:
\[
x^{2}+x-5 = 10^{0} = 1.
\]
5) Получаем квадратное уравнение:
\[
x^{2}+x-6=0.
\]
6) Корни: \(x_{1}=2\), \(x_{2}=-3\).
7) Проверка ОДЗ:
— \(x^{2}+x-5>0\):
При \(x=2\): \(4+2-5=1>0\).
При \(x=-3\): \(9-3-5=1>0\).
— \(5x>0\) (так как в исходном уравнении есть \(\lg(5x)\)):
\(x>0\).
Значит, \(x=-3\) не подходит.
Ответ: \(x=2\).
№ 17. Уравнение:
\[
\log_{3}(x-1)+2\log_{9}(17+x)=7+\log_{1/3}9
\]
Решение:
1. Приведём все логарифмы к основанию 3:
— \(\log_{9}(17+x) = \frac{\log_{3}(17+x)}{\log_{3}9} = \frac{\log_{3}(17+x)}{2}\).
— \(\log_{1/3}9 = \frac{\log_{3}9}{\log_{3}(1/3)} = \frac{2}{-1} = -2\).
2. Подставляем:
\[
\log_{3}(x-1) + 2\cdot\frac{\log_{3}(17+x)}{2} = 7 + (-2).
\]
\[
\log_{3}(x-1) + \log_{3}(17+x) = 5.
\]
3. Сумма логарифмов:
\[
\log_{3}\bigl((x-1)(17+x)\bigr) = 5.
\]
4. По определению:
\[
(x-1)(17+x) = 3^{5} = 243.
\]
5. Раскрываем скобки:
\[
x^{2}+16x-17 = 243,
\]
\[
x^{2}+16x-260=0.
\]
6. Корни: \(x_{1}=10\), \(x_{2}=-26\).
7. ОДЗ:
— \(x-1>0 \Rightarrow x>1\),
— \(17+x>0 \Rightarrow x>-17\).
Оба условия дают \(x>1\).
Подходит только \(x=10\).
Ответ: \(x=10\).
№ 18. Уравнение:
\[
\log_{3}x+\log_{\sqrt{x}}x-\log_{1/3}x=6
\]
Решение:
1. Перейдём к основанию 3:
— \(\log_{\sqrt{x}}x = \frac{\log_{3}x}{\log_{3}\sqrt{x}} = \frac{\log_{3}x}{\frac{1}{2}\log_{3}x} = 2\) (при \(\log_{3}x \neq 0\), т.е. \(x\neq1\)).
— \(\log_{1/3}x = \frac{\log_{3}x}{\log_{3}(1/3)} = \frac{\log_{3}x}{-1} = -\log_{3}x\).
2. Подставляем:
\[
\log_{3}x + 2 — (-\log_{3}x) = 6,
\]
\[
\log_{3}x + 2 + \log_{3}x = 6,
\]
\[
2\log_{3}x = 4,
\]
\[
\log_{3}x = 2.
\]
3. Отсюда \(x=3^{2}=9\).
4. Проверка ОДЗ: \(x>0\), \(x\neq1\) — выполняется.
Ответ: \(x=9\).
№ 19. Уравнение:
\[
\log_{0.7}\bigl(\log_{4}(x-5)\bigr)=0
\]
Решение:
1. По определению логарифма:
\[
\log_{4}(x-5) = 0.7^{0} = 1.
\]
2. Снова по определению:
\[
x-5 = 4^{1} = 4.
\]
3. Отсюда \(x=9\).
4. Проверка ОДЗ:
— \(x-5>0 \Rightarrow x>5\) — выполняется,
— \(\log_{4}(x-5)>0\) — при \(x=9\): \(\log_{4}4=1>0\) — выполняется.
Ответ: \(x=9\).
№ 20. Уравнение:
\[
\log_{13}\bigl(\log_{3}\bigl(\log_{2}(x^{2}+2x)\bigr)\bigr)=0
\]
Решение:
1. По определению:
\[
\log_{3}\bigl(\log_{2}(x^{2}+2x)\bigr) = 13^{0} = 1.
\]
2. Снова по определению:
\[
\log_{2}(x^{2}+2x) = 3^{1} = 3.
\]
3. Ещё раз:
\[
x^{2}+2x = 2^{3} = 8.
\]
4. Квадратное уравнение:
\[
x^{2}+2x-8=0,
\]
корни \(x_{1}=2\), \(x_{2}=-4\).
5. Проверка ОДЗ (идём изнутри наружу):
— \(x^{2}+2x>0\):
При \(x=2\): \(4+4=8>0\),
При \(x=-4\): \(16-8=8>0\).
— \(\log_{2}(x^{2}+2x)>0 \Rightarrow x^{2}+2x>1\):
Оба корня дают \(8>1\) — верно.
— \(\log_{3}(\log_{2}(x^{2}+2x))>0 \Rightarrow \log_{2}(x^{2}+2x)>1\):
\(\log_{2}8=3>1\) — верно для обоих.
Все условия ОДЗ выполнены.
Ответ: \(x_{1}=2\), \(x_{2}=-4\).
№ 21. Уравнение:
\[
(\log_{0.5} x)^2 — \log_{0.5} x — 2 = 0
\]
Решение:
Пусть \( t = \log_{0.5} x \).
Уравнение: \( t^2 — t — 2 = 0 \).
Корни: \( t_1 = 2 \), \( t_2 = -1 \) (по теореме Виета или через дискриминант).
1. \( t = 2 \):
\[
\log_{0.5} x = 2 \quad\Rightarrow\quad x = (0.5)^2 = 0.25
\]
2. \( t = -1 \):
\[
\log_{0.5} x = -1 \quad\Rightarrow\quad x = (0.5)^{-1} = 2
\]
Ответ: \( x = 0.25 \), \( x = 2 \).
№ 22. Уравнение:
\[
\log_{2}^2(1-x) — 2\log_{2}(1-x) = 3
\]
Решение:
Пусть \( t = \log_{2}(1-x) \).
Уравнение: \( t^2 — 2t — 3 = 0 \).
Корни: \( t_1 = 3 \), \( t_2 = -1 \).
1. \( t = 3 \):
\[
\log_{2}(1-x) = 3 \quad\Rightarrow\quad 1-x = 2^3 = 8 \quad\Rightarrow\quad x = -7
\]
2. \( t = -1 \):
\[
\log_{2}(1-x) = -1 \quad\Rightarrow\quad 1-x = 2^{-1} = 0.5 \quad\Rightarrow\quad x = 0.5
\]
Проверим ОДЗ: \( 1-x > 0 \) ⇒ \( x < 1 \).
Оба корня подходят: \( x = -7 \) и \( x = 0.5 \).
Ответ: \( x = -7 \), \( x = 0.5 \).
№ 23. Уравнение:
\[
2\log_{2}x = 3\log_{3}x
\]
Решение:
Перейдём к одному основанию, например, к натуральному логарифму:
\[
\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}
\]
\[
2 \cdot \frac{\ln x}{\ln 2} = 3 \cdot \frac{\ln x}{\ln 3}
\]
Пусть \( \ln x = t \).
\[
\frac{2t}{\ln 2} = \frac{3t}{\ln 3}
\]
Если \( t = 0 \) ⇒ \( \ln x = 0 \) ⇒ \( x = 1 \).
Если \( t \neq 0 \), делим на \( t \):
\[
\frac{2}{\ln 2} = \frac{3}{\ln 3} \quad\Rightarrow\quad 2\ln 3 = 3\ln 2 \quad\Rightarrow\quad \ln 3^2 = \ln 2^3 \quad\Rightarrow\quad 9 = 8
\]
Получили неверное равенство ⇒ других решений нет.
Проверим \( x = 1 \):
Лев. часть: \( 2\log_{2}1 = 0 \), прав. часть: \( 3\log_{3}1 = 0 \) ⇒ подходит.
Ответ: \( x = 1 \).
№ 24. Уравнение:
\[
2\log_{2}x — 5\log_{x}2 = 3
\]
Решение:
Заметим: \( \log_{x}2 = \frac{1}{\log_{2}x} \).
Пусть \( t = \log_{2}x \), \( t \neq 0 \).
Уравнение:
\[
2t — \frac{5}{t} = 3
\]
Умножим на \( t \):
\[
2t^2 — 5 = 3t \quad\Rightarrow\quad 2t^2 — 3t — 5 = 0
\]
Дискриминант: \( D = 9 + 40 = 49 \),
\[
t = \frac{3 \pm 7}{4} \quad\Rightarrow\quad t_1 = \frac{10}{4} = 2.5, \quad t_2 = \frac{-4}{4} = -1
\]
1. \( t = 2.5 \):
\[
\log_{2}x = 2.5 \quad\Rightarrow\quad x = 2^{2.5} = 2^{5/2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
\]
2. \( t = -1 \):
\[
\log_{2}x = -1 \quad\Rightarrow\quad x = 2^{-1} = 0.5
\]
Оба положительны, подходят.
Ответ: \( x = 0.5 \), \( x = 4\sqrt{2} \).
№ 25. Система:
\[
\begin{cases}
\log_{3}x — \log_{3}y = 2, \\[4pt]
2y^{2} + x — 11 = 0
\end{cases}
\]
Решение:
Из первого уравнения:
\[
\log_{3}\frac{x}{y} = 2 \quad\Rightarrow\quad \frac{x}{y} = 3^2 = 9 \quad\Rightarrow\quad x = 9y
\]
Подставим во второе:
\[
2y^2 + 9y — 11 = 0
\]
Дискриминант: \( D = 81 + 88 = 169 \),
\[
y = \frac{-9 \pm 13}{4} \quad\Rightarrow\quad y_1 = \frac{4}{4} = 1, \quad y_2 = \frac{-22}{4} = -5.5
\]
ОДЗ: \( x > 0, y > 0 \) (логарифмы определены).
1. \( y = 1 \) ⇒ \( x = 9 \) ⇒ подходит.
2. \( y = -5.5 \) ⇒ не подходит по ОДЗ.
Ответ: \( x = 9 \), \( y = 1 \).
№ 26. Система:
\[
\begin{cases}
\lg x — \lg y = \lg 2, \\[4pt]
3x — y = 10
\end{cases}
\]
Решение:
Из первого:
\[
\lg\frac{x}{y} = \lg 2 \quad\Rightarrow\quad \frac{x}{y} = 2 \quad\Rightarrow\quad x = 2y
\]
Подставим во второе:
\[
3(2y) — y = 10 \quad\Rightarrow\quad 6y — y = 10 \quad\Rightarrow\quad 5y = 10 \quad\Rightarrow\quad y = 2
\]
Тогда \( x = 4 \).
ОДЗ: \( x > 0, y > 0 \) ⇒ подходит.
Ответ: \( x = 4 \), \( y = 2 \).
№ 27. Задание:
\[
\begin{cases}
\log_2(x^2+y^2)=7, \\
\log_2 x+2\log_4 y=6.
\end{cases}
\]
Решение:
1. Первое уравнение:
\[
\log_2(x^2+y^2)=7 \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2=2^7=128.
\]
2. Второе уравнение:
\[
\log_2 x+2\log_4 y=6.
\]
Так как \(\log_4 y=\frac{\log_2 y}{\log_2 4}=\frac{\log_2 y}{2}\), то
\[
2\log_4 y=2\cdot\frac{\log_2 y}{2}=\log_2 y.
\]
Получаем:
\[
\log_2 x+\log_2 y=6 \quad\Rightarrow\quad \log_2(xy)=6 \quad\Rightarrow\quad xy=2^6=64.
\]
3. Система свелась к:
\[
\begin{cases}
x^2+y^2=128,\\
xy=64.
\end{cases}
\]
Выразим \(y=\frac{64}{x}\), подставим в первое:
\[
x^2+\frac{4096}{x^2}=128.
\]
Умножим на \(x^2\):
\[
x^4-128x^2+4096=0.
\]
Обозначим \(t=x^2>0\):
\[
t^2-128t+4096=0.
\]
Дискриминант: \(D=128^2-4\cdot4096=16384-16384=0\), значит \(t=64\).
Тогда \(x^2=64 \Rightarrow x=\pm 8\).
4. Из \(xy=64\):
— Если \(x=8\), то \(y=8\).
— Если \(x=-8\), то \(y=-8\).
5. Проверка ОДЗ для логарифмов: \(x>0, y>0\) (в исходных уравнениях \(\log_2 x\) и \(\log_4 y\) определены при \(x>0, y>0\)).
Подходит только \(x=8, y=8\).
Ответ:
\[
(8;8).
\]
№ 28. Задание:
\[
\begin{cases}
2\log_3 x+\log_{\sqrt{3}} y=2, \\
\log_8(x-y-1)^3+\log_2(x-y+1)=\log_2 3.
\end{cases}
\]
Решение:
1. Первое уравнение:
\[
2\log_3 x+\log_{\sqrt{3}} y=2.
\]
Так как \(\log_{\sqrt{3}} y=\frac{\log_3 y}{\log_3 \sqrt{3}}=\frac{\log_3 y}{1/2}=2\log_3 y\), то
\[
2\log_3 x+2\log_3 y=2 \quad\Rightarrow\quad \log_3(xy)=1 \quad\Rightarrow\quad xy=3.
\]
2. Второе уравнение:
\[
\log_8(x-y-1)^3+\log_2(x-y+1)=\log_2 3.
\]
Заметим: \(\log_8(x-y-1)^3=3\log_8(x-y-1)=3\cdot\frac{\log_2(x-y-1)}{\log_2 8}=3\cdot\frac{\log_2(x-y-1)}{3}=\log_2(x-y-1)\).
Тогда уравнение:
\[
\log_2(x-y-1)+\log_2(x-y+1)=\log_2 3.
\]
\[
\log_2[(x-y-1)(x-y+1)]=\log_2 3.
\]
\[
(x-y)^2-1=3 \quad\Rightarrow\quad (x-y)^2=4 \quad\Rightarrow\quad x-y=2 \quad\text{или}\quad x-y=-2.
\]
3. Рассмотрим два случая.
Случай 1: \(x-y=2\) и \(xy=3\).
Подставляем \(x=y+2\):
\[
(y+2)y=3 \quad\Rightarrow\quad y^2+2y-3=0 \quad\Rightarrow\quad y=1 \text{ или } y=-3.
\]
Тогда \(x=3\) или \(x=-1\).
Случай 2: \(x-y=-2\) и \(xy=3\).
Подставляем \(x=y-2\):
\[
(y-2)y=3 \quad\Rightarrow\quad y^2-2y-3=0 \quad\Rightarrow\quad y=3 \text{ или } y=-1.
\]
Тогда \(x=1\) или \(x=-3\).
4. Проверка ОДЗ для логарифмов:
В первом уравнении: \(x>0, y>0\) (основания 3 и \(\sqrt{3}\) положительны и не равны 1, аргументы \(x\) и \(y\) должны быть >0).
Во втором уравнении: \(x-y-1>0\) и \(x-y+1>0\) (аргументы логарифмов должны быть положительны).
Проверим:
— \((3;1)\): \(x-y=2\), \(x-y-1=1>0\), \(x-y+1=3>0\) — подходит.
— \((-1;-3)\): \(x<0\) — не подходит по ОДЗ первого уравнения.
— \((1;3)\): \(x-y=-2\), тогда \(x-y-1=-3<0\) — логарифм не определен.
— \((-3;-1)\): \(x<0\) — не подходит.
Ответ:
\[
(3;1).
\]
№ 29. Задание:
\[
\begin{cases}
3^x+4^y=11, \\
9^x+24^y=3^{x+1}4^y+31.
\end{cases}
\]
№ 30. Задание:
\[
\begin{cases}
2\cdot7^{x+1}-6\cdot3^y=21, \\
\frac{21}{7^{1-x}}+6\cdot3^y=51.
\end{cases}
\]
Решение:
1. Упростим уравнения.
Первое: \(2\cdot7^{x+1}=2\cdot7^x\cdot7=14\cdot7^x\).
Пусть \(a=7^x>0\), \(b=3^y>0\).
Первое: \(14a-6b=21\).
2. Второе: \(\frac{21}{7^{1-x}}=21\cdot7^{x-1}=21\cdot\frac{7^x}{7}=3\cdot7^x=3a\).
Уравнение: \(3a+6b=51\).
3. Система:
\[
\begin{cases}
14a-6b=21,\\
3a+6b=51.
\end{cases}
\]
Сложим: \(17a=72 \Rightarrow a=\frac{72}{17}\).
4. Из второго: \(3\cdot\frac{72}{17}+6b=51 \Rightarrow \frac{216}{17}+6b=51 \Rightarrow 6b=51-\frac{216}{17}=\frac{867-216}{17}=\frac{651}{17} \Rightarrow b=\frac{651}{102}=\frac{217}{34}\).
5. Тогда \(7^x=\frac{72}{17} \Rightarrow x=\log_7\frac{72}{17}\).
\(3^y=\frac{217}{34} \Rightarrow y=\log_3\frac{217}{34}\).
Ответ:
\[
\left(\log_7\frac{72}{17}; \log_3\frac{217}{34}\right).
\]
Вариант 2 (задания)
Вы смотрели: Алгебра Алимов Самостоятельная 24. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 10 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.