Алгебра 10 класс УМК Алимов. Дидактические материалы Шабунин Самостоятельная работа № 27 по п.22 «Поворот точки вокруг начала координат» Варианты 1, 2. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Самостоятельная 27.
Вернуться к СПИСКУ самостоятельных
Алгебра 10 класс Алимов
Самостоятельная работа № 27
Проверяемая тема: § 22. Поворот точки вокруг начала координат.
Вариант 1 (задания)
ОТВЕТЫ на Вариант 1
Изобразить на единичной окружности точку, полученную поворотом точки Р(1; 0) на угол а (1—3).
№ 1. Задание: а) a = π/6; б) a = 3π/4. Изобразить точку.
Решение:
На единичной окружности начальная точка P(1;0) соответствует углу 0.
► а) Поворот на π/6 против часовой стрелки → точка в I четверти, координаты (cos π/6, sin π/6) = (√3/2, (1/2)).
► б) Поворот на 3π/4 против часовой стрелки → угол 135°, II четверть, координаты (─ √2/2, √2/2).
✅ Ответ: а) (√3/2, (1/2)); б) (─ √2/2, √2/2).
№ 2. Задание: a = π/8 + π k, k ∈ Z. Изобразить точку.
Решение:
При чётном k = 2n : a = π/8 + 2π n → I четверть.
При нечётном k = 2n + 1 : a = π/8 + π + 2π n = 9π/8 → III четверть (так как π < 9π/8 < 3π/2).
Координаты: для k чётного (cos π/8, sin π/8), для k нечётного (─cos π/8, ─sin π/8).
✅ Ответ:
Две возможные точки на окружности, симметричные относительно начала координат.
№ 3. Задание: a = 2π/3 + π/2 k, k ∈ Z. Изобразить точку.
Решение:
Рассмотрим остатки по модулю 2π :
k = 0 : a = 2π/3 (II ч.)
k = 1 : a = 2π/3 + π/2 = 7π/6 (III ч.)
k = 2 : a = 2π/3 + π = 5π/3 (IV ч.)
k = 3 : a = 2π/3 + 3π/2 = 13π/6 = π/6 + 2π (I ч.)
Далее цикл из 4 точек повторяется.
✅ Ответ: Точки во всех четвертях в порядке II, III, IV, I при k = 0, 1, 2, 3.
Установить, в какой четверти координатной плоскости лежит точка единичной окружности, соответствующая углу а (4—7).
№ 4. Задание: а) a = ─ π/12; б) a = 6π/7; в) a = 27π/4.
Решение:
► а) ─ π/12 = поворот по часовой стрелке на π/12 → эквивалентно 2π ─ π/12 = 23π/12 (IV четверть).
► б) 6π/7 : π/2 < 6π/7 < π → II четверть.
► в) 27π/4 = 6π + 3π/4 → отбрасываем полные обороты 6π, остаётся 3π/4 (II четверть).
✅ Ответ: а) IV; б) II; в) II.
№ 5. Задание: a = 94°; a = ─100°; a = 587°.
Решение:
94° : 90° < 94° < 180° → II четверть.
─100° : эквивалентно 260° (360° ─ 100°), 180° < 260° < 270° → III четверть.
587° = 360° + 227°, 180° < 227° < 270° → III четверть.
✅ Ответ: II, III, III.
№ 6. Задание: a = 1; a = 4,5; a = 15 (в радианах).
Решение:
Сравним с π/2 ≈ 1,57, π ≈ 3,14, 3π/2 ≈ 4,71, 2π ≈ 6,28.
1 радиан: 0 < 1 < 1,57 → I четверть.
4,5 радиан: 3,14 < 4,5 < 4,71 → III четверть.
15 радиан: 15/6,28 ≈ 2,39 оборотов, вычтем 2 • 2π ≈ 12,566, остаток ≈ 2,434 радиан, 1,57 < 2,434 < 3,14 → II четверть.
✅ Ответ: I, III, II.
№ 7. Задание: a = 0,8 + 2π k, k ∈ Z.
Решение:
Главное значение 0,8 радиан лежит в I четверти (0 < 0,8 < π/2). При любом k точка та же самая на единичной окружности, что и для 0,8.
✅ Ответ: I четверть.
Найти координаты точки Ра, полученной поворотом точки Р(1; 0) на угол а (8—9).
№ 8. Задание: а) a = 9π/2; б) a = 630°.
Решение:
► а) 9π/2 = 4π + π/2 → эквивалентно π/2, координаты (0, 1).
► б) 630° = 360° + 270° → эквивалентно 270° или ─ π/2, координаты (0, ─1).
✅ Ответ: а) (0, 1); б) (0, ─1).
№ 9. Задание: a = ─11π; a = ─900°.
Решение:
─11π = ─12π + π → эквивалентно π, координаты (─1, 0).
─900° = ─1080° + 180° → эквивалентно 180°, координаты (─1, 0).
✅ Ответ: а) (─1, 0); б) (─1, 0).
Установить четверть, в которой расположена точка Ра, полученная поворотом точки Р (1; 0) на угол а (10—12).
№ 10. Задание: 8π < a < 17π/2.
Решение:
8π = 4 • 2π, 17π/2 = 8π + π/2.
Вычитаем 8π : 0 < a ─ 8π < π/2 → I четверть.
✅ Ответ: I четверть.
№ 11. Задание: ─ 11π/2 < a < ─5π.
Решение:
Приведём к положительному диапазону, добавив 6π (кратное 2π):
─ 11π/2 + 6π = π/2, ─5π + 6π = π.
Получаем π/2 < a’ < π → II четверть.
✅ Ответ: II четверть.
№ 12. Задание: 1620° < a < 1710°.
Решение:
Вычтем 4 • 360° = 1440° :
1620° ─ 1440° = 180°, 1710° ─ 1440° = 270°.
Получаем 180° < a’ < 270° → III четверть.
✅ Ответ: III четверть.
Установить четверть, в которой расположена точка Ра, полученная поворотом точки Р(1; 0) на угол а радиан (13—14).
№ 13. Задание: a = π/2 ─ α, где 0 < α < π/2. Найти четверть.
Решение: π/2 ─ α : при α ∈ (0, π/2) значение π/2 ─ α ∈ (0, π/2) → I четверть.
✅ Ответ: I четверть.
№ 14. Задание: a = π + α, где 0 < α < π/2.
Решение: π + α ∈ (π, 3π/2) → III четверть.
✅ Ответ: III четверть.
Вариант 2 (задания)
ОТВЕТЫ на Вариант 2
Изобразить на единичной окружности точку, полученную поворотом точки Р(1; 0) на угол а (1—3).
№ 1. а) a = π/8; б) a = 2π/3.
Решение:
► а) π/8 — угол I четверти (≈22,5°).
► б) 2π/3 = 120° — угол II четверти.
На единичной окружности отмечаем точки, откладывая от положительной оси Ox против часовой стрелки.
✅ Ответ:
а) Точка в I четверти, координаты (cos π/8,sin π/8).
б) Точка во II четверти, координаты (─(1/2), √3/2).
№ 2. a = π/3 + π k, k ∈ Z.
Решение:
При k чётном: a = π/3 + 2π n — I четверть.
При k нечётном: a = π/3 + π + 2π n = 4π/3 — III четверть.
✅ Ответ: Точки лежат в I и III четвертях попеременно.
№ 3. a = 5π/6 + 2π k/3, k ∈ Z.
Решение:
Рассмотрим остатки от деления на 2π.
5π/6 = 150° — II четверть.
Прибавляем 2π/3 = 120° :
k = 0 : 150° (II)
k = 1 : 150° + 120° = 270° (граница III/IV)
k = 2 : 150° + 240° = 390° = 30° I
Далее цикл повторяется.
✅ Ответ: Точки лежат в II, на оси (270°), в I.
Установить, в какой четверти координатной плоскости лежит точка единичной окружности, соответствующая углу а (4—7).
№ 4. а) π/5; б) ─ 3π/8; в) 31π/6.
Решение:
► а) π/5 = 36° — I четверть.
► б) ─ 3π/8 — поворот по часовой стрелке, эквивалентно 2π ─ 3π/8 = 13π/8 (IV четверть).
► в) 31π/6 = 5π + π/6.
5π — нечётное число полуоборотов, точка симметрична относительно начала координат точке для π + π/6 = 7π/6 (III четверть).
✅ Ответ: а) I; б) IV; в) III.
№ 5. a = –47°; a = –182°; a = 415°.
Решение:
–47° → 360°–47° = 313° (IV четверть).
–182° → 360°–182° = 178° (II четверть).
415° → 415°–360° = 55° (I четверть).
✅ Ответ: IV, II, I.
№ 6. a = 2; a = 3,6; a = 12 (в радианах).
Решение:
Сравним с π/2 ≈ 1,57, π ≈ 3,14, 3π/2 ≈ 4,71, 2π ≈ 6,28.
2 рад: 1,57 < 2 < 3,14 → II четверть.
3,6 рад: 3,14 < 3,6 < 4,71 → III четверть.
12 рад: 12 ─ 2π ≈ 12 ─ 6,28 = 5,72 (ещё раз вычтем 2π ? 5,72 – 6,28 отрицательно, значит 12 рад = 5,72 рад после вычета одного оборота).
5,72 рад: 4,71 < 5,72 < 6,28 → IV четверть.
✅ Ответ: II, III, IV.
№ 7. a = 1,8 + 2π k, k ∈ Z.
Решение:
1,8 рад ≈ 103° (так как 1,57 = 90°, 1,8 чуть больше) — II четверть.
Прибавление 2π k не меняет положение на окружности.
✅ Ответ: Все такие точки во II четверти.
Найти координаты точки Ра, полученной поворотом точки Р(1; 0) на угол а (8—9).
№ 8. а) a = 11π/2; б) a = 810°.
Решение:
► а) 11π/2 = 5π + π/2.
5π — нечётное число полуоборотов, значит точка симметрична относительно начала координат точке для π/2.
Точка для π/2 — (0,1), симметрия даёт (0,–1).
Проверка: 11π/2 ─ 2π • 2 = 11π/2 ─ 4π = 3π/2, что соответствует (0,–1).
► б) 810° = 720° + 90° = 90° → координаты (0,1).
✅ Ответ: а) (0,–1); б) (0,1).
№ 9. а) a = –13π; б) a = –1080°.
Решение:
► а) –13π = –12π – π = –π (mod 2π).
Точка для –π (или π) — (–1,0).
► б) –1080° = –3·360° → 0° → (1,0).
✅ Ответ: а) (–1,0); б) (1,0).
Установить четверть, в которой расположена точка Ра, полученная поворотом точки Р (1; 0) на угол а (10—12).
№ 10. 19π/2 < a < 10π.
Решение:
19π/2 = 9,5π, 10π = 10π.
Приведём к промежутку от 0 до 2π:
Вычтем 4• 2π = 8π от границ:
9,5π ─ 8π = 1,5π, 10π ─ 8π = 2π.
Угол a (mod 2π) лежит в (1,5π, 2π) → IV четверть.
✅ Ответ: IV четверть.
№ 11. –5,5π < a < –5π.
Решение:
Добавим 3 • 2π = 6π :
–5,5π + 6π = 0,5π, –5π + 6π = π.
Промежуток (0,5π, π) → II четверть.
✅ Ответ: II четверть.
№ 12. 1980° < a < 2070°.
Решение:
Вычтем 5·360° = 1800°:
1980°–1800° = 180°, 2070°–1800° = 270°.
Промежуток (180°,270°) → III четверть.
✅ Ответ: III четверть.
Установить четверть, в которой расположена точка Ра, полученная поворотом точки Р(1; 0) на угол а радиан (13—14).
№ 13. a = 3π/2 + α, 0 < α < π/2.
Решение:
3π/2 = 270° (ось OY отрицательная).
Прибавляем α от 0 до 90°:
270° + (0…90°) = 270°…360° → IV четверть.
✅ Ответ: IV четверть.
№ 14. a = π – α, 0 < α < π/2.
Решение:
π = 180° (ось OX отрицательная).
Вычитаем α от 0 до 90°:
180° – (0…90°) = 180°…90° → II четверть.
✅ Ответ: II четверть.
Вы смотрели: Алгебра Алимов Самостоятельная 27. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 10 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.