Алгебра 10 класс УМК Алимов. Дидактические материалы Шабунин Самостоятельная работа № 28 по п.23 «Определение синуса, косинуса и тангенса угла» Варианты 1, 2. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Самостоятельная 28.
Вернуться к СПИСКУ самостоятельных
Алгебра 10 класс Алимов
Самостоятельная работа № 28
Проверяемая тема: § 23. Определение синуса, косинуса и тангенса угла.
Справочные сведения
Примеры с решениями (от авторов)
Вариант 1 (задания)
ОТВЕТЫ на Вариант 1
№ 1. Дан прямоугольный треугольник MNK, ∠N = 90°. Найти синус, косинус и тангенс углов M и K, если KN = 6 см, KM = 10 см.
Решение:
1. Обозначим:
△ MNK, ∠N = 90° ⇒ KN и MN — катеты, KM — гипотенуза.
По условию: KN = 6, KM = 10.
2. Найдём MN по теореме Пифагора:
MN = √{KM² ─ KN²} = √{10² ─ 6²} = √{100 ─ 36} = √64 = 8 см.
3. Угол M лежит против катета KN, значит:
sin M = KN/KM = 6/10 = 0,6.
cos M = MN/KM = 8/10 = 0,8.
tan M = KN/MN = 6/8 = 0,75.
4. Угол K лежит против катета MN, значит:
sin K = MN/KM = 8/10 = 0,8.
cos K = KN/KM = 6/10 = 0,6.
tan K = MN/KN = 8/6 = 4/3 ≈ 1,333…
✅ Ответ:
sin M = 0,6, cos M = 0,8, tan M = 0,75.
sin K = 0,8, cos K = 0,6, tan K = 4/3.
№ 2. Найти все углы, на которые нужно повернуть точку P(1;0), чтобы получить точку A(1;0).
Решение: Точка A совпадает с начальной точкой P, значит, поворот на 0 или на целое число полных оборотов:
α = 2π k, k ∈ Z.
✅ Ответ: α = 2πk, k ∈ Z.
№ 3. Найти все углы, на которые нужно повернуть точку P(1;0), чтобы получить точку A(─√2/2; √2/2).
Решение: Координаты соответствуют углу α, для которого
cos α = ─ √2/2, sin α = √2/2.
Это угол 3π/4 (135°) и все углы, отличающиеся на 2π k :
α = 3π/4 + 2π k,k ∈ Z.
✅ Ответ: α = 3π/4 + 2πk, k ∈ Z.
№ 4. Изобразить на единичной окружности точки, полученные поворотом точки P(1;0) на угол a, если sin a = 0,25.
Решение:
sin a = 0,25 ⇒ на единичной окружности это точки с y = 0,25.
Таких точек две:
1. a = arcsin 0,25 (первая четверть),
2. a = π ─ arcsin 0,25 (вторая четверть).
✅ Ответ:
Точки: (cosα₁; 0,25) и (cosα₂; 0,25), где
α₁ = arcsin 0,25, α₂ = π ─ arcsin 0,25.
№ 5. Изобразить на единичной окружности точки, полученные поворотом точки P(1;0) на угол a, если cos a = ─0,7.
Решение:
cos a = ─0,7 ⇒ на единичной окружности это точки с x = ─0,7.
Таких точек две:
1. a = arccos(─0,7) (вторая четверть, sin a > 0),
2. a = ─arccos(─0,7) (третья четверть? Проверим: arccos(─0,7) ∈ (π/2,π), значит, симметричная относительно оси OX точка будет иметь угол 2π ─ arccos(─0,7), что в третьей четверти? Нет, в третьей четверти косинус тоже отрицателен, но синус отрицателен. Угол 2π ─ arccos(─0,7) будет в четвёртой? Нет, там косинус положителен. Правильно: вторая точка — a = 2π ─ arccos(─0,7) — это угол в третьей четверти? Проверим: arccos(─0,7) ≈ 2,346, тогда 2π ─ 2,346 ≈ 3,937 — это больше π и меньше 3π/2? 3,937 > 3π/2 ≈ 4,71? Нет, 3,937 < 4,71, значит, это угол между π и 3π/2? 3,937 > π (3,14) и < 3π/2 (4,71) — да, третья четверть, синус отрицателен.
✅ Ответ:
Точки: (─0,7; sinα₁) и (─0,7; sinα₂), где
α₁ = arccos(─0,7), α₂ = 2π ─ arccos(─0,7).
№ 6. Изобразить на единичной окружности точки, полученные поворотом точки P(1;0) на угол a, если sin a = √2/2.
Решение:
sin a = √2/2 ⇒ a = π/4 + 2π k или a = 3π/4 + 2πk, k ∈ Z.
На единичной окружности это точки:
1. (√2/2, √2/2) (первая четверть),
2. (─√2/2, √2/2) (вторая четверть).
✅ Ответ: Точки (√2/2, √2/2) и (─√2/2, √2/2).
№ 7. Используя калькулятор, найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки P(1;0) на угол a = 36°.
Решение: cos 36° ≈ 0,8090, sin 36° ≈ 0,5878.
✅ Ответ: (0,8090;0,5878).
№ 8. Используя калькулятор, найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки P(1;0) на угол a = 2,2π.
Решение:
2,2π = 2π + 0,2π. Поворот на 2π — полный оборот, значит, эквивалентно углу 0,2π радиан = 36°.
Координаты те же, что в №7:
cos 36° ≈ 0,8090, sin 36° ≈ 0,5878.
✅ Ответ: (0,8090; 0,5878).
№ 9. Используя калькулятор, найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки P(1;0) на угол a = 3,1 (радиан).
Решение:
cos 3,1 ≈ ─0,9991, sin 3,1 ≈ 0,0416.
(Проверка: 3,1 рад ≈ 177,6°, косинус близок к ─1, синус мал положительный.)
✅ Ответ: (─0,9991; 0,0416).
№ 10. Записать все углы из промежутка [─2π; 2π], на которые нужно повернуть точку P(1;0), чтобы получить точку P_a, если sin a = √3/2.
Решение:
sin a = √3/2 ⇒ a = π/3 + 2π k или a = 2π/3 + 2π k.
В промежутке [─2π; 2π] :
Для k = ─1 : π/3 ─ 2π = ─5π/3, 2π/3 ─ 2π = ─4π/3.
Для k = 0 : π/3, 2π/3.
Для k = 1 : π/3 + 2π = 7π/3 > 2π — не входит, 2π/3 + 2π = 8π/3 > 2π — не входит.
Проверим границы: ─2π = ─6π/3, 2π = 6π/3.
─ 5π/3 > ─2π, ─4π/3 > ─2π, π/3 < 2π, 2π/3 < 2π.
✅ Ответ: a ∈ {─5π/3,─ 4π/3, π/3, 2π/3}.
№ 11. Записать все углы из промежутка [─2π; 2π], на которые нужно повернуть точку P(1;0), чтобы получить точку P_a, если cos a = ─(1/2).
Решение:
cos a = ─(1/2) ⇒ a = 2π/3 + 2π k или a = 4π/3 + 2π k.
В промежутке [─2π; 2π] :
Для k = ─1 : 2π/3 ─ 2π = ─4π/3, 4π/3 ─ 2π = ─2π/3.
Для k = 0 : 2π/3, 4π/3.
Для k = 1 : 2π/3 + 2π = 8π/3 > 2π — нет, 4π/3 + 2π = 10π/3 > 2π — нет.
✅ Ответ: a ∈ {─4π/3, ─2π/3, 2π/3, 4π/3 }.
№ 12. Записать все углы из промежутка [─2π; 2π], на которые нужно повернуть точку P(1;0), чтобы получить точку P_a, если sin a = ─ √2/2.
Решение:
sin a = ─ √2/2 ⇒ a = ─ π/4 + 2π k или a = 5π/4 + 2π k.
В промежутке [─2π; 2π] :
Для k = ─1 : ─π/4 ─ 2π = ─9π/4 < ─2π — нет, 5π/4 ─ 2π = ─3π/4 — входит.
Для k = 0 : ─π/4, 5π/4.
Для k = 1 : ─π/4 + 2π = 7π/4, 5π/4 + 2π = 13π/4 > 2π — нет.
✅ Ответ: a ∈ {─3π/4, ─π/4, 5π/4, 7π/4 }.
№ 13. Сравнить числа sin 1,3 и sin 1,5.
Решение:
Функция y = sin x на отрезке [0, π] возрастает на [0, π/2] и убывает на [π/2, π].
Сравним аргументы: 1,3 и 1,5 радиан.
π/2 ≈ 1,5708.
Оба числа 1,3 и 1,5 лежат в интервале [0, π/2], так как 1,5 < 1,5708.
На этом интервале синус возрастает.
Так как 1,3 < 1,5, то sin 1,3 < sin 1,5.
✅ Ответ: sin 1,3 < sin 1,5.
№ 14. Сравнить числа cos 2 и cos 2,4.
Решение:
Функция y = cos x на отрезке [0, π] убывает.
Аргументы: 2 и 2,4 радиан.
Оба лежат в [0, π], так как π ≈ 3,14.
Так как 2 < 2,4 и косинус убывает на [0, π], то cos 2 > cos 2,4.
✅ Ответ: cos 2 > cos 2,4.
№ 15. Найти значение выражения sin π/2 + cos π/2.
Решение:
sin π/2 = 1, cos π/2 = 0.
1 + 0 = 1.
✅ Ответ: 1.
№ 16. Найти значение выражения cos (–π) – sin 3π/2.
Решение:
cos(─π) = cos π = ─1 (косинус — чётная функция).
sin 3π/2 = ─1.
Тогда: ─1 ─ (─1) = ─1 + 1 = 0.
✅ Ответ: 0.
№ 17. Найти значение выражения sin π/3 + cos (–π/2).
Решение:
sin π/3 = √3/2.
cos(─π/2) = cos π/2 = 0.
√3/2 + 0 = √3/2.
✅ Ответ: √3/2.
№ 18. Найти значение выражения sin (–3π/2) + cos π/4.
Решение:
sin(─3π/2) = ─sin 3π/2 (синус — нечётная функция).
sin 3π/2 = ─1, значит ─sin 3π/2 = ─(─1) = 1.
cos π/4 = √2/2.
1 + √2/2 = (2 + √2)/2.
✅ Ответ: (2 + √2)/2.
№ 19. Вычислить tg π.
Решение: tg π = sin π/cos π = 0/(─1) = 0.
✅ Ответ: 0.
№ 20. Вычислить ctg 3π/2.
Решение:
ctg 3π/2 = (cos 3π/2) / (sin 3π/2).
cos 3π/2 = 0, sin 3π/2 = ─1.
0/(─1) = 0.
✅ Ответ: 0.
№ 21. Вычислить tg π/3.
Решение:
tg π/3 = (sin π/3) / (cos π/3) = (√3/2)/(1/2) = √3.
✅ Ответ: √3.
Найти синус, косинус и тангенс числа a (22—24).
№ 22. a = 7π
Решение:
Угол 7π можно представить как 7π = 6π + π = 3 • 2π + π.
Поворот на 7π эквивалентен повороту на π (так как полные обороты 2π не меняют положение точки на окружности).
Точка, соответствующая углу π на единичной окружности: (─1; 0).
sin 7π = sin π = 0
cos 7π = cos π = ─1
tan 7π = sin 7π/cos 7π = 0/(─1) = 0
✅ Ответ: sin 7π = 0, cos 7π = ─1, tan 7π = 0.
№ 23. a = –9π/2
Решение: Преобразуем:
─9π/2 = ─8π/2 ─ π/2 = ─4π ─ π/2
─4π — два полных оборота по часовой стрелке (не меняют положение точки).
Остаётся угол ─ π/2 (или эквивалентный ему 3π/2 при движении против часовой стрелки).
Точка на единичной окружности для угла ─ π/2 (или 3π/2): (0; ─1).
sin(─ 9π/2) = sin(─ π/2) = ─1
cos(─ 9π/2) = cos(─ π/2) = 0
Тангенс не определён, так как косинус равен 0.
✅ Ответ:
sin(─9π/2) = ─1, cos(─9π/2) = 0, tan(─9π/2) не существует.
№ 24. a = 1980°
Решение:
Вычтем полные обороты: 1980° : 360° = 5 целых оборотов и остаток:
1980 ─ 5 • 360 = 1980 ─ 1800 = 180°
Угол 180° соответствует точке (─1; 0).
sin 1980° = sin 180° = 0
cos 1980° = cos 180° = ─1
tan 1980° = 0/(─1) = 0
✅ Ответ:
sin 1980° = 0, cos 1980° = ─1, tan 1980° = 0.
Решить уравнение (25—30).
№ 25. 3 sin a = 0
Решение:
3sin a = 0 ⇒ sin a = 0
a = πn, n ∈ Z
✅ Ответ: a = πn, n ∈ Z.
№ 26. 2 cos a = –2
Решение:
2cos a = ─2 ⇒ cos a = ─1
a = π + 2πn, n ∈ Z
✅ Ответ: a = π + 2πn, n ∈ Z.
№ 27. sin a – 1 = 0
Решение: sin a = 1
a = π/2 + 2πn, n ∈ Z
✅ Ответ: a = π/2 + 2πn, n ∈ Z.
№ 28. cos 3x = 1
Решение:
cos 3x = 1 ⇒ 3x = 2πn, n ∈ Z
x = 2πn/3, n ∈ Z
✅ Ответ: x = 2πn/3, n ∈ Z.
№ 29. sin (x + π/4) = –1
Решение:
x + π/4 = ─ π/2 + 2πn, n ∈ Z
x = ─ π/2 ─ π/4 + 2πn = ─ 3π/4 + 2πn
✅ Ответ: x = ─ 3π/4 + 2πn, n ∈ Z.
№ 30. sin (3x + π/3) = 0
Решение:
3x + π/3 = π n, n ∈ Z
3x = π n ─ π/3
x = π n/3 ─ π/9, n ∈ Z
✅ Ответ: x = πn/3 ─ π/9, n ∈ Z.
№ 31. Одной из вершин квадрата, вписанного в единичную окружность, является точка с координатами (√2/2; √2/2). Найти координаты остальных вершин квадрата.
Решение:
Точка A(√2/2; √2/2) соответствует углу π/4.
Квадрат, вписанный в окружность, имеет вершины, отстоящие друг от друга на угол π/2 (90°).
Углы вершин:
π/4, π/4 + π/2 = 3π/4, 3π/4 + π/2 = 5π/4, 5π/4 + π/2 = 7π/4
Координаты:
1. π/4: (√2/2; √2/2) — дано.
2. 3π/4: (─√2/2; √2/2).
3. 5π/4: (─√2/2; ─√2/2).
4. 7π/4: (√2/2; ─√2/2).
✅ Ответ: Остальные вершины:
(─√2/2; √2/2), (─√2/2; ─√2/2), (√2/2; ─√2/2).
Вариант 2 (задания)
Вы смотрели: Алгебра Алимов Самостоятельная 28. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 10 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.