Алгебра 10 класс УМК Алимов. Дидактические материалы Шабунин Самостоятельная работа № 31 по п.26 «Тригонометрические тождества» Варианты 1, 2. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Самостоятельная 31.
Вернуться к СПИСКУ самостоятельных
Алгебра 10 класс Алимов
Самостоятельная работа № 31
Проверяемая тема: § 26. Тригонометрические тождества.
Справочные сведения
Примеры с решениями (от авторов пособия)
Вариант 1 (задания)
ОТВЕТЫ на Вариант 1
№ 1. Доказать тождество:
\[
\sin^2 a — \cos^2 a = 1 — 2\cos^2 a
\]
Решение:
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
\[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin^2 a = 1 — \cos^2 a
\]
Подставим в левую часть:
\[
\sin^2 a — \cos^2 a = (1 — \cos^2 a) — \cos^2 a = 1 — 2\cos^2 a
\]
Получили правую часть. Тождество доказано.
✅ Ответ: тождество верно.
№ 2. Доказать тождество:
\[
\cos^4 a + \sin^2 a \cdot \cos^2 a + \sin^2 a = 1
\]
Решение:
Вынесем в первых двух слагаемых \(\cos^2 a\):
\[
\cos^4 a + \sin^2 a \cos^2 a = \cos^2 a (\cos^2 a + \sin^2 a) = \cos^2 a \cdot 1 = \cos^2 a
\]
Теперь левая часть:
\[
\cos^2 a + \sin^2 a = 1
\]
Тождество доказано.
✅ Ответ: тождество верно.
№ 3. Доказать тождество:
\[
\frac{\sin^4 a — \cos^4 a}{\sin a — \cos a} = \sin a + \cos a
\]
Решение:
Разложим числитель по формуле разности квадратов:
\[
\sin^4 a — \cos^4 a = (\sin^2 a — \cos^2 a)(\sin^2 a + \cos^2 a) = (\sin^2 a — \cos^2 a) \cdot 1
\]
То есть:
\[
\sin^4 a — \cos^4 a = \sin^2 a — \cos^2 a
\]
Разложим \(\sin^2 a — \cos^2 a\) как разность квадратов:
\[
\sin^2 a — \cos^2 a = (\sin a — \cos a)(\sin a + \cos a)
\]
Подставим в дробь:
\[
\frac{(\sin a — \cos a)(\sin a + \cos a)}{\sin a — \cos a} = \sin a + \cos a
\]
(при условии \(\sin a \neq \cos a\), что не требуется для тождества в общем виде, кроме точек, где знаменатель исходной дроби ненулевой).
✅ Ответ: тождество верно.
№ 4. Доказать тождество:
\[
\frac{\sin a + \;tg\; a}{1 + \cos a} = \;tg\; a
\]
Решение:
Заменим \(\;tg\; a = \frac{\sin a}{\cos a}\):
\[
\sin a + \;tg\; a = \sin a + \frac{\sin a}{\cos a} = \sin a \left(1 + \frac{1}{\cos a}\right) = \sin a \cdot \frac{\cos a + 1}{\cos a}
\]
Подставим в левую часть:
\[
\frac{\sin a \cdot \frac{1 + \cos a}{\cos a}}{1 + \cos a} = \frac{\sin a}{\cos a} = \;tg\; a
\]
(при условии \(\cos a \neq 0\) и \(1 + \cos a \neq 0\), что для тождества выполняется, кроме особых точек).
✅ Ответ: тождество верно.
№ 5. Доказать тождество:
\[
\frac{\sin^2 a — \cos^2 a}{\;tg\; a — \;ctg\; a} = \sin a \cos a
\]
Решение:
Преобразуем знаменатель:
\[
\;tg\; a — \;ctg\; a = \frac{\sin a}{\cos a} — \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{\sin^2 a — \cos^2 a}{\sin a \cos a}
\]
Подставим в дробь:
\[
\frac{\sin^2 a — \cos^2 a}{\frac{\sin^2 a — \cos^2 a}{\sin a \cos a}} = (\sin^2 a — \cos^2 a) \cdot \frac{\sin a \cos a}{\sin^2 a — \cos^2 a} = \sin a \cos a
\]
(при условии \(\sin^2 a \neq \cos^2 a\) и \(\sin a \cos a \neq 0\), что не нарушает тождества в общем виде).
✅ Ответ: тождество верно.
№ 6. Доказать тождество:
\[
\frac{\sin^4 a + \sin^2 a \cos^2 a}{\cos^2 a} = \frac{1}{\cos^2 a} — 1
\]
Решение:
В числителе вынесем \(\sin^2 a\):
\[
\sin^4 a + \sin^2 a \cos^2 a = \sin^2 a (\sin^2 a + \cos^2 a) = \sin^2 a \cdot 1 = \sin^2 a
\]
Левая часть:
\[
\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \;tg\;^2 a
\]
Правая часть:
\[
\frac{1}{\cos^2 a} — 1 = \sec^2 a — 1 = \;tg\;^2 a
\]
Равенство верно.
✅ Ответ: тождество верно.
№ 7. Доказать тождество для \(0 < a < \frac{\pi}{2}\):
\[
\sqrt{\frac{1 + \cos a}{1 — \cos a}} — \sqrt{\frac{1 — \cos a}{1 + \cos a}} = 2\;tg\; a
\]
Решение: …
№ 8. Найти \(\sin \alpha + \cos \alpha\), если \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha = 0,2\).
Решение:
Обозначим \(t = \sin \alpha + \cos \alpha\).
Возведём в квадрат:
\[
t^2 = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha.
\]
Так как \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), то
\[
t^2 = 1 + 2 \cdot 0,2 = 1 + 0,4 = 1,4.
\]
Отсюда
\[
t = \pm \sqrt{1,4} = \pm \sqrt{\frac{14}{10}} = \pm \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{10}} = \pm \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \pm \frac{\sqrt{140}}{10} = \pm \frac{2\sqrt{35}}{10} = \pm \frac{\sqrt{35}}{5}.
\]
По условию не указано, в какой четверти находится угол, поэтому возможны оба знака.
Ответ: \(\displaystyle \pm \frac{\sqrt{35}}{5}\).
№ 9. Найти \(\sin^4 \alpha — \cos^4 \alpha\), если \(\sin \alpha — \cos \alpha = 0,7\).
Решение: Разложим разность четвёртых степеней:
\[
\sin^4 \alpha — \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = (\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha) \cdot 1.
\]
Но \(\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha = (\sin \alpha — \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha)\).
Найдём \(\sin \alpha + \cos \alpha\).
Обозначим \(u = \sin \alpha + \cos \alpha\).
Из условия \(\sin \alpha — \cos \alpha = 0,7\).
Возведём оба равенства в квадрат и сложим? Нет, лучше так:
\[
(\sin \alpha — \cos \alpha)^2 = 0,49.
\]
Раскроем:
\[
\sin^2 \alpha — 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 0,49.
\]
\[
1 — 2\sin \alpha \cos \alpha = 0,49 \quad \Rightarrow \quad 2\sin \alpha \cos \alpha = 0,51.
\]
Тогда
\[
(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 + 0,51 = 1,51.
\]
Значит,
\[
\sin \alpha + \cos \alpha = \pm \sqrt{1,51}.
\]
Тогда
\[
\sin^4 \alpha — \cos^4 \alpha = (\sin \alpha — \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha) = 0,7 \cdot (\pm \sqrt{1,51}) = \pm 0,7 \sqrt{1,51}.
\]
Можно оставить в таком виде или записать как \(\pm \frac{7}{10} \sqrt{\frac{151}{100}} = \pm \frac{7\sqrt{151}}{100}\).
Ответ: \(\displaystyle \pm 0,7\sqrt{1,51}\) или \(\displaystyle \pm \frac{7\sqrt{151}}{100}\).
№ 10. Найти \(\cos^3 \alpha + \sin^3 \alpha\), если \(\cos \alpha \cdot \sin \alpha = 0,4\).
Решение:
Используем формулу суммы кубов:
\[
\cos^3 \alpha + \sin^3 \alpha = (\cos \alpha + \sin \alpha)(\cos^2 \alpha — \cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha).
\]
Так как \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\), то
\[
\cos^3 \alpha + \sin^3 \alpha = (\cos \alpha + \sin \alpha)(1 — \cos \alpha \sin \alpha).
\]
Из условия \(\cos \alpha \sin \alpha = 0,4\), поэтому \(1 — \cos \alpha \sin \alpha = 0,6\).
Найдём \(\cos \alpha + \sin \alpha = t\).
Как в №8:
\[
t^2 = 1 + 2\cos \alpha \sin \alpha = 1 + 0,8 = 1,8.
\]
\[
t = \pm \sqrt{1,8} = \pm \sqrt{\frac{18}{10}} = \pm \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \pm \frac{3\sqrt{20}}{10} = \pm \frac{6\sqrt{5}}{10} = \pm \frac{3\sqrt{5}}{5}.
\]
Тогда
\[
\cos^3 \alpha + \sin^3 \alpha = \left(\pm \frac{3\sqrt{5}}{5}\right) \cdot 0,6 = \pm \frac{3\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3}{5} = \pm \frac{9\sqrt{5}}{25}.
\]
(Проверка: \(0,6 = \frac{3}{5}\), да, \(3/5 \cdot 3\sqrt{5}/5 = 9\sqrt{5}/25\).)
Ответ: \(\displaystyle \pm \frac{9\sqrt{5}}{25}\).
№ 11. Решить уравнение:
\[
2\sin^2 2x — 1 = \cos 2x \cdot (1 — 2\cos 2x).
\]
Решение:
Преобразуем левую часть:
\[
2\sin^2 2x — 1 = — (1 — 2\sin^2 2x) = -\cos 4x.
\]
Но можно проще: заметим, что \(2\sin^2 2x — 1 = — \cos 4x\), но это не очень упрощает. Попробуем прямой путь.
Раскроем правую часть:
\[
\cos 2x — 2\cos^2 2x.
\]
Уравнение:
\[
2\sin^2 2x — 1 = \cos 2x — 2\cos^2 2x.
\]
Заменим \(\sin^2 2x = 1 — \cos^2 2x\):
\[
2(1 — \cos^2 2x) — 1 = \cos 2x — 2\cos^2 2x.
\]
\[
2 — 2\cos^2 2x — 1 = \cos 2x — 2\cos^2 2x.
\]
\[
1 — 2\cos^2 2x = \cos 2x — 2\cos^2 2x.
\]
Сокращаем \(-2\cos^2 2x\) с обеих сторон:
\[
1 = \cos 2x.
\]
Отсюда
\[
\cos 2x = 1 \quad \Rightarrow \quad 2x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\]
\[
x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\]
Проверка:
При \(x = \pi n\):
\(\sin 2x = \sin 2\pi n = 0\), значит \(2\sin^2 2x — 1 = -1\).
Правая часть: \(\cos 2x = 1\), \(1 — 2\cos 2x = 1 — 2 = -1\), произведение \(1 \cdot (-1) = -1\).
Равенство верно.
Ответ: \(x = \pi n, \; n \in \mathbb{Z}\).
№ 12. Решить уравнение:
\[
1 — 3\sin^2 3x = \sin 3x — 3(1 — \cos 3x)(1 + \cos 3x).
\]
Решение:
Упростим правую часть:
\[
(1 — \cos 3x)(1 + \cos 3x) = 1 — \cos^2 3x = \sin^2 3x.
\]
Тогда
\[
-3(1 — \cos 3x)(1 + \cos 3x) = -3\sin^2 3x.
\]
Правая часть уравнения:
\[
\sin 3x — 3\sin^2 3x.
\]
Уравнение принимает вид:
\[
1 — 3\sin^2 3x = \sin 3x — 3\sin^2 3x.
\]
Сокращаем \(-3\sin^2 3x\) с обеих сторон:
\[
1 = \sin 3x.
\]
Отсюда
\[
\sin 3x = 1 \quad \Rightarrow \quad 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.
\]
\[
x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}.
\]
Проверка:
При \(3x = \pi/2 + 2\pi k\):
\(\sin 3x = 1\), \(1 — 3\sin^2 3x = 1 — 3 = -2\).
Правая часть: \(\sin 3x — 3\sin^2 3x = 1 — 3 = -2\).
Равенство верно.
Ответ: \(\displaystyle x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, \; k \in \mathbb{Z}\).
Вариант 2 (задания)
ОТВЕТЫ на Вариант 2
№ 1. cos² a – sin² a = 1 – 2 sin² a.
Решение: Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
cos² a + sin² a = 1 ⇒ cos² a = 1 – sin² a.
Подставим в левую часть:
cos² a – sin² a = (1 – sin² a) – sin² a = 1 – 2 sin² a.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
✅Ответ: тождество верно.
№ 2. sin² a · cos² a + sin⁴ a + cos² a = 1.
Решение:
Сгруппируем первые два слагаемых:
sin² a · cos² a + sin⁴ a = sin² a (cos² a + sin² a) = sin² a · 1 = sin² a.
Теперь: sin² a + cos² a = 1.
Левая часть равна 1, тождество доказано.
✅ Ответ: тождество верно.
№ 3. 1/(sin a – cos a) = (sin a + cos a)/(sin⁴ a – cos⁴ a).
Решение:
Преобразуем правую часть.
sin⁴ a – cos⁴ a = (sin² a – cos² a)(sin² a + cos² a) = (sin² a – cos² a) · 1 = sin² a – cos² a.
Далее: sin² a – cos² a = (sin a – cos a)(sin a + cos a).
Тогда правая часть:
(sin a + cos a) / [(sin a – cos a)(sin a + cos a)] = 1/(sin a – cos a).
Получили левую часть, тождество доказано.
✅ Ответ: тождество верно.
№ 4. (cos a + ctg a)/(1 + sin a) = ctg a.
Решение:
ctg a = cos a / sin a.
cos a + ctg a = cos a + cos a / sin a = cos a (1 + 1/sin a) = cos a ( (sin a + 1) / sin a ).
Тогда левая часть:
[cos a (sin a + 1) / sin a] / (1 + sin a) = cos a / sin a = ctg a.
Тождество доказано.
✅ Ответ: тождество верно.
№ 5. (cos² a – sin² a)/(ctg a – tg a) = sin a · cos a.
Решение:
ctg a – tg a = cos a / sin a – sin a / cos a = (cos² a – sin² a) / (sin a cos a).
Тогда левая часть:
(cos² a – sin² a) / [ (cos² a – sin² a) / (sin a cos a) ] = sin a cos a.
✅ Ответ: тождество верно.
№ 6. (cos⁴ a + sin² a · cos² a)/(sin² a) = 1/(sin² a) – 1.
Решение:
В числителе вынесем cos² a:
cos⁴ a + sin² a cos² a = cos² a (cos² a + sin² a) = cos² a · 1 = cos² a.
Левая часть: cos² a / sin² a = ctg² a.
Правая часть: 1/sin² a – 1 = (1 – sin² a)/sin² a = cos² a / sin² a = ctg² a.
✅ Ответ: тождество верно.
№ 7. √{(1 — sin a)/(1 + sin a)} — √{(1 + sin a)/(1 — sin a)} = -2tg a для 0 < a < π/2.
Решение:
Упростим первое слагаемое:
√[(1 – sin a)/(1 + sin a)] = √[(1 – sin a)² / (1 – sin² a)] = √[(1 – sin a)² / cos² a] = (1 – sin a)/|cos a|.
Аналогично второе:
√[(1 + sin a)/(1 – sin a)] = √[(1 + sin a)² / (1 – sin² a)] = (1 + sin a)/|cos a|.
При 0 < a < π/2: cos a > 0 ⇒ |cos a| = cos a.
Тогда разность:
(1 – sin a)/cos a – (1 + sin a)/cos a = (1 – sin a – 1 – sin a)/cos a = (-2 sin a)/cos a = –2 tg a.
Тождество доказано.
✅ Ответ: тождество верно.
№ 8. Найти \( \sin a \cdot \cos a \), если \( \sin a — \cos a = 0,3 \).
Решение: Возведём данное равенство в квадрат:
\[
(\sin a — \cos a)^2 = 0,3^2
\]
\[
\sin^2 a — 2\sin a \cos a + \cos^2 a = 0,09
\]
Так как \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), получаем:
\[
1 — 2\sin a \cos a = 0,09
\]
\[
-2\sin a \cos a = 0,09 — 1
\]
\[
-2\sin a \cos a = -0,91
\]
\[
\sin a \cos a = \frac{0,91}{2} = 0,455
\]
Ответ: \( 0,455 \).
№ 9. Найти \( \sin^4 a — \cos^4 a \), если \( \sin a + \cos a = 0,8 \).
Решение:
Разложим разность четвёртых степеней:
\[
\sin^4 a — \cos^4 a = (\sin^2 a — \cos^2 a)(\sin^2 a + \cos^2 a) = (\sin^2 a — \cos^2 a) \cdot 1
\]
\[
\sin^2 a — \cos^2 a = (\sin a — \cos a)(\sin a + \cos a)
\]
Из условия \( \sin a + \cos a = 0,8 \).
Найдём \( \sin a — \cos a \). Возведём данное равенство в квадрат:
\[
(\sin a + \cos a)^2 = 0,8^2
\]
\[
\sin^2 a + 2\sin a \cos a + \cos^2 a = 0,64
\]
\[
1 + 2\sin a \cos a = 0,64
\]
\[
2\sin a \cos a = -0,36
\]
\[
\sin a \cos a = -0,18
\]
Теперь найдём \( (\sin a — \cos a)^2 \):
\[
(\sin a — \cos a)^2 = \sin^2 a — 2\sin a \cos a + \cos^2 a = 1 — 2(-0,18) = 1 + 0,36 = 1,36
\]
\[
\sin a — \cos a = \pm \sqrt{1,36} = \pm \sqrt{\frac{136}{100}} = \pm \frac{2\sqrt{34}}{10} = \pm \frac{\sqrt{34}}{5}
\]
Тогда:
\[
\sin^4 a — \cos^4 a = (\sin a — \cos a)(\sin a + \cos a) = \left( \pm \frac{\sqrt{34}}{5} \right) \cdot 0,8 = \pm \frac{\sqrt{34}}{5} \cdot \frac{4}{5} = \pm \frac{4\sqrt{34}}{25}
\]
Так как в условии не указан знак, оставляем два возможных значения.
Ответ: \( \pm \frac{4\sqrt{34}}{25} \).
№ 10. Найти \( \cos^3 a — \sin^3 a \), если \( \cos a — \sin a = 0,1 \).
Решение: Используем формулу разности кубов:
\[
\cos^3 a — \sin^3 a = (\cos a — \sin a)(\cos^2 a + \cos a \sin a + \sin^2 a)
\]
\[
= (\cos a — \sin a)(1 + \cos a \sin a)
\]
Из условия \( \cos a — \sin a = 0,1 \).
Найдём \( \cos a \sin a \). Возведём данное равенство в квадрат:
\[
(\cos a — \sin a)^2 = 0,1^2
\]
\[
\cos^2 a — 2\cos a \sin a + \sin^2 a = 0,01
\]
\[
1 — 2\cos a \sin a = 0,01
\]
\[
-2\cos a \sin a = -0,99
\]
\[
\cos a \sin a = 0,495
\]
Подставляем:
\[
\cos^3 a — \sin^3 a = 0,1 \cdot (1 + 0,495) = 0,1 \cdot 1,495 = 0,1495
\]
Ответ: \( 0,1495 \).
№ 11. Решить уравнение:
\[
2\cos^2 2x — 3 = \sin 2x \cdot (1 — 2\sin 2x)
\]
Решение:
Преобразуем правую часть:
\[
\sin 2x \cdot (1 — 2\sin 2x) = \sin 2x — 2\sin^2 2x
\]
Переносим всё в одну сторону:
\[
2\cos^2 2x — 3 — \sin 2x + 2\sin^2 2x = 0
\]
Заменяем \( \cos^2 2x = 1 — \sin^2 2x \):
\[
2(1 — \sin^2 2x) — 3 — \sin 2x + 2\sin^2 2x = 0
\]
\[
2 — 2\sin^2 2x — 3 — \sin 2x + 2\sin^2 2x = 0
\]
\[
-1 — \sin 2x = 0
\]
\[
\sin 2x = -1
\]
\[
2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\]
Ответ: \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \).
№ 12. Решить уравнение:
\[
(\sin 3x — 1)(\sin 3x + 1) = \sin 3x — \cos^2 3x
\]
Решение:
Слева разность квадратов:
\[
\sin^2 3x — 1 = \sin 3x — \cos^2 3x
\]
Заменяем \( \cos^2 3x = 1 — \sin^2 3x \):
\[
\sin^2 3x — 1 = \sin 3x — (1 — \sin^2 3x)
\]
\[
\sin^2 3x — 1 = \sin 3x — 1 + \sin^2 3x
\]
\[
\sin^2 3x — 1 = \sin^2 3x + \sin 3x — 1
\]
Сокращаем \( \sin^2 3x — 1 \) с обеих сторон:
\[
0 = \sin 3x
\]
\[
\sin 3x = 0
\]
\[
3x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
Проверка:
Подставим \( \sin 3x = 0 \) в исходное уравнение:
Левая часть: \( (0 — 1)(0 + 1) = -1 \)
Правая часть: \( 0 — \cos^2 3x = — \cos^2 3x \).
Но при \( \sin 3x = 0 \) имеем \( \cos^2 3x = 1 \), значит правая часть \( = -1 \).
Равенство верно.
Ответ: \( x = \frac{\pi k}{3}, \; k \in \mathbb{Z} \).
Вы смотрели: Алгебра Алимов Самостоятельная 31. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 10 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.