Частная школа 10 класс

Алгебра 10 класс УМК Алимов. Дидактические материалы Шабунин Контрольная работа № 1 Действительные числа Вариант 2. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Контрольная 1 В2.

Вернуться к СПИСКУ контрольных
Смотреть Контрольную 1. Вариант 1

Алгебра 10 класс Алимов
Контрольная № 1. Вариант 2

Проверяемая тема: Действительные числа

№ 1. Вычислить:
1) (2^9 • ⁵√16 • 8^0) / (4^4 • 2^{–1/5}; 2) (³√[3 • √81])^2.
ОТВЕТ: 1) 40 • 2^1/5; 2) 243.

№ 2. Известно, что 8^x = 5. Найти 8^{–x+2}.
ОТВЕТ: 12 ⁴/₅.

№ 3. Выполнить действия (a > 0, b > 0):
1) (a^{√3+1})^√3 • 1 / a^√3;
2) (⁵√[ab] − ⁵√b) / (⁵√b) − ⁵√a.
ОТВЕТ: 1) a³; 2) –1.

№ 4. Сравнить числа:
1) (0,7)^{–3/8} и (0,7)^{–5/8};
2) (π)^√3 и (3,14)^√3.
ОТВЕТ: 1) 0,7^–3/8 < 0,7^–5/8; 2) π^√3 > 3,14^√3.

№ 5. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,3(1) в виде обыкновенной.
ОТВЕТ: 14/45.

№ 6. Упростить: ((x – y) / (x^{3/4} + x^{1/2} • y^{1/4}) ─ (x^{1/2} ─ y^{1/2}) / (x^{1/4} + y^{1/4})) • (y/x)^{1/2} при x > 0, y > 0.
ОТВЕТ: (x^1/4 – y^1/4) • y/x.

РЕШЕНИЯ на Вариант 2

№ 1. Вычислить:
1) \( \frac{2^9 \cdot 5\sqrt{16} \cdot 8^0}{4^4 \cdot 2^{-1/5}} \)
2) \( \left(3\sqrt{3 \cdot \sqrt{81}}\right)^2 \)
Решение 1.1:
\( 2^9 = 512 \)
\( 5\sqrt{16} = 5 \cdot 4 = 20 \)
\( 8^0 = 1 \)
Числитель: \( 512 \cdot 20 \cdot 1 = 10240 \)
\( 4^4 = (2^2)^4 = 2^8 = 256 \)
\( 2^{-1/5} = \frac{1}{2^{1/5}} \)
Знаменатель: \( 256 \cdot 2^{-1/5} \)
Дробь: \( \frac{10240}{256 \cdot 2^{-1/5}} = \frac{40}{2^{-1/5}} = 40 \cdot 2^{1/5} \)
Ответ для 1.1): \( 40 \cdot 2^{1/5} \).
Решение 1.2:
\( \sqrt{81} = 9 \)
\( 3 \cdot 9 = 27 \)
\( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \)
\( 3\sqrt{3\sqrt{3}} \) — здесь, возможно, условие означает \( 3 \sqrt{3 \cdot \sqrt{81}} = 3 \sqrt{27} = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \)
Возводим в квадрат: \( (9\sqrt{3})^2 = 81 \cdot 3 = 243 \).
Ответ для 1.2): \( 243 \).

№ 2. Известно, что \( 8^x = 5 \). Найти \( 8^{-x+2} \).
Решение:
\( 8^{-x+2} = 8^{-x} \cdot 8^2 = \frac{1}{8^x} \cdot 64 = \frac{1}{5} \cdot 64 = \frac{64}{5} \)
Ответ: \( \frac{64}{5} \).

№ 3. Выполнить действия (\( a > 0, b > 0 \)):
1) \( (a^{\sqrt{3}+1})^{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{a^{\sqrt{3}}} \)
2) \( \frac{\sqrt[5]{ab} — \sqrt[5]{b}}{\sqrt[5]{b}} — \sqrt[5]{a} \)
Решение 3.1:
\( (a^{\sqrt{3}+1})^{\sqrt{3}} = a^{(\sqrt{3}+1)\sqrt{3}} = a^{3 + \sqrt{3}} \)
Умножаем на \( \frac{1}{a^{\sqrt{3}}} \): \( a^{3+\sqrt{3} — \sqrt{3}} = a^3 \)
Ответ для 3.1: \( a^3 \).
Решение 3.2:
\( \frac{\sqrt[5]{ab} — \sqrt[5]{b}}{\sqrt[5]{b}} = \frac{\sqrt[5]{b}(\sqrt[5]{a} — 1)}{\sqrt[5]{b}} = \sqrt[5]{a} — 1 \)
Вычитаем \( \sqrt[5]{a} \): \( \sqrt[5]{a} — 1 — \sqrt[5]{a} = -1 \)
Ответ для 3.2: \( -1 \).

№ 4. Сравнить числа:
1) \( (0,7)^{-3/8} \) и \( (0,7)^{-5/8} \)
2) \( \pi^{\sqrt{3}} \) и \( (3,14)^{\sqrt{3}} \)
Решение 4.1:
Основание \( 0,7 < 1 \), степенная функция убывает.
Так как \( -\frac{3}{8} > -\frac{5}{8} \), то \( (0,7)^{-3/8} < (0,7)^{-5/8} \)
Ответ для 4.1: \( (0,7)^{-3/8} < (0,7)^{-5/8} \).
Решение 4.2:
\( \pi \approx 3,14159 > 3,14 \), показатель \( \sqrt{3} > 0 \), функция возрастает.
Значит \( \pi^{\sqrt{3}} > (3,14)^{\sqrt{3}} \)
Ответ для 4.2: \( \pi^{\sqrt{3}} > (3,14)^{\sqrt{3}} \).

№ 5. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь \( 0,3(1) \) в виде обыкновенной.
Решение:
\( 0,3(1) = 0,311111\ldots \)
Пусть \( x = 0,3(1) \)
\( 10x = 3,11111\ldots \)
\( 100x = 31,11111\ldots \)
Вычтем: \( 100x — 10x = 31,111\ldots — 3,111\ldots \)
\( 90x = 28 \)
\( x = \frac{28}{90} = \frac{14}{45} \)
Ответ: \( \frac{14}{45} \).

№ 6. Упростить:
\[
\left( \frac{x-y}{x^{3/4} + x^{1/2} y^{1/4}} — \frac{x^{1/2} — y^{1/2}}{x^{1/4} + y^{1/4}} \right) \cdot \left( \frac{y}{x} \right)^{1/2}
\] при \( x > 0, y > 0 \).
Решение:
Первый член: \( \frac{x-y}{x^{3/4} + x^{1/2} y^{1/4}} \)
Заметим: \( x-y = (x^{1/2} — y^{1/2})(x^{1/2} + y^{1/2}) \)
Знаменатель: \( x^{3/4} + x^{1/2} y^{1/4} = x^{1/2}(x^{1/4} + y^{1/4}) \)
Тогда первый член:
\[
\frac{(x^{1/2} — y^{1/2})(x^{1/2} + y^{1/2})}{x^{1/2}(x^{1/4} + y^{1/4})}
\] Второй член: \( \frac{x^{1/2} — y^{1/2}}{x^{1/4} + y^{1/4}} \)
Разность:
\[
\frac{x^{1/2} — y^{1/2}}{x^{1/4} + y^{1/4}} \cdot \left[ \frac{x^{1/2} + y^{1/2}}{x^{1/2}} — 1 \right] \] \[
= \frac{x^{1/2} — y^{1/2}}{x^{1/4} + y^{1/4}} \cdot \frac{x^{1/2} + y^{1/2} — x^{1/2}}{x^{1/2}}
\] \[
= \frac{x^{1/2} — y^{1/2}}{x^{1/4} + y^{1/4}} \cdot \frac{y^{1/2}}{x^{1/2}}
\] Умножим на \( \left( \frac{y}{x} \right)^{1/2} = \frac{y^{1/2}}{x^{1/2}} \):
\[
\frac{x^{1/2} — y^{1/2}}{x^{1/4} + y^{1/4}} \cdot \frac{y^{1/2}}{x^{1/2}} \cdot \frac{y^{1/2}}{x^{1/2}}
\] \[
= \frac{x^{1/2} — y^{1/2}}{x^{1/4} + y^{1/4}} \cdot \frac{y}{x}
\] Но \( x^{1/2} — y^{1/2} = (x^{1/4} — y^{1/4})(x^{1/4} + y^{1/4}) \)
Сократим \( x^{1/4} + y^{1/4} \):
\[
(x^{1/4} — y^{1/4}) \cdot \frac{y}{x}
\] Ответ: \( \frac{y(x^{1/4} — y^{1/4})}{x} \).

Вы смотрели: Алгебра Алимов Контрольная 1 по теме ─ Действительные числа. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 10 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.

Вернуться к СПИСКУ контрольных
Смотреть Контрольную 1. Вариант 1