Алгебра 10 класс УМК Алимов. Дидактические материалы Шабунин Контрольная работа № 1 Действительные числа Вариант 1 из 2-х. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Контрольная 1 в1.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
Смотреть Контрольную 1. Вариант 2
Алгебра 10 класс Алимов
Контрольная № 1. Вариант 1
Проверяемая тема: Действительные числа
№ 1. Вычислить:
1) (³√9 • 3^5) / (15^0 • 27^2 • 3^{–1/3});
2) (³√[2 • √16])^2.
ОТВЕТ: 1) 1; 2) 4.
№ 2. Известно, что 12^x = 3. Найти 12^{2x–1}.
ОТВЕТ: ¾.
№ 3. Выполнить действия (a > 0, b > 0):
1) a^{4+√5} • (1 / a^{√5–1})^{√5+1};
2) (³√a + ³√[ab])/(³√a) ─ ³√b.
ОТВЕТ: 1) a√5; 2) 1.
№ 4. Сравнить числа:
1) (2/7)^{3/7} и (2/7)^{5/7};
2) (4,2)^√7 и (4 /5)^{√7}.
ОТВЕТ: 1) 2/73/7 > 2/75/7; 2) 4,2√7 < 4/5√7.
№ 5. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,2(7) в виде обыкновенной.
ОТВЕТ: 5/18.
№ 6. Упростить: ((a^{–1/2} + 2) / (a + 2a^{1/2} + 1)) – (a^{–1/2} – 2) / (a – 1)) • (a^{1/2} + 1) / (a^{1/2}), при a > 0, a ≠ 1.
ОТВЕТ: (2 • (2a –1)) / (a • (a – 1)).
РЕШЕНИЯ на Вариант 1
№ 1. Вычислить:
1) Дано:
\[
\frac{\sqrt[3]{9} \cdot 3^5}{15^0 \cdot 27^2 \cdot 3^{-1/3}}
\]
Решение:
\(\sqrt[3]{9} = 9^{1/3} = (3^2)^{1/3} = 3^{2/3}\)
\(15^0 = 1\)
\(27^2 = (3^3)^2 = 3^6\)
\(3^{-1/3}\) оставляем как есть
Числитель: \(3^{2/3} \cdot 3^5 = 3^{2/3 + 5} = 3^{17/3}\)
Знаменатель: \(1 \cdot 3^6 \cdot 3^{-1/3} = 3^{6 — 1/3} = 3^{18/3 — 1/3} = 3^{17/3}\)
Дробь: \(3^{17/3} / 3^{17/3} = 3^0 = 1\)
Ответ: \(1\).
2) Дано:
\[
\left( \sqrt[3]{2 \cdot \sqrt{16}} \right)^2
\]
Решение:
— \(\sqrt{16} = 4\)
— \(2 \cdot 4 = 8\)
— \(\sqrt[3]{8} = 2\)
— \(2^2 = 4\)
Ответ: \(4\).
№ 2. Известно, что \(12^x = 3\). Найти \(12^{2x-1}\).
Решение:
\[
12^{2x-1} = \frac{12^{2x}}{12} = \frac{(12^x)^2}{12} = \frac{3^2}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}
\]
Проверка:
Пусть \(x = \log_{12} 3\), тогда \(12^{2x-1} = 12^{2\log_{12}3 — 1} = 12^{\log_{12}9} \cdot 12^{-1} = 9 \cdot \frac{1}{12} = \frac{3}{4}\)
Ответ: \(\frac{3}{4}\).
№ 3. Выполнить действия (\(a > 0, b > 0\)):
1) Дано:
\[
a^{4+\sqrt{5}} \cdot \left( \frac{1}{a^{\sqrt{5}-1}} \right)^{\sqrt{5}+1}
\]
Решение:
— \(\left( \frac{1}{a^{\sqrt{5}-1}} \right)^{\sqrt{5}+1} = a^{-(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}\)
— \((\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1) = 5 — 1 = 4\)
— Получаем \(a^{-4}\)
Исходное: \(a^{4+\sqrt{5}} \cdot a^{-4} = a^{\sqrt{5}}\)
Ответ: \(a^{\sqrt{5}}\).
2) Дано:
$\frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}} — \sqrt[3]{b}$
где $a > 0$, $b > 0$
Решение:
1. Разделим каждое слагаемое в числителе на знаменатель:
$\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}} + \frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}} — \sqrt[3]{b}$
2. Упростим первое слагаемое:
$\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}} = 1$
3. Упростим второе слагаемое:
$\frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}} = \sqrt[3]{\frac{ab}{a}} = \sqrt[3]{b}$
4. Подставим упрощённые слагаемые в исходное выражение:
$1 + \sqrt[3]{b} — \sqrt[3]{b}$
5. Приведём подобные члены:
$1 + \sqrt[3]{b} — \sqrt[3]{b} = 1$
Ответ: $1$.
Проверка: при любых положительных значениях $a$ и $b$ результат будет равен $1$, что подтверждает правильность решения.
№ 4. Сравнить числа:
1) \((2/7)^{3/7}\) и \((2/7)^{5/7}\)
Решение:
Основание \(0 < 2/7 < 1\), поэтому больший показатель даёт меньшее значение.
\(3/7 < 5/7 \Rightarrow (2/7)^{3/7} > (2/7)^{5/7}\)
Ответ: \((2/7)^{3/7} > (2/7)^{5/7}\).
2) \((4,2)^{\sqrt{7}}\) и \((4/5)^{\sqrt{7}}\)
Решение:
Показатель \(\sqrt{7} > 0\).
Основание \(4.2 > 1\), а \(4/5 < 1\), поэтому
\((4.2)^{\sqrt{7}} > 1\), а \((4/5)^{\sqrt{7}} < 1\).
Ответ: \((4.2)^{\sqrt{7}} > (4/5)^{\sqrt{7}}\).
№ 5. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь \(0,2(7)\) в виде обыкновенной.
Решение: \(x = 0,2(7) = 0,2777\ldots\)
Умножим на 10: \(10x = 2,777\ldots\)
Умножим на 100: \(100x = 27,777\ldots\)
Вычтем: \(100x — 10x = 27,777\ldots — 2,777\ldots\)
\(90x = 25\)
\(x = \frac{25}{90} = \frac{5}{18}\)
Проверка: \(5/18 = 0,2777\ldots\) — верно.
Ответ: \(\frac{5}{18}\).
№ 6. Упростить:
\[
\left( \frac{a^{-1/2} + 2}{a + 2a^{1/2} + 1} — \frac{a^{-1/2} — 2}{a — 1} \right) \cdot \frac{a^{1/2} + 1}{a^{1/2}}, \quad a > 0, a \neq 1
\]
Решение:
Обозначим \(t = a^{1/2}\), тогда \(a = t^2\), \(a^{-1/2} = 1/t\).
Первая дробь:
\[
\frac{1/t + 2}{t^2 + 2t + 1} = \frac{1/t + 2}{(t+1)^2} = \frac{1 + 2t}{t(t+1)^2}
\]
Вторая дробь:
\[
\frac{1/t — 2}{t^2 — 1} = \frac{1/t — 2}{(t-1)(t+1)} = \frac{1 — 2t}{t(t-1)(t+1)}
\]
Разность:
\[
\frac{1 + 2t}{t(t+1)^2} — \frac{1 — 2t}{t(t-1)(t+1)}
\]
Общий знаменатель \(t(t+1)^2(t-1)\):
\[
= \frac{(1+2t)(t-1) — (1-2t)(t+1)}{t(t+1)^2(t-1)}
\]
Числитель:
\((1+2t)(t-1) = t — 1 + 2t^2 — 2t = 2t^2 — t — 1\)
\((1-2t)(t+1) = t + 1 — 2t^2 — 2t = -2t^2 — t + 1\)
Вычитаем: \((2t^2 — t — 1) — (-2t^2 — t + 1) = 2t^2 — t — 1 + 2t^2 + t — 1 = 4t^2 — 2 = 2(2t^2 — 1)\)
Итак, разность:
\[
\frac{2(2t^2 — 1)}{t(t+1)^2(t-1)}
\]
Умножаем на \(\frac{t+1}{t}\):
\[
\frac{2(2t^2 — 1)}{t(t+1)^2(t-1)} \cdot \frac{t+1}{t} = \frac{2(2t^2 — 1)}{t^2 (t+1)(t-1)}
\]
Но \(t^2 = a\), \(t+1 = a^{1/2} + 1\), \(t-1 = a^{1/2} — 1\), \((t+1)(t-1) = t^2 — 1 = a — 1\).
Итак:
\[
\frac{2(2a — 1)}{a(a — 1)}
\]
Ответ: \(\frac{2(2a — 1)}{a(a — 1)}\).
Вы смотрели: Алгебра Алимов Контрольная 1 по теме ─ Действительные числа. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 10 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
Смотреть Контрольную 1. Вариант 2