Алгебра Алимов Контрольная 2 в2

admin

Контрольная работа с ответами № 2 Степенная функция Вариант 2. Алгебра 10 класс УМК Алимов. Дидактические материалы Шабунин. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Контрольная 2 в2.

Вернуться к СПИСКУ контрольных
Смотреть Контрольную 2. Вариант 1

Алгебра 10 класс Алимов
Контрольная № 2. Вариант 2

Проверяемая тема: Степенная функция

Алгебра Алимов Контрольная 2 в2

№ 1. Найти область определения функции y = (x^2 – 9)^{–1/3}.

Решение: Функция имеет вид (x² ─ 9)^{─1/3} = 1/(√[3]{x² ─ 9}).
Корень нечётной степени определён при любом x, кроме тех, где знаменатель обращается в 0 (если рассматривать отрицательную степень как деление). Но здесь степень ─1/3 означает, что мы берём кубический корень в знаменателе: y = 1/(√[3]{x² ─ 9})
Кубический корень определён для всех действительных чисел, но он равен нулю при x² ─ 9 = 0, т.е. x = ± 3, а на 0 делить нельзя. Значит, x² ─ 9 ≠ 0 ⇒ x ≠ ± 3.
Ответ: Dy = (─∞, ─3) ∪ (─3, 3) ∪ (3, + ∞).

№ 2. Изобразить эскиз графика функции y = x–6.
1) Выяснить, на каких промежутках функция возрастает.
2) Сравнить числа: (4,2) –6 и 1; (1/3) –6 и (1/√2) –6.
ОТВЕТ: 1) возрастает на (─∞, 0); 2); 2) (4,2)─6 < 1; (1/3) ─6 > (1/√2) ─6.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Функция чётная, определена при x ≠ 0, всегда положительна, убывает на (0, + ∞), возрастает на (─∞, 0), стремится к 0 при x → ±∞, стремится к + ∞ при x → 0. Алгебра Алимов Контрольная 2 в2 ► 1) Промежутки возрастания:
Производная y’ = ─6 x^{─7} = ─ 6/(x⁷).
Знак производной:
─ x > 0: y’ < 0 → убывает
─ x < 0: y’ > 0 → возрастает
Ответ: возрастает на (─∞, 0).
► 2) Сравнить числа: ─ (4,2)^{─6} и 1:
(4,2)^{─6} = 1/((4,2)⁶) < 1, так как 4,2 > 1, то (4,2)⁶ > 1.
Ответ: (4,2)^{─6} < 1.
► Сравнить числа: ─ (1/3)^{─6} и (1/√2)^{─6}:
(1/3)^{─6} = 3⁶ = 729
(1/√2)^{─6} = (√2)⁶ = (2^{1/2})⁶ = 2³ = 8
729 > 8.
Ответ: (1/3)^{─6} > (1/√2)^{─6}.

№ 3. Решить уравнение: 1) √(x – 2) = 4; 2) √(5 – x) = √(x – 2); 3) √(x + 1) = 1 – x; 4) √(3x + 1) – √(x + 8) = 1.
ОТВЕТЫ: 1) 18; 2) 3,5; 3) 0; 4) 8.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
► 1) √{x ─ 2} = 4
Решение: ОДЗ: x ≥ 2.
Возводим в квадрат: x ─ 2 = 16 ⇒ x = 18.
Проверка: √{18 ─ 2} = √16 = 4 — верно.
Ответ: x = 18.
► 2) √{5 ─ x} = √{x ─ 2}
Решение:
ОДЗ: 5 ─ x ≥ 0 ⇒ x ≤ 5 и x ─ 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2, значит 2 ≤ x ≤ 5.
Возводим в квадрат: 5 ─ x = x ─ 2 ⇒ 7 = 2x ⇒ x = 3,5.
Проверка: √{5 ─ 3,5} = √{1,5}, √{3,5 ─ 2} = √{1,5} — верно.
Ответ: x = 3,5.
► 3) √{x + 1} = 1 ─ x
Решение:
ОДЗ: x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─1 и 1 ─ x ≥ 0 ⇒ x ≤ 1, значит ─1 ≤ x ≤ 1.
Возводим в квадрат: x + 1 = (1 ─ x)² = 1 ─ 2x + x²
x + 1 = 1 ─ 2x + x²
x + 1 ─ 1 + 2x ─ x² = 0
3x ─ x² = 0
x(3 ─ x) = 0 ⇒ x = 0 или x = 3
x = 3 не входит в ОДЗ.
Проверка x = 0: √{0 + 1} = 1, 1 ─ 0 = 1 — верно.
Ответ: x = 0.
► 4) √{3x + 1} ─ √{x + 8} = 1
Решение:
ОДЗ: 3x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─(1/3), x + 8 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─8, значит x ≥ ─(1/3).
Переносим: √{3x + 1} = 1 + √{x + 8}
Правая часть неотрицательна — ОК.
Возводим в квадрат:
3x + 1 = 1 + 2√{x + 8} + x + 8
3x + 1 = x + 9 + 2√{x + 8}
2x ─ 8 = 2√{x + 8}
x ─ 4 = √{x + 8}
ОДЗ для этого: x ─ 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4.
Возводим в квадрат:
(x ─ 4)² = x + 8
x² ─ 8x + 16 = x + 8
x² ─ 9x + 8 = 0
(x ─ 1)(x ─ 8) = 0 ⇒ x = 1 или x = 8
x = 1 не подходит (не выполнено x ≥ 4).
Проверка x = 8: √{3• 8 + 1} ─ √{8 + 8} = √25 ─ √16 = 5 ─ 4 = 1 — верно.
Ответ: x = 8.

№ 4. Найти функцию, обратную к функции y = 2(x + 6)^{–1}, указать её область определения и множество значений.
Ответ:
Обратная функция: y = (2 ─ 6x)/x,x ≠ 0.
D(обратной) = (─∞, 0) ∪ (0, + ∞)
E(обратной) = (─∞, ─6) ∪ (─6, + ∞)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Меняем x и y:
x = 2/(y + 6), y ≠ ─6
Решаем: x(y + 6) = 2
xy + 6x = 2
xy = 2 ─ 6x
y = (2 ─ 6x)/x при x ≠ 0.
Область определения обратной функции: x ≠ 0 (т.к. в исходной y ≠ 0 — действительно, y = 0 не достигается, значит в обратной x ≠ 0).
Множество значений обратной функции: все y ≠ ─6 (т.к. в исходной ОДЗ x ≠ ─6, и это значение y обратной).
Ответ: Обратная функция: y = (2 ─ 6x)/x,x ≠ 0. D(обратной) = (─∞, 0) ∪ (0, + ∞). E(обратной) = (─∞, ─6) ∪ (─6, + ∞).

№ 5. Решить неравенство √(x – 3) < x – 5.
Ответ: (7, + ∞).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
ОДЗ: x ─ 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3.
Правая часть должна быть положительна (т.к. левая неотрицательна и неравенство строгое):
x ─ 5 > 0 ⇒ x > 5.
При x > 5 обе части неотрицательны, можно возводить в квадрат:
x ─ 3 < (x ─ 5)²
x ─ 3 < x² ─ 10x + 25
0 < x² ─ 11x + 28
x² ─ 11x + 28 > 0
Корни: x = 4, x = 7.
Неравенство: x < 4 или x > 7.
Учитывая x > 5, получаем x > 7.
Ответ: (7, + ∞).

 

Вы смотрели: Алгебра Алимов Контрольная 2 в2 по теме ─ Степенная функция. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 10 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.

Вернуться к СПИСКУ контрольных
Смотреть Контрольную 2. Вариант 1

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *