Алгебра Алимов Контрольная 2 в1

admin

Алгебра 10 класс УМК Алимов. Дидактические материалы Шабунин Контрольная работа с ответами № 2 Степенная функция Вариант 1. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Контрольная 2 в1.

Вернуться к СПИСКУ контрольных
Смотреть Контрольную 2. Вариант 2

Алгебра 10 класс Алимов
Контрольная № 2. Вариант 1

Проверяемая тема: Степенная функция

Алгебра Алимов Контрольная 2

№ 1. Найти область определения функции y = 4√(4 – x^2).
Решение: Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
4 ─ x² ≥ 0 ⇒ x² ≤ 4 ⇒ ─2 ≤ x ≤ 2.
Ответ: Dy = [─2; 2].

№ 2. Изобразить эскиз графика функции y = x─5.
1) Выяснить, на каких промежутках функция убывает.
2) Сравнить числа: (1/7)─5 и 1; (3,2)─5 и (3√2)─5.
Ответ:
1) Убывает на (─∞, 0) и (0, + ∞).
2) (1/7)─5 > 1; (3,2)─5 > (3√2)─5.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Функция y = x^{─5} = 1/(x⁵) — нечётная, убывает на каждом из промежутков (─∞, 0) и (0, + ∞), имеет вертикальную асимптоту x = 0 и горизонтальную асимптоту y = 0. 1) Промежутки убывания:
Функция убывает на (─∞, 0) и (0, + ∞) (везде, где определена).
2) Сравнить числа:
─ (1/7)^{─5} = 7⁵ > 1 , значит (1/7)^{─5} > 1.
─ (3,2)^{─5} и (3√2)^{─5} :
Сравним основания: 3,2 и 3√2 ≈ 4,242.
Так как 3,2 < 3√2 и степень ─5 (отрицательная нечётная), то
(3,2)^{─5} > (3√2)^{─5}.
Ответы: 1) Убывает на (─∞, 0) и (0, + ∞).
2) (1/7)^{─5} > 1; (3,2)^{─5} > (3√2)^{─5}.

№ 3. Решить уравнение: 1) √(1 – x) = 3; 2) √(x + 2) = √(3 – x);
3) √(1 – x) = x + 1; 4) √(2x + 5) − √(x + 6) = 1.
ОТВЕТЫ: 1) ─8; 2) 0,5; 3) 0; 4) 10.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
► 1) √{1 ─ x} = 3
Решение: 1 ─ x = 9 ⇒ x = ─8.
Проверка: √{1 ─ (─8)} = √9 = 3 — верно.
Ответ: x = ─8.
► 2) √{x + 2} = √{3 ─ x}
Решение: x + 2 = 3 ─ x ⇒ 2x = 1 ⇒ x = 0,5.
Проверка: √{2,5} = √{2,5} — верно.
Ответ: x = 0,5.
► 3) √{1 ─ x} = x + 1
Решение:
ОДЗ: 1 ─ x ≥ 0 ⇒ x ≤ 1, и x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─1, значит x ∈ [─1; 1].
Возводим в квадрат:
1 ─ x = x² + 2x + 1 ⇒ 0 = x² + 3x ⇒ x(x + 3) = 0.
Корни: x = 0, x = ─3 (не входит в ОДЗ).
Проверка x = 0: √1 = 1 — верно.
Ответ: x = 0.
► 4) √{2x + 5} ─ √{x + 6} = 1
Решение:
ОДЗ: 2x + 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─2,5, x + 6 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─6, значит x ≥ ─2,5.
Переносим: √{2x + 5} = 1 + √{x + 6}.
Возводим в квадрат:
2x + 5 = 1 + 2√{x + 6} + x + 6 ⇒ x ─ 2 = 2√{x + 6}.
Снова ОДЗ: x ─ 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2.
Возводим в квадрат:
x² ─ 4x + 4 = 4(x + 6) ⇒ x² ─ 8x ─ 20 = 0.
x = (8 ± √{64 + 80})/2 = 8 ± 12/2.
Корни: x = 10, x = ─2 (не подходит по x ≥ 2).
Проверка x = 10: √25 ─ √16 = 5 ─ 4 = 1 — верно.
Ответ: x = 10.

№ 4. Найти функцию, обратную к функции y = (x − 8)^{−1}, указать её область определения и множество значений.
Ответ: обратная y = 1/x + 8, D = (─∞, 0) ∪ (0, + ∞), E = (─∞, 8) ∪ (8, + ∞).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
y = (x − 8)^{−1}  ⇒  y = 1/(x ─ 8).
Меняем x и y: x = 1/(y ─ 8) ⇒ y ─ 8 = 1/x ⇒ y = 1/x + 8.
Область определения обратной: x ≠ 0 (т.к. исходная y ≠ 0).
Множество значений обратной: все y ≠ 8 (т.к. исходная x ≠ 8).
Ответ: y = 1/x + 8, D = (─∞, 0) ∪ (0, + ∞), E = (─∞, 8) ∪ (8, + ∞).

№ 5. Решить неравенство √(x + 8) > x + 2.
Ответ: x ∈ [─8, 1).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
ОДЗ: x + 8 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─8.
1) Если x + 2 < 0 (т.е. x < ─2), то левая часть ≥ 0, правая отрицательна, неравенство верно. Учитывая ОДЗ:
x ∈ [─8, ─2).
2) Если x + 2 ≥ 0 (т.е. x ≥ ─2), обе части неотрицательны, можно возводить в квадрат:
x + 8 > x² + 4x + 4 ⇒ 0 > x² + 3x ─ 4.
x² + 3x ─ 4 < 0 ⇒ (x + 4)(x ─ 1) < 0 ⇒ x ∈ (─4, 1).
С учётом x ≥ ─2: x ∈ [─2, 1).
Объединяем случаи 1 и 2: [─8, ─2) ∪ [─2, 1) = [─8, 1).
Ответ: x ∈ [─8, 1).

 

Вы смотрели: Алгебра Алимов Контрольная 2 в1 по теме ─ Степенная функция. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 10 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.

Вернуться к СПИСКУ контрольных
Смотреть Контрольную 2. Вариант 2

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *