Частная школа 10 класс

Алгебра 10 класс УМК Алимов. Дидактические материалы Шабунин Контрольная работа № 3 Показательная функция Варианты 1 ─ 2. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Контрольная 3 В12.
Вернуться к СПИСКУ контрольных

Алгебра 11 класс Алимов
Контрольная работа № 3

Проверяемая тема: Показательная функция

К─3. Вариант 1

№ 1. Решить уравнение: 1) (1/5)^2–3x = 25; 2) 4^x + 2^x – 20 = 0
ОТВЕТЫ: 1) 4/3; 2) 2.
► 1) Решение: (1/5)^{2 ─ 3x} = 25
Заметим: 1/5 = 5^{─1}, 25 = 5².
(5^{─1})^{2 ─ 3x} = 5²
5^{─(2 ─ 3x)} = 5²
5^{─2 + 3x} = 5²
Приравниваем показатели:
─2 + 3x = 2
3x = 4
x = 4/3
Проверка:
(1/5)^{2 ─ 3 • 4/3} = (1/5)^{2 ─ 4} = (1/5)^{─2} = 25
Верно. Ответ: x = 4/3
► 2) Решение: 4^x + 2^x ─ 20 = 0
(2^x)² + 2^x ─ 20 = 0
Пусть t = 2^x > 0:
t² + t ─ 20 = 0
t = (─1 ± √{1 + 80})/2 = (─1 ± 9)/2
t₁ = 4, t₂ = ─5 (не подходит, т.к. t > 0)
2^x = 4 ⇒ 2^x = 2² ⇒ x = 2
Проверка:
4² + 2² ─ 20 = 16 + 4 ─ 20 = 0
Верно. Ответ: x = 2

№ 2. Решить неравенство: (3/4)^x > 1 ¹/₃.
Решение: 1 1/3 = 4/3
(3/4)^x > 4/3
4/3 = (3/4)^{─1}
(3/4)^x > (3/4)^{─1}
Основание 0 < 3/4 < 1, поэтому
знак неравенства меняется: x < ─1
Проверка: (3/4)^{─2} = 1/(9/16) =16/9 = 1,(7) > 1 ¹/₃.
Верно. Ответ: x < ─1.

№ 3. Решить систему уравнений:
{ x ─ y = 4
{ 5^x+y = 25
Решение. Из второго уравнения:
5^{x + y} = 25 = 5²
x + y = 2
Система:
{ x ─ y = 4
{ x + y = 2
Сложим: 2x = 6 ⇒ x = 3
3 + y = 2 ⇒ y = ─1
Проверка: x ─ y = 3 ─ (─1) = 4
5^{3 + (─1)} = 5² = 25
Верно. Ответ: (3; ─1).

№ 4. Решить неравенство: 1) (√5)^x–6 < 1/5; 2) (2/13)^{x^2–1} ≥ 1.
ОТВЕТЫ: 1) x < 4; 2) ─1 ≤ x ≤ 1.
► 1) Решение: (√5)^{x─6} < 1/5
√5 = 5^{1/2} ⇒ (5^{1/2})^{x─6} = 5^{x─6/2}
1/5 = 5^{─1}
5^{x─6/2} < 5^{─1}
Основание 5 > 1, знак сохраняется:
(x ─ 6)/2 < ─1
x ─ 6 < ─2
x < 4.
► 2) Решение: (2/13)^{x² ─ 1} ≥ 1
1 = (2/13)^0
Основание 0 < 2/13 < 1, поэтому знак меняется:
x² ─ 1 ≤ 0
(x ─ 1)(x + 1) ≤ 0
Решаем методом интервалов: ─1 ≤ x ≤ 1.

№ 5. Решить уравнение: 7^x+1 + 3 • 7^x = 2^x+5 + 3 • 2^x.
Решение. Вынесем 7^x слева и 2^x справа:
7^x (7 + 3) = 2^x (2⁵ + 3)
7^x • 10 = 2^x • (32 + 3)
7^x • 10 = 2^x • 35
(7^x)/(2^x) = 35/10
(7/2)^x = 3.5
3,5 = 7/2
(7/2)^x = (7/2)^1
x = 1
Проверка:
7^{1 + 1} + 3 • 7^1 = 49 + 21 = 70
2^{1 + 5} + 3 • 2^1 = 64 + 6 = 70
Верно. Ответ: x = 1.

К─3. Вариант 2

№ 1. Решить уравнение: 1) 0,1^2x─3 = 10; 2) 9^x ─ 7 • 3^x ─ 18 = 0
ОТВЕТЫ: 1) 1; 2) 2.
► 1) 0,1^{2x─3} = 10. Решение:
0,1 = 10^{─1} , поэтому
(10^{─1})^{2x─3} = 10^1
10^{─(2x─3)} = 10^1
─(2x─3) = 1
─2x + 3 = 1
─2x = ─2
x = 1
Проверка:
0,1^{2• 1 ─ 3} = 0,1^{─1} = 10 — верно.
Ответ: x = 1
► 2) 9^x ─ 7 • 3^x ─ 18 = 0. Решение:
9^x = (3²)^x = 3²x = (3^x)².
Пусть t = 3^x > 0.
t² ─ 7t ─ 18 = 0
t = (7 ± √{49 + 72})/2 = 7 ± 11/2
t₁ = 9, t₂ = ─2 (не подходит)
3^x = 9 ⇒ 3^x = 3² ⇒ x = 2
Проверка:
9² ─ 7 • 3² ─ 18 = 81 ─ 63 ─ 18 = 0 — верно.
Ответ: x = 2

№ 2. Решить неравенство: (1 ¹/₅)^x < 5/6
Решение: (6/5)^x < 5/6
6/5 > 1, но 5/6 = (6/5)^{─1}.
(6/5)^x < (6/5)^{─1}
Так как основание > 1, то
знак неравенства сохраняется: x < ─1
Ответ: x < ─1.

№ 3. Решить систему уравнений:
{ x + y = ─2
{ 6^x+5y = 36
Решение: 6^{x + 5y} = 6² ⇒ x + 5y = 2.
Система:
{ x + y = ─2
{ x + 5y = 2
Вычтем из второго первое:
4y = 4 ⇒ y = 1
x + 1 = ─2 ⇒ x = ─3
Проверка:
x + y = ─3 + 1 = ─2 — верно.
x + 5y = ─3 + 5 = 2 ⇒ 6² = 36 — верно.
Ответ: x = ─3, y = 1.

№ 4. Решить неравенство: 1) (³√3)^{x + 6} > 1/9; 2) (1 ²/₇)^x²─4 ≤ 1.
ОТВЕТЫ: 1) x ∈ [─12; +∞); 2) x ∈ [─2, 2].

Решение: 1) (³√3)^{x + 6} > 1/9.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Решение: 2) (1 ²/₇)^x²─4 ≤ 1.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 5. Решить уравнение: 3^x+3 + 3^x = 5 • 2^x+4 ─ 17 • 2^x.
Решение:
3^{x + 3} + 3^x = 5 • 2^{x + 4} ─ 17 • 2^x
Сгруппируем степени:
3^x • 3³ + 3^x = 3^x (27 + 1) = 28 • 3^x
Справа:
5 • 2^{x + 4} ─ 17 • 2^x = 2^x (5 • 16 ─ 17) = 2^x (80 ─ 17) = 63 • 2^x
Уравнение: 28 • 3^x = 63 • 2^x
(3^x)/(2^x) = 63/28 = 9/4
(3/2)^x = (3/2)²
x = 2
Проверка:
3⁵ + 3² = 243 + 9 = 252
5 • 2⁶ ─ 17 • 2² = 5 • 64 ─ 17 • 4 = 320 ─ 68 = 252 — верно.
Ответ: x = 2.

Вы смотрели: Алгебра Алимов Контрольная 3 по теме ─ Показательная функция. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 10 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.

Вернуться к СПИСКУ контрольных