Алгебра 10 класс УМК Алимов. Дидактические материалы Шабунин Контрольная работа № 4 Логарифмическая функция Вариант 1. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Контрольная 4 В1.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
Алгебра 11 класс Алимов
Контрольная № 4. Вариант 1
Проверяемая тема: Логарифмическая функция
- № 1. Вычислить: 1) log_{1/2}(16); 2) 5^{1+log_5(3)};
3) log_3(135) − log_3(20) + 2 log_3(6). - № 2. В одной системе координат схематически построить графики функций y = log_{1/4}(x) и y = (1/4)^x.
- № 3. Сравнить числа log_{1/2}(3/4) и log_{1/2}(4/5).
- № 4. Решить уравнение log_5(2x−1) = 2.
- № 5. Решить неравенство log_{1/3}(x − 5) > 1.
- № 6. Решить уравнение log_2(x − 2) + log_2(x) = 3.
- № 7. Решить уравнение log_8(x) + log_{√2}(x) = 14.
- № 8. Решить неравенство log^2_3(x) − 2 log_3(x) ≤ 3.
ОТВЕТЫ на Вариант 1
№ 1. Вычислить:
1) \( \log_{1/2}(16) \)
Решение:
Пусть \( \log_{1/2}(16) = t \), тогда
\[
\left( \frac{1}{2} \right)^t = 16
\]
\[
2^{-t} = 2^4
\]
\[
-t = 4 \quad \Rightarrow \quad t = -4
\]
✅ Ответ: \(-4\)
2) \( 5^{1 + \log_5 3} \)
Решение:
\[
5^{1 + \log_5 3} = 5^1 \cdot 5^{\log_5 3} = 5 \cdot 3 = 15
\]
✅ Ответ: \(15\)
3) \( \log_3 135 — \log_3 20 + 2 \log_3 6 \)
Решение:
\[
\log_3 135 — \log_3 20 + \log_3 6^2
\]
\[
= \log_3 \left( \frac{135 \cdot 36}{20} \right)
\]
\[
\frac{135 \cdot 36}{20} = \frac{135}{20} \cdot 36 = \frac{27}{4} \cdot 36 = 27 \cdot 9 = 243
\]
\[
\log_3 243 = \log_3 (3^5) = 5
\]
✅ Ответ: \(5\)
№ 2. В одной системе координат схематически построить графики функций
\( y = \log_{1/4} x \) и \( y = (1/4)^x \).
Решение:
1. \( y = \log_{1/4} x \) — логарифмическая функция с основанием \( 0 < a < 1 \), убывает, проходит через точки:
\( (1, 0) \), \( (4, -1) \), \( \left( \frac14, 1 \right) \), область определения \( x > 0 \).
2. \( y = (1/4)^x \) — показательная функция с основанием \( 0 < a < 1 \), убывает, проходит через точки:
\( (0, 1) \), \( (1, 1/4) \), \( (-1, 4) \).
Оба графика симметричны относительно прямой \( y = x \), так как функции взаимно обратны.
✅ Ответ: Схематический рисунок (описание):
— График \( y = \log_{1/4} x \) — убывающая кривая в I и IV квадрантах (ось \( x > 0 \)).
— График \( y = (1/4)^x \) — убывающая экспонента, проходит через (0,1), над осью \( x \) при всех \( x \).
— Точка пересечения графиков: на прямой \( y = x \), решаем \( x = (1/4)^x \), примерно \( x \approx 0.5 \).
№ 3. Сравнить числа \( \log_{1/2} \frac{3}{4} \) и \( \log_{1/2} \frac{4}{5} \).
Решение:
Основание логарифма \( a = 1/2 \), \( 0 < a < 1 \),
значит, функция \( \log_{1/2} x \) убывает.
Сравним аргументы:
\[
\frac{3}{4} = 0.75, \quad \frac{4}{5} = 0.8
\]
\[
\frac{3}{4} < \frac{4}{5}
\]
Так как функция убывает, из \( \frac{3}{4} < \frac{4}{5} \) следует:
\[
\log_{1/2} \frac{3}{4} > \log_{1/2} \frac{4}{5}
\]
✅ Ответ: \( \log_{1/2} \frac{3}{4} > \log_{1/2} \frac{4}{5} \)
№ 4. Решить уравнение \( \log_5 (2x — 1) = 2 \).
Решение: ОДЗ: \( 2x — 1 > 0 \Rightarrow x > 0.5 \)
\[
2x — 1 = 5^2
\]
\[
2x — 1 = 25
\]
\[
2x = 26
\]
\[
x = 13
\]
Проверка ОДЗ: \( 13 > 0.5 \) — подходит.
✅ Ответ: \( x = 13 \)
№ 5. Решить неравенство \( \log_{1/3} (x — 5) > 1 \).
Решение: ОДЗ: \( x — 5 > 0 \Rightarrow x > 5 \)
Основание \( 0 < a < 1 \), поэтому знак неравенства меняем:
\[
x — 5 < \left( \frac13 \right)^1
\]
\[
x — 5 < \frac13
\]
\[
x < 5 + \frac13 = \frac{16}{3}
\]
Учитывая ОДЗ \( x > 5 \), получаем:
\[
5 < x < \frac{16}{3}
\]
✅ Ответ: \( x \in \left( 5, \frac{16}{3} \right) \)
№ 6. Решить уравнение \( \log_2 (x — 2) + \log_2 x = 3 \).
Решение: ОДЗ:
\[
x — 2 > 0 \Rightarrow x > 2, \quad x > 0
\]
Итого: \( x > 2 \)
\[
\log_2 \big( (x — 2) \cdot x \big) = 3
\]
\[
x(x — 2) = 2^3 = 8
\]
\[
x^2 — 2x — 8 = 0
\]
\[
D = 4 + 32 = 36
\]
\[
x = \frac{2 \pm 6}{2}
\]
\[
x_1 = 4, \quad x_2 = -2
\]
По ОДЗ \( x > 2 \), подходит только \( x = 4 \).
Проверка: \( \log_2 (4-2) + \log_2 4 = \log_2 2 + \log_2 4 = 1 + 2 = 3 \) — верно.
✅ Ответ: \( x = 4 \)
№ 7. Решить уравнение \( \log_8 x + \log_{\sqrt{2}} x = 14 \).
Решение: ОДЗ: \( x > 0 \)
Перейдём к одному основанию, например, к основанию 2:
\[
\log_8 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 8} = \frac{\log_2 x}{3}
\]
\[
\log_{\sqrt{2}} x = \frac{\log_2 x}{\log_2 \sqrt{2}} = \frac{\log_2 x}{1/2} = 2 \log_2 x
\]
Уравнение:
\[
\frac{\log_2 x}{3} + 2 \log_2 x = 14
\]
\[
\log_2 x \left( \frac13 + 2 \right) = 14
\]
\[
\log_2 x \cdot \frac{7}{3} = 14
\]
\[
\log_2 x = 14 \cdot \frac{3}{7} = 6
\]
\[
x = 2^6 = 64
\]
Проверка ОДЗ: \( 64 > 0 \) — подходит.
✅ Ответ: \( x = 64 \)
№ 8. Решить неравенство \( \log_3^2 x — 2 \log_3 x \le 3 \).
Решение: ОДЗ: \( x > 0 \)
Пусть \( t = \log_3 x \). Тогда:
\[
t^2 — 2t \le 3
\]
\[
t^2 — 2t — 3 \le 0
\]
\[
(t — 3)(t + 1) \le 0
\]
\[
t \in [-1, 3]
\]
Возвращаемся к \( x \):
\[
-1 \le \log_3 x \le 3
\]
\[
3^{-1} \le x \le 3^3
\]
\[
\frac13 \le x \le 27
\]
Учитывая ОДЗ \( x > 0 \), получаем \( x \in [1/3, 27] \).
✅ Ответ: \( x \in \left[ \frac13, 27 \right] \)
Вы смотрели: Алгебра Алимов Контрольная 4 по теме ─ Логарифмическая функция. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 10 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.