Алгебра 10 класс УМК Алимов. Дидактические материалы Шабунин Контрольная работа № 5 Тригонометрические формулы Варианты 1 ─ 2. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Контрольная 5 В12.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
Алгебра 11 класс Алимов
Контрольная № 5. Вариант 1
Проверяемая тема: Тригонометрические формулы
- № 1. Вычислить: 1) cos 765°; 2) sin (19π/6).
- № 2. Вычислить sin α, если cos α = 5/13 и –6π < α < –5π.
- № 3. Упростить выражение:
1) sin(α + β) + sin(α – β);
2) (cos(π – α) + cos(3π/2 + α)) / (1 + 2 cos(–α) sin(–α)). - № 4. Решить уравнение:
1) 2 cos {x/2} = 1 + cos x;
2) sin (π/2 – 3x) cos 2x – 1 = sin 3x cos (3π/2 – 2x). - № 5. Докажите тождество cos 4α + 1 = ½ • sin 4α (ctg α – tg α).
ОТВЕТЫ на Вариант 1
№ 1. Вычислить:
1) \(\cos 765^\circ\);
2) \(\sin \frac{19\pi}{6}\).
Решение:
1) \(765^\circ = 720^\circ + 45^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 45^\circ\).
\(\cos 765^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
2) \(\frac{19\pi}{6} = 3\pi + \frac{\pi}{6} = 2\pi + \pi + \frac{\pi}{6}\).
\(\sin \frac{19\pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}\).
✅ Ответ:
1) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\);
2) \(-\frac{1}{2}\).
№ 2. Вычислить
\(\sin \alpha\), если \(\cos \alpha = \frac{5}{13}\) и \(-6\pi < \alpha < -5\pi\).
Решение:
Интервал \(-6\pi < \alpha < -5\pi\) соответствует углам от \(-1080^\circ\) до \(-900^\circ\).
Вычтем \(4\pi\) (кратное \(2\pi\)), чтобы попасть в стандартный интервал:
\(\alpha’ = \alpha + 6\pi\) (чтобы сдвинуть в положительную область), но проще:
\(\alpha\) находится между \(-6\pi\) и \(-5\pi\), значит, \(\alpha + 6\pi\) между \(0\) и \(\pi\).
Но точнее: \(-6\pi = -3\cdot 2\pi\), значит, \(\alpha\) лежит в интервале, который на три полных оборота меньше, чем \(0\) до \(2\pi\)? Проверим:
\(\alpha = -6\pi + t\), где \(0 < t < \pi\).
Тогда \(\cos \alpha = \cos(-6\pi + t) = \cos t\).
Значит, \(\cos t = \frac{5}{13}\), \(t \in (0, \pi)\).
Так как \(\cos t > 0\), \(t \in (0, \pi/2)\). Тогда \(\sin t = \sqrt{1 — \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{\frac{169-25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}\) (положительный).
Теперь \(\sin \alpha = \sin(-6\pi + t) = \sin t\) (так как \(-6\pi\) кратно \(2\pi\)):
\(\sin \alpha = \frac{12}{13}\).
Проверка: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{144}{169} + \frac{25}{169} = 1\).
✅ Ответ: sin α = 12/13.
№ 3. Упростить выражение:
1) \(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha — \beta)\);
2) \(\frac{\cos(\pi — \alpha) + \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)}{1 + 2\cos(-\alpha)\sin(-\alpha)}\).
Решение:
1) По формуле суммы синусов:
\(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) = 2\sin\alpha\cos\beta\).
2) Упростим числитель:
\(\cos(\pi — \alpha) = -\cos\alpha\),
\(\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\alpha\) (по формуле приведения: \(\cos(3\pi/2 + \alpha) = \sin\alpha\)? Проверим: \(\cos(270^\circ + \alpha) = \sin\alpha\)? Нет, \(\cos(270^\circ + \alpha) = \sin\alpha\) — это неверно, давай точно:
\(\cos(3\pi/2 + \alpha) = \cos(270^\circ + \alpha) = \sin\alpha\)?
\(\cos(270^\circ + \alpha) = \cos 270^\circ \cos\alpha — \sin 270^\circ \sin\alpha = 0\cdot\cos\alpha — (-1)\sin\alpha = \sin\alpha\). Да, верно.
Итак, числитель: \(-\cos\alpha + \sin\alpha\).
Знаменатель: \(1 + 2\cos(-\alpha)\sin(-\alpha) = 1 + 2\cos\alpha(-\sin\alpha) = 1 — 2\sin\alpha\cos\alpha\).
Но \(1 — 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 — \sin 2\alpha = (\sin\alpha — \cos\alpha)^2\)? Проверим:
\((\sin\alpha — \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha — 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 — \sin 2\alpha\), верно.
Числитель: \(\sin\alpha — \cos\alpha\).
Знаменатель: \(1 — \sin 2\alpha = (\sin\alpha — \cos\alpha)^2\).
Если \(\sin\alpha \neq \cos\alpha\), то дробь равна \(\frac{1}{\sin\alpha — \cos\alpha}\).
✅ Ответ:
1) \(2\sin\alpha\cos\beta\);
2) \(\frac{1}{\sin\alpha — \cos\alpha}\) (при \(\sin\alpha \neq \cos\alpha\)).
№ 4. Решить уравнение:
1) \(2\cos\frac{x}{2} = 1 + \cos x\);
2) \(\sin\left(\frac{\pi}{2} — 3x\right)\cos 2x — 1 = \sin 3x \cos\left(\frac{3\pi}{2} — 2x\right)\).
Решение:
1) \(\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} — 1\).
Подставим: \(2\cos\frac{x}{2} = 1 + 2\cos^2\frac{x}{2} — 1\).
Получаем \(2\cos\frac{x}{2} = 2\cos^2\frac{x}{2}\).
\(2\cos\frac{x}{2}(\cos\frac{x}{2} — 1) = 0\).
Отсюда:
а) \(\cos\frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \pi + 2\pi n\).
б) \(\cos\frac{x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = 2\pi m \Rightarrow x = 4\pi m\).
✅ Ответ 1: x = π + 2πn, x = 4πm, n,m ∈ Z.
2) Упростим:
\(\sin\left(\frac{\pi}{2} — 3x\right) = \cos 3x\),
\(\cos\left(\frac{3\pi}{2} — 2x\right) = \cos(270^\circ — 2x) = -\sin 2x\) (проверим: \(\cos(3\pi/2 — 2x) = \cos 3\pi/2 \cos 2x + \sin 3\pi/2 \sin 2x = 0\cdot\cos 2x + (-1)\sin 2x = -\sin 2x\)).
Уравнение: \(\cos 3x \cos 2x — 1 = \sin 3x (-\sin 2x)\).
То есть \(\cos 3x \cos 2x + \sin 3x \sin 2x — 1 = 0\).
Но \(\cos 3x \cos 2x + \sin 3x \sin 2x = \cos(3x — 2x) = \cos x\).
Получаем \(\cos x — 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}\).
✅ Ответ 2: x = 2πk, k ∈ Z.
№ 5. Докажите тождество
\(\cos 4\alpha + 1 = \frac12 \sin 4\alpha (ctg\; \alpha — tg\; \alpha)\).
Решение. Правая часть:
\(\frac12 \sin 4\alpha (ctg\; \alpha — tg\; \alpha) = \frac12 \sin 4\alpha \left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} — \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)\).
Общий знаменатель: \(\frac{\cos^2\alpha — \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\cos 2\alpha}{\frac12 \sin 2\alpha} = \frac{2\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}\).
Тогда правая часть: \(\frac12 \sin 4\alpha \cdot \frac{2\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac12 \cdot 2\sin 2\alpha\cos 2\alpha \cdot \frac{2\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}\)? Подытожим:
\(\sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha\cos 2\alpha\).
Подставим: \(\frac12 \cdot 2\sin 2\alpha\cos 2\alpha \cdot \frac{2\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac12 \cdot 2 \cdot 2 \cos^2 2\alpha = 2\cos^2 2\alpha\).
Левая часть: \(\cos 4\alpha + 1 = 2\cos^2 2\alpha — 1 + 1 = 2\cos^2 2\alpha\).
Совпадает.
✅ Тождество доказано.
Итоговые ответы:
1. 1) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\); 2) \(-\frac12\)
2. \(\frac{12}{13}\)
3. 1) \(2\sin\alpha\cos\beta\); 2) \(\frac{1}{\sin\alpha — \cos\alpha}\)
4. 1) \(x = \pi + 2\pi n,\; 4\pi m\); 2) \(x = 2\pi k\)
5. Доказано.
Вы смотрели: Алгебра Алимов Контрольная 5 по теме ─ Тригонометрические формулы. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 10 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.