Частная школа 10 класс

► 1) √2 cos x – 1 = 0
Решение. Перенесем 1 вправо:
√2 cos x = 1
Разделим на √2:
cos x = 1/√2 = √2/2
Общее решение:
x = ±π/4 + 2πk, k ∈ Z
✅ Ответ: x = ±π/4 + 2πk, k ∈ Z
Проверка:
При x = π/4: √2·(√2/2) – 1 = 1 – 1 = 0. Верно.
При x = –π/4: √2·(√2/2) – 1 = 0. Верно.
► 2) 3 tg 2x + √3 = 0
Решение: 3 tg 2x = –√3
tg 2x = –√3 / 3 = –1/√3
Общее решение для тангенса:
2x = –π/6 + πk, k ∈ Z
x = –π/12 + πk/2, k ∈ Z
✅ Ответ: x = –π/12 + πk/2, k ∈ Z
Проверка:
При k = 0: x = –π/12 → 2x = –π/6 → tg(–π/6) = –1/√3 → 3·(–1/√3) + √3 = –√3 + √3 = 0. Верно.

sin t = –1/2 → t = –π/6 + 2πn или t = 7π/6 + 2πn, n ∈ Z
Здесь t = x/3, значит:
x/3 = –π/6 + 2πn → x = –π/2 + 6πn
x/3 = 7π/6 + 2πn → x = 7π/2 + 6πn
Ищем корни на [0; 3π]:
► 1) x = –π/2 + 6πn:
n = 0 → x = –π/2 (не входит)
n = 1 → x = –π/2 + 6π = 11π/2 ≈ 17.28 > 3π ≈ 9.42 (не входит)
► 2) x = 7π/2 + 6πn:
n = 0 → x = 7π/2 ≈ 10.99 > 3π (не входит)
n = –1 → x = 7π/2 – 6π = –5π/2 (отрицательное, не входит)
Значит, подходит только:
x = –π/2 + 6π·1 = 11π/2? Но это больше 3π.
Перепроверим: 3π = 9.42, 11π/2 = 17.28 — нет.
Ошибка в подборе. Давайте решим аккуратно:
x/3 = –π/6 + 2πn → x = –π/2 + 6πn.
При n = 1: x = –π/2 + 6π = 11π/2 ≈ 17.28 — не входит.
При n = 0: x = –π/2 — не входит.
x/3 = 7π/6 + 2πn → x = 7π/2 + 6πn.
При n = 0: x = 7π/2 ≈ 10.99 > 3π.
При n = –1: x = 7π/2 – 6π = –5π/2 — отрицательно.
Кажется, на отрезке [0; 3π] нет корней?
Но проверим: sin(x/3) = –1/2, x ∈ [0; 3π] → x/3 ∈ [0; π].
На [0; π] sin t = –1/2 не имеет решений, так как sin t ≥ 0 на [0; π].
✅ Ответ: нет решений на данном отрезке.

1) 3 cos x – cos² x = 0
Решение:
cos x(3 – cos x) = 0
► 1) cos x = 0 → x = π/2 + πk, k ∈ Z
► 2) 3 – cos x = 0 → cos x = 3 — нет решений, так как |cos x| ≤ 1
✅ Ответ: x = π/2 + πk, k ∈ Z
Проверка:
При x = π/2: 3·0 – 0 = 0. Верно.

► 2) 6 sin² x – sin x = 1
Решение:
6 sin² x – sin x – 1 = 0
Замена t = sin x:
6t² – t – 1 = 0
D = 1 + 24 = 25
t₁ = (1 + 5)/12 = 6/12 = 1/2
t₂ = (1 – 5)/12 = –4/12 = –1/3
► 1) sin x = 1/2 → x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk
► 2) sin x = –1/3 → x = (–1)^n arcsin(–1/3) + πn = (–1)^n·(–arcsin(1/3)) + πn
✅ Ответ:
x = π/6 + 2πk, x = 5π/6 + 2πk, x = (–1)^n·(–arcsin(1/3)) + πn, k,n ∈ Z
Проверка:
При x = π/6: 6·(1/4) – 1/2 = 1.5 – 0.5 = 1. Верно.

► 3) 4 sin x + 5 cos x = 4
Решение. Метод вспомогательного угла:
√(4² + 5²) = √41
Делим: (4/√41) sin x + (5/√41) cos x = 4/√41
Пусть cos φ = 4/√41, sin φ = 5/√41, тогда:
sin(x + φ) = 4/√41
x + φ = (–1)^k arcsin(4/√41) + πk
x = (–1)^k arcsin(4/√41) – φ + πk, где φ = arcsin(5/√41)
✅ Ответ: x = (–1)^k arcsin(4/√41) – arcsin(5/√41) + πk, k ∈ Z
Проверка… проще проверить частный случай:
Если sin x = 0, cos x = 1: 4·0 + 5·1 = 5 ≠ 4.
Если sin x = 1, cos x = 0: 4 + 0 = 4. Значит, x = π/2 + 2πk — решение.
Проверим: 4·1 + 5·0 = 4. Верно.
Значит, одно из решений: x = π/2 + 2πk.
Общее решение через арксинус — верно, но можно оставить и так.

► 4) sin⁴ x + cos⁴ x = cos²2x + 1/4
Решение:
sin⁴ x + cos⁴ x = (sin² x + cos² x)² – 2 sin² x cos² x = 1 – (1/2) sin² 2x
cos²2x = (1 + cos 4x)/2
Уравнение:
1 – (1/2) sin² 2x = (1 + cos 4x)/2 + 1/4
Умножим на 4:
4 – 2 sin² 2x = 2 + 2 cos 4x + 1
4 – 2 sin² 2x = 3 + 2 cos 4x
1 – 2 sin² 2x = 2 cos 4x
Но 1 – 2 sin² 2x = cos 4x
Получаем: cos 4x = 2 cos 4x → cos 4x = 0
4x = π/2 + πk → x = π/8 + πk/4, k ∈ Z
✅ Ответ: x = π/8 + πk/4, k ∈ Z
Проверка:
Проверим при x = π/8: sin 2x = sin(π/4) = √2/2, sin² = 1/2, левая часть: 1 – (1/2)·(1/2) = 1 – 1/4 = 3/4.
Правая: cos²(π/4) + 1/4 = (1/2) + 1/4 = 3/4.
Всё верно!