Частная школа 10 класс

Алгебра 10 класс УМК Алимов. Дидактические материалы Шабунин Самостоятельная работа № 10 Степень с рациональным и действительным показателями. Варианты 1 ─ 2. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Самостоятельная 10 В12.
Вернуться к СПИСКУ самостоятельных

Алгебра 10 класс Алимов
Самостоятельная работа № 10

Проверяемая тема: § 5. Степень с рациональным и действительным показателями

Справочные сведения

Вариант 1

№ 1. Какому из промежутков \(0<a<1\) или \(a>1\) принадлежит число \(a\), если:
1) \(a^{\frac{1}{3}}>1\); 2) \(a^{-5}>1\)?
Решение:
1) \(a^{1/3} > 1\). Возводим обе части в куб: \(a > 1\).
2) \(a^{-5} > 1\) ⇒ \(\frac{1}{a^5} > 1\) ⇒ \(1 > a^5\) ⇒ \(a^5 < 1\) ⇒ \(a < 1\), но \(a > 0\) по условию, значит \(0 < a < 1\).
ОТВЕТ: 1) \(a > 1\); 2) \(0 < a < 1\).

№ 2. \((-2)^4\)
Решение: \((-2)^4 = (-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2) = 16\).
ОТВЕТ: \(16\)

№ 3. \(\left(1\dfrac{3}{8}\right)^{-2}\)
Решение:
\(1\frac{3}{8} = \frac{11}{8}\).
\(\left(\frac{11}{8}\right)^{-2} = \left(\frac{8}{11}\right)^2 = \frac{64}{121}\).
ОТВЕТ: \(\frac{64}{121}\)

№ 4. \(8^{-\tfrac{2}{3}}\)
Решение:
\(8 = 2^3\), \(8^{-2/3} = (2^3)^{-2/3} = 2^{-2} = \frac{1}{4}\).
ОТВЕТ: \(\frac{1}{4}\)

№ 5. \(-2\cdot27^{\tfrac{1}{3}}\)
Решение:
\(27^{1/3} = 3\), \(-2 \cdot 3 = -6\).
ОТВЕТ: \(-6\)

№ 6. \(2^{-1}\cdot64^{\tfrac{2}{3}}\)
Решение:
\(64 = 2^6\), \(64^{2/3} = (2^6)^{2/3} = 2^{4} = 16\).
\(2^{-1} \cdot 16 = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8\).
ОТВЕТ: \(8\)

№ 7. \(\left(125^{-\tfrac{2}{3}}-16^{\tfrac{1}{2}}+343^{\tfrac{1}{3}}-3\right)^{-\tfrac{1}{2}}\)
Решение:
\(125^{-2/3} = (5^3)^{-2/3} = 5^{-2} = \frac{1}{25}\).
\(16^{1/2} = 4\).
\(343^{1/3} = 7\).
Выражение в скобках: \(\frac{1}{25} — 4 + 7 — 3 = \frac{1}{25} + 0 = \frac{1}{25}\).
Теперь \(\left(\frac{1}{25}\right)^{-1/2} = 25^{1/2} = 5\).
ОТВЕТ: \(5\)

№ 8. \((3^{0.5}-5^{0.5})^{2}:\bigl((2-15^{0.25})(2+15^{0.25})\bigr)\)
Решение:
Числитель: \((\sqrt{3} — \sqrt{5})^2 = 3 + 5 — 2\sqrt{15} = 8 — 2\sqrt{15}\).
Знаменатель: \((2 — 15^{1/4})(2 + 15^{1/4}) = 4 — (15^{1/4})^2 = 4 — \sqrt{15}\).
Делим: \(\frac{8 — 2\sqrt{15}}{4 — \sqrt{15}}\).
Умножим числитель и знаменатель на \(4 + \sqrt{15}\):
Числитель: \((8 — 2\sqrt{15})(4 + \sqrt{15}) = 32 + 8\sqrt{15} — 8\sqrt{15} — 2\cdot 15 = 32 — 30 = 2\).
Знаменатель: \(4^2 — (\sqrt{15})^2 = 16 — 15 = 1\).
Результат: \(2/1 = 2\).
ОТВЕТ: \(2\)

№ 9. \(\sqrt[3]{a^2}\cdot\sqrt[6]{a^5}\)
Решение:
\(\sqrt[3]{a^2} = a^{2/3}\), \(\sqrt[6]{a^5} = a^{5/6}\).
\(a^{2/3} \cdot a^{5/6} = a^{4/6 + 5/6} = a^{9/6} = a^{3/2}\).
ОТВЕТ: \(a^{3/2}\)

№ 10. \(\sqrt[6]{a}\!:\!\sqrt[8]{a^{-5}}\)
Решение:
\(\sqrt[6]{a} = a^{1/6}\), \(\sqrt[8]{a^{-5}} = a^{-5/8}\).
\(a^{1/6} : a^{-5/8} = a^{1/6 — (-5/8)} = a^{1/6 + 5/8} = a^{4/24 + 15/24} = a^{19/24}\).
ОТВЕТ: \(a^{19/24}\)

№ 11. \(\bigl(\sqrt[3]{a^2}\bigr)^6\)
Решение:
\(\sqrt[3]{a^2} = a^{2/3}\), \((a^{2/3})^6 = a^{4}\).
ОТВЕТ: \(a^{4}\)

№ 12. \(a^{\tfrac{1}{12}}\cdot\sqrt[4]{a}\)
Решение:
\(\sqrt[4]{a} = a^{1/4}\).
\(a^{1/12} \cdot a^{1/4} = a^{1/12 + 3/12} = a^{4/12} = a^{1/3}\).
ОТВЕТ: \(a^{1/3}\)

№ 13. \(\sqrt{\sqrt[3]{a}}\)
Решение:
\(\sqrt[3]{a} = a^{1/3}\), \(\sqrt{a^{1/3}} = a^{1/6}\).
ОТВЕТ: \(a^{1/6}\)

№ 14. Задание: \((a\sqrt[3]{a^{2}b})^{3}\)
Решение:
\[
a\sqrt[3]{a^{2}b} = a \cdot (a^{2}b)^{1/3} = a \cdot a^{2/3} b^{1/3} = a^{1 + 2/3} b^{1/3} = a^{5/3} b^{1/3}.
\] Возводим в куб:
\[
(a^{5/3} b^{1/3})^{3} = a^{5} b^{1}.
\] Ответ: \(a^{5}b\).

№ 15. Задание:
\(6ab\sqrt[9]{a^{8}b^{3}} : \frac{2a}{3b}\sqrt[6]{a^{2}b^{5}}\)
Решение:
\[
\sqrt[9]{a^{8}b^{3}} = a^{8/9} b^{3/9} = a^{8/9} b^{1/3}.
\] \[
\sqrt[6]{a^{2}b^{5}} = a^{2/6} b^{5/6} = a^{1/3} b^{5/6}.
\] Исходное выражение:
\[
\frac{6ab \cdot a^{8/9} b^{1/3}}{\frac{2a}{3b} \cdot a^{1/3} b^{5/6}}.
\] Упрощаем числитель:
\[
6 \cdot a^{1 + 8/9} \cdot b^{1 + 1/3} = 6 a^{17/9} b^{4/3}.
\] Знаменатель:
\[
\frac{2a}{3b} \cdot a^{1/3} b^{5/6} = \frac{2}{3} a^{1 + 1/3} b^{-1 + 5/6} = \frac{2}{3} a^{4/3} b^{-1/6}.
\] Делим:
\[
\frac{6 a^{17/9} b^{4/3}}{(2/3) a^{4/3} b^{-1/6}} = 6 \cdot \frac{3}{2} \cdot a^{17/9 — 4/3} \cdot b^{4/3 — (-1/6)}.
\] \[
= 9 \cdot a^{17/9 — 12/9} \cdot b^{8/6 + 1/6} = 9 a^{5/9} b^{9/6} = 9 a^{5/9} b^{3/2}.
\] Ответ: \(9a^{5/9}b^{3/2}\).

№ 16. Задание:
\(\sqrt{a} = a^{1/2}\)
Решение: Равенство верно, если \(a \ge 0\) (определение арифметического квадратного корня).
Ответ: \(a \ge 0\).

№ 17. Задание:
\(\sqrt[3]{a} = a^{1/3}\)
Решение:
Корень нечётной степени определён для всех \(a \in \mathbb{R}\).
Ответ: \(a \in \mathbb{R}\).

№ 18. Задание:
\(\sqrt[7]{(a-1)^{5}} = (a-1)^{5/7}\)
Решение:
Корень нечётной степени \(7\) определён для всех вещественных \(a\).
Ответ: \(a \in \mathbb{R}\).

№ 19. Задание:
\(\sqrt[5]{(a+2)^{-3}} = (a+2)^{-3/5}\)
Решение:
Корень нечётной степени \(5\) определён для всех \(a \neq -2\) (иначе основание 0 в отрицательной степени не определено).
Ответ: \(a \neq -2\).

№ 20. Сравнить \(7.1^{-2.5}\) и \(7.1^{-2\frac{1}{3}}\).
Решение:
\(-2.5 = -2.5\), \(-2\frac{1}{3} \approx -2.333\).
Так как основание \(7.1 > 1\), большему показателю соответствует большее значение, но здесь показатели отрицательные: \(-2.5 < -2.333\), поэтому \(7.1^{-2.5} < 7.1^{-2\frac{1}{3}}\).
Ответ: \(7.1^{-2.5} < 7.1^{-2\frac{1}{3}}\).

№ 21. Сравнить \(\left(\frac{1}{3}\right)^{1/4}\) и \(\left(\frac{1}{3}\right)^{1/5}\).
Решение:
Основание \(0 < \frac{1}{3} < 1\), поэтому большему показателю соответствует меньшее значение.
\(\frac14 > \frac15\), значит \(\left(\frac{1}{3}\right)^{1/4} < \left(\frac{1}{3}\right)^{1/5}\).
Ответ: \(\left(\frac{1}{3}\right)^{1/4} < \left(\frac{1}{3}\right)^{1/5}\).

№ 22. Сравнить \((1.03)^{-5}\) и \(1\).
Решение:
\((1.03)^{-5} = \frac{1}{(1.03)^5}\). Так как \(1.03 > 1\), \((1.03)^5 > 1\), значит \((1.03)^{-5} < 1\).
Ответ: \((1.03)^{-5} < 1\).

№ 23. Задание:
\(6^{2x} = \sqrt[3]{36}\)
Решение:
\(\sqrt[3]{36} = 36^{1/3} = (6^2)^{1/3} = 6^{2/3}\).
Уравнение: \(6^{2x} = 6^{2/3}\) \(\Rightarrow\) \(2x = 2/3\) \(\Rightarrow\) \(x = 1/3\).
Ответ: \(x = \frac13\).

№ 24. Задание:
\(\sqrt[5]{\frac14} = 8^{x}\)
Решение:
\(\sqrt[5]{\frac14} = \left(2^{-2}\right)^{1/5} = 2^{-2/5}\).
\(8^{x} = (2^3)^x = 2^{3x}\).
Уравнение: \(2^{-2/5} = 2^{3x}\) \(\Rightarrow\) \(3x = -2/5\) \(\Rightarrow\) \(x = -\frac{2}{15}\).
Ответ: \(x = -\frac{2}{15}\).

№ 25. Задание:
Зная \(1.2^{x} = 3\), найти \(1.2^{3x+1}\).
Решение:
\(1.2^{3x+1} = 1.2^{3x} \cdot 1.2^{1} = (1.2^{x})^{3} \cdot 1.2 = 3^{3} \cdot 1.2 = 27 \cdot 1.2 = 32.4\).
Ответ: \(32.4\).

№ 26. Сравнить \(\sqrt[5]{3}\) и \(\sqrt[5]{6}\).
Решение:
Корень нечётной степени — возрастающая функция, \(3 < 6\), значит \(\sqrt[5]{3} < \sqrt[5]{6}\).
Ответ: \(\sqrt[5]{3} < \sqrt[5]{6}\).

№ 27. Сравнить \((0.35)^{3/7}\) и \((0.356)^{3/7}\).
Решение:
Показатель \(3/7 > 0\), степенная функция с положительным показателем возрастает при основании \(>0\).
\(0.35 < 0.356\), значит \((0.35)^{3/7} < (0.356)^{3/7}\).
Ответ: \((0.35)^{3/7} < (0.356)^{3/7}\).

№ 28. Сравнить \(35^{-17}\) и \(36^{-17}\).
Решение:
Показатель \(-17 < 0\), степенная функция с отрицательным показателем убывает при основании \(>0\).
\(35 < 36\), поэтому \(35^{-17} > 36^{-17}\).
Ответ: \(35^{-17} > 36^{-17}\).

№ 29. Задание:
\((2a^{\frac12}+b^{-\frac14})(2a^{\frac12}-b^{-\frac14})\)
Решение:
Используем формулу разности квадратов:
\((X+Y)(X-Y) = X^2 — Y^2\), где \(X = 2a^{\frac12}\), \(Y = b^{-\frac14}\).
\[
(2a^{1/2})^2 — (b^{-1/4})^2 = 4a — b^{-1/2}.
\] Ответ:
\[
\boxed{4a — b^{-\frac12}}
\]

№ 30. Задание:
\(\frac{a-b}{\sqrt a-\sqrt b} — \frac{a^{\frac32}-b^{\frac32}}{a-b}\)
Решение:
1. Первая дробь:
\(\frac{a-b}{\sqrt a — \sqrt b} = \frac{(\sqrt a — \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b)}{\sqrt a — \sqrt b} = \sqrt a + \sqrt b\) (при \(a \neq b\)).
2. Вторая дробь:
\(a^{3/2} — b^{3/2} = (\sqrt a — \sqrt b)(a + \sqrt{ab} + b)\).
Тогда
\[
\frac{a^{3/2} — b^{3/2}}{a-b} = \frac{(\sqrt a — \sqrt b)(a + \sqrt{ab} + b)}{(\sqrt a — \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b)} = \frac{a + \sqrt{ab} + b}{\sqrt a + \sqrt b}.
\] 3. Разность:
\[
(\sqrt a + \sqrt b) — \frac{a + \sqrt{ab} + b}{\sqrt a + \sqrt b} = \frac{(\sqrt a + \sqrt b)^2 — (a + \sqrt{ab} + b)}{\sqrt a + \sqrt b}.
\] \((\sqrt a + \sqrt b)^2 = a + 2\sqrt{ab} + b\).
Числитель: \(a + 2\sqrt{ab} + b — a — \sqrt{ab} — b = \sqrt{ab}\).
Итого:
\[
\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt a + \sqrt b} = \frac{\sqrt a \sqrt b}{\sqrt a + \sqrt b}.
\] Ответ:
\[
\boxed{\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt a + \sqrt b}}
\]

№ 31. Задание:
\(\frac{a-1}{a^{\frac34}+\sqrt a} \cdot \frac{\sqrt a+a^{\frac14}}{a^{\frac12}+1} \cdot a^{\frac14}\)
Решение:
Заметим:
\(a-1 = (a^{1/4})^4 — 1 = (a^{1/4} — 1)(a^{1/4} + 1)(a^{1/2} + 1)\).
\(a^{3/4} + \sqrt a = a^{3/4} + a^{1/2} = a^{1/2}(a^{1/4} + 1)\).
\(\sqrt a + a^{1/4} = a^{1/4}(a^{1/4} + 1)\).
\(a^{1/2} + 1\) оставляем.
Подставляем:
\[
\frac{(a^{1/4} — 1)(a^{1/4} + 1)(a^{1/2} + 1)}{a^{1/2}(a^{1/4} + 1)} \cdot \frac{a^{1/4}(a^{1/4} + 1)}{a^{1/2} + 1} \cdot a^{1/4}.
\] Сокращаем \((a^{1/4} + 1)\) и \((a^{1/2} + 1)\):
\[
\frac{(a^{1/4} — 1)}{a^{1/2}} \cdot a^{1/4} \cdot a^{1/4} = \frac{(a^{1/4} — 1)}{a^{1/2}} \cdot a^{1/2} = a^{1/4} — 1.
\] Ответ:
\[
\boxed{a^{\frac14} — 1}
\]

№ 32. Задание:
\(\frac{a-a^{-2}}{a^{\frac12}-a^{-\frac12}} — \frac{2}{a^{\frac23}} — \frac{1-a^{-2}}{\frac{1}{a^2}+a^{-\frac12}}\)
Ответ:
\[
\boxed{a^{-3/2}(a^2 + a + 1) — 2a^{-2/3} — \frac{a^2 — 1}{a^{3/2} + 1}}
\]

№ 33. Задание:
Вычислить \((a^{2x} + \frac{1}{a^{2x}}) \cdot b^{\frac{2x}{3}}\) при \(a^x + \frac{1}{a^x} = 4\), \(b^x = 8\).
Решение:
1. \(a^{2x} + a^{-2x} = (a^x + a^{-x})^2 — 2 = 4^2 — 2 = 14\).
2. \(b^{2x/3} = (b^x)^{2/3} = 8^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4\).
3. Произведение: \(14 \cdot 4 = 56\).
Ответ:
\[
\boxed{56}
\]

№ 34. Сравнить \(3^{\sqrt2}\) с 1.
Решение:
Основание \(3 > 1\), показатель \(\sqrt2 > 0\), значит, \(3^{\sqrt2} > 3^0 = 1\).
Ответ:
\[
\boxed{3^{\sqrt2} > 1}
\]

№ 35. Сравнить \((0{,}7)^\pi\) с 1.
Решение:
Основание \(0{,}7 < 1\), показатель \(\pi > 0\), значит, \((0{,}7)^\pi < 1\).
Ответ:
\[
\boxed{(0{,}7)^\pi < 1}
\]

№ 36. Сравнить \((2{,}71)^{\sqrt3}\) и \((2{,}701)^{\sqrt3}\).
Решение:
Показатель \(\sqrt3 > 0\), функция \(y = t^{\sqrt3}\) возрастает при \(t > 0\).
\(2{,}71 > 2{,}701\), следовательно, \((2{,}71)^{\sqrt3} > (2{,}701)^{\sqrt3}\).
Ответ:
\[
\boxed{(2{,}71)^{\sqrt3} > (2{,}701)^{\sqrt3}}
\]

№ 37. Сравнить \((0{,}44)^{-\pi}\) и \((0{,}(4))^{-\pi}\).
Решение:
\(0{,}(4) = 4/9 \approx 0{,}444… > 0{,}44\).
Показатель \(-\pi < 0\), функция \(y = t^{-\pi}\) убывает при \(t > 0\).
Так как \(0{,}44 < 0{,}(4)\), то \((0{,}44)^{-\pi} > (0{,}(4))^{-\pi}\).
Ответ:
\[
\boxed{(0{,}44)^{-\pi} > (0{,}(4))^{-\pi}}
\]

№ 38. Сравнить \(\left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt2}\) и \(\left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt3}\).
Решение:
Основание \(1/3 < 1\), функция \(y = (1/3)^t\) убывает.
\(\sqrt2 < \sqrt3\), следовательно, \((1/3)^{\sqrt2} > (1/3)^{\sqrt3}\).
Ответ:
\[
\boxed{\left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt2} > \left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt3}}
\]

№ 39. Сравнить \(2^{-\sqrt5}\) и \(2^{-\sqrt3}\).
Решение:
Основание \(2 > 1\), функция \(y = 2^t\) возрастает, но здесь показатели отрицательные.
\(-\sqrt5 < -\sqrt3\), следовательно, \(2^{-\sqrt5} < 2^{-\sqrt3}\).
Ответ:
\[
\boxed{2^{-\sqrt5} < 2^{-\sqrt3}}
\]

№ 40. Задание: \(\bigl(a^{\sqrt2}\bigr)^{\sqrt2}\)
Решение:
\((a^{\sqrt2})^{\sqrt2} = a^{\sqrt2 \cdot \sqrt2} = a^2\).
Ответ:
\[
\boxed{a^2}
\]

№ 41. Задание: \(a^{\sqrt2} \cdot a^3\)
Решение:
\(a^{\sqrt2} \cdot a^3 = a^{\sqrt2 + 3}\).
Ответ:
\[
\boxed{a^{\sqrt2 + 3}}
\]

№ 42. Задание:
\(\bigl(a^{\sqrt3 + 1}\bigr)^{\sqrt3 — 1}\)
Решение:
\((a^{\sqrt3 + 1})^{\sqrt3 — 1} = a^{(\sqrt3 + 1)(\sqrt3 — 1)} = a^{3 — 1} = a^2\).
Ответ:
\[
\boxed{a^2}
\]

№ 43. Задание:
\(\frac{a^n(a^{n+1})}{a^{1-n}}\)
Решение:
Числитель: \(a^n \cdot a^{n+1} = a^{2n+1}\).
Знаменатель: \(a^{1-n}\).
Делим: \(a^{(2n+1) — (1-n)} = a^{2n+1 — 1 + n} = a^{3n}\).
Ответ:
\[
\boxed{a^{3n}}
\]

№ 44. Упростить выражение:
\[
\left(\frac{2a+b^{1/2}a^{1/2}}{3a}\right)^{-1} \cdot \left( \frac{a^{3/2} — b^{3/2}}{a — a^{1/2}b^{1/2}} — \frac{a — b}{\sqrt a + \sqrt b} \right)
\] Решение
1. Упростим первую скобку:
\[
\left( \frac{2a + a^{1/2}b^{1/2}}{3a} \right)^{-1}
= \frac{3a}{2a + a^{1/2}b^{1/2}}.
\] Вынесем \(a^{1/2}\) в знаменателе:
\[
2a + a^{1/2}b^{1/2} = a^{1/2}(2a^{1/2} + b^{1/2}).
\] Тогда первая скобка:
\[
\frac{3a}{a^{1/2}(2a^{1/2} + b^{1/2})}
= \frac{3a^{1/2}}{2a^{1/2} + b^{1/2}}.
\] 2. Упростим вторую скобку:
\[
\frac{a^{3/2} — b^{3/2}}{a — a^{1/2}b^{1/2}} — \frac{a — b}{\sqrt a + \sqrt b}.
\] В первой дроби:
\[
a^{3/2} — b^{3/2} = (a^{1/2} — b^{1/2})(a + a^{1/2}b^{1/2} + b),
\] \[
a — a^{1/2}b^{1/2} = a^{1/2}(a^{1/2} — b^{1/2}).
\] Сократим \(a^{1/2} — b^{1/2}\) (при условии \(a \neq b\)):
\[
\frac{a + a^{1/2}b^{1/2} + b}{a^{1/2}}.
\] Во второй дроби:
\[
a — b = (a^{1/2} — b^{1/2})(a^{1/2} + b^{1/2}),
\] \[
\frac{a — b}{\sqrt a + \sqrt b} = a^{1/2} — b^{1/2}.
\] Тогда вторая скобка:
\[
\frac{a + a^{1/2}b^{1/2} + b}{a^{1/2}} — (a^{1/2} — b^{1/2}).
\] Приведём к общему знаменателю \(a^{1/2}\):
\[
\frac{a + a^{1/2}b^{1/2} + b — a + a^{1/2}b^{1/2}}{a^{1/2}}
= \frac{2a^{1/2}b^{1/2} + b}{a^{1/2}}.
\] Можно записать:
\[
\frac{b + 2\sqrt{ab}}{a^{1/2}} = \frac{b^{1/2}(b^{1/2} + 2a^{1/2})}{a^{1/2}}.
\] 3. Перемножим результаты:
Первая часть: \(\frac{3a^{1/2}}{2a^{1/2} + b^{1/2}}\),
вторая часть: \(\frac{b^{1/2}(b^{1/2} + 2a^{1/2})}{a^{1/2}}\).
Заметим: \(b^{1/2} + 2a^{1/2} = 2a^{1/2} + b^{1/2}\).
Произведение:
\[
\frac{3a^{1/2}}{2a^{1/2} + b^{1/2}} \cdot \frac{b^{1/2}(2a^{1/2} + b^{1/2})}{a^{1/2}} = 3b^{1/2}.
\] ОТВЕТ: \(3\sqrt{b}\)

№ 45. Упростить выражение:
\[
\frac{2a\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}}, \quad a>0, \ b>0, \ x=\frac12\left(\sqrt{\frac{a}{b}} — \sqrt{\frac{b}{a}}\right).
\] Решение
1. Найдём \(x\) в удобном виде:
\[
x = \frac12 \left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} — \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \right)
= \frac12 \cdot \frac{a — b}{\sqrt{ab}}.
\] 2. Найдём \(1+x^2\):
\[
x^2 = \frac{(a-b)^2}{4ab}.
\] \[
1 + x^2 = 1 + \frac{(a-b)^2}{4ab}
= \frac{4ab + a^2 — 2ab + b^2}{4ab}
= \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4ab}
= \frac{(a+b)^2}{4ab}.
\] \[
\sqrt{1+x^2} = \frac{a+b}{2\sqrt{ab}} \quad (\text{т.к. } a>0, b>0).
\] 3. Знаменатель \(x + \sqrt{1+x^2}\):
\[
x + \sqrt{1+x^2} = \frac{a-b}{2\sqrt{ab}} + \frac{a+b}{2\sqrt{ab}}
= \frac{a-b+a+b}{2\sqrt{ab}} = \frac{2a}{2\sqrt{ab}} = \frac{a}{\sqrt{ab}}.
\] 4. Подставим в исходное выражение:
\[
\frac{2a\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}}
= \frac{2a \cdot \frac{a+b}{2\sqrt{ab}}}{\frac{a}{\sqrt{ab}}}
= \frac{a(a+b)/\sqrt{ab}}{a/\sqrt{ab}}.
\] Сократим \(a/\sqrt{ab}\):
\[
\frac{a(a+b)/\sqrt{ab}}{a/\sqrt{ab}} = a+b.
\] ОТВЕТ: \(a+b\)

 

Вариант 2

 

---

Вы смотрели: Алгебра Алимов Самостоятельная 9 В12. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 10 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.

Вернуться к СПИСКУ самостоятельных работ