Алгебра 10 класс УМК Алимов. Дидактические материалы Шабунин Самостоятельная работа № 14 Иррациональные уравнения Вариант 1. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Самостоятельная 14 в1.
Вернуться к СПИСКУ самостоятельных
Алгебра 10 класс Алимов
Самостоятельная № 14. Вариант 1
Проверяемая тема: § 9. Иррациональные уравнения.
№ 1. √{x + 3} = √{5 ─ x}
Решение. Возводим в квадрат обе части:
x + 3 = 5 ─ x
2x = 2
x = 1
Проверка: √{1 + 3} = √4 = 2, √{5 ─ 1} = √4 = 2 — верно.
Ответ: x = 1
№ 2. √{1 ─ x} = x + 1
Решение. ОДЗ: 1 ─ x ≥ 0 ⇒ x ≤ 1.
Возводим в квадрат:
1 ─ x = (x + 1)²
1 ─ x = x² + 2x + 1
0 = x² + 3x
x(x + 3) = 0
x = 0 или x = ─3
Проверка:
x = 0: √1 = 1, 0 + 1 = 1 — верно.
x = ─3: √4 = 2, ─3 + 1 = ─2 — неверно.
Ответ: x = 0
№ 3. √{x + 11} = x ─ 1
Решение:
ОДЗ: x + 11 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─11 и x─1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1.
Возводим в квадрат:
x + 11 = (x─1)²
x + 11 = x² ─ 2x + 1
0 = x² ─ 3x ─ 10
x² ─ 3x ─ 10 = 0
D = 9 + 40 = 49
x = 3 ± 7/2
x₁ = 5, x₂ = ─2
x₂ = ─2 не подходит по условию x ≥ 1.
Проверка x = 5: √16 = 4, 5 ─ 1 = 4 — верно.
Ответ: x = 5
№ 4. √{x² + x + 4} = 4
Решение: Возводим в квадрат:
x² + x + 4 = 16
x² + x ─ 12 = 0
D = 1 + 48 = 49
x = (─1 ± 7)/2
x₁ = 3, x₂ = ─4
Проверка:
x = 3: √{9 + 3 + 4} = √16 = 4 — верно.
x = ─4: √{16 ─ 4 + 4} = √16 = 4 — верно.
Ответ: x₁ = 3, x₂ = ─4
№ 5. √{2x + 1} ─ √x = 1
Решение:
ОДЗ: x ≥ 0, 2x + 1 ≥ 0 — выполняется при x ≥ 0.
Переносим: √{2x + 1} = √x + 1
Возводим в квадрат:
2x + 1 = x + 2√x + 1
x = 2√x
√x = x/2
Снова возводим в квадрат: x = (x²)/4
x² ─ 4x = 0
x(x─4) = 0
x = 0 или x = 4
Проверка:
x = 0: √1 ─ 0 = 1 — верно.
x = 4: √9 ─ √4 = 3 ─ 2 = 1 — верно.
Ответ: x₁ = 0, x₂ = 4
№ 6. √{5 ─ x} ─ √{5 + x} = 2
Решение:
ОДЗ: 5 ─ x ≥ 0 ⇒ x ≤ 5, 5 + x ≥ 0 ⇒ x ≥ ─5, итого x ∈ [─5, 5].
Переносим: √{5 ─ x} = √{5 + x} + 2
Возводим в квадрат:
5 ─ x = 5 + x + 4√{5 + x} + 4
5 ─ x = x + 9 + 4√{5 + x}
─x ─ x = 9 + 4√{5 + x} ─ 5
─2x = 4 + 4√{5 + x}
─x = 2 + 2√{5 + x}
─x ─ 2 = 2√{5 + x}
Возведём в квадрат: (─x─2)² = 4(5 + x)
x² + 4x + 4 = 20 + 4x
x² = 16
x = ± 4
Проверка:
x = 4: √1 ─ √9 = 1 ─ 3 = ─2 ≠ 2 — не подходит.
x = ─4: √9 ─ √1 = 3 ─ 1 = 2 — верно.
Ответ: x = ─4
№ 7. √{x─2} + √{x + 6} = 4
Решение. ОДЗ: x ≥ 2.
Возводим в квадрат:
x─2 + x + 6 + 2√{(x─2)(x + 6)} = 16
2x + 4 + 2√{x²+4x─12} = 16
2√{x²+4x─12} = 12 ─ 2x
√{x²+4x─12} = 6 ─ x
Правая часть неотрицательна: 6 ─ x ≥ 0 ⇒ x ≤ 6, с учётом ОДЗ x ∈ [2, 6].
Возводим в квадрат:
x² + 4x─12 = 36 ─ 12x + x²
4x─12 = 36 ─ 12x
16x = 48
x = 3
Проверка: √1 + √9 = 1 + 3 = 4 — верно.
Ответ: x = 3
№ 8. √{2x + 5} ─ √{x + 6} = 1
Решение:
ОДЗ: x ≥ ─3 (из 2x + 5 ≥ 0 и x + 6 ≥ 0 точнее: x ≥ ─5/2 и x ≥ ─6, значит x ≥ ─2.5).
Переносим: √{2x + 5} = √{x + 6} + 1
Возводим в квадрат:
2x + 5 = x + 6 + 2√{x + 6} + 1
2x + 5 = x + 7 + 2√{x + 6}
x ─ 2 = 2√{x + 6}
Правая часть неотрицательна: x ≥ 2.
Возводим в квадрат:
(x─2)² = 4(x + 6)
x² ─ 4x + 4 = 4x + 24
x² ─ 8x ─ 20 = 0
D = 64 + 80 = 144
x = 8 ± 12/2
x₁ = 10, x₂ = ─2
x₂ = ─2 не подходит по условию x ≥ 2.
Проверка x = 10: √25 ─ √16 = 5 ─ 4 = 1 — верно.
Ответ: x = 10
№ 9. √{15 ─ x} + √{3 ─ x} = 6
Решение. ОДЗ: x ≤ 3.
Возводим в квадрат:
15 ─ x + 3 ─ x + 2√{(15 ─ x)(3 ─ x)} = 36
18 ─ 2x + 2√{(15 ─ x)(3 ─ x)} = 36
2√{(15 ─ x)(3 ─ x)} = 18 + 2x
√{(15 ─ x)(3 ─ x)} = 9 + x
Правая часть неотрицательна: 9 + x ≥ 0 ⇒ x ≥ ─9, что с ОДЗ даёт x ∈ [─9, 3].
Возводим в квадрат:
(15 ─ x)(3 ─ x) = (9 + x)²
45 ─ 15x ─ 3x + x² = 81 + 18x + x²
45 ─ 18x = 81 + 18x
─36 = 36x
x = ─1
Проверка: √16 + √4 = 4 + 2 = 6 — верно.
Ответ: x = ─1
№ 10. √{5x─3} ─ √{2x─1} = √{3x─2}
Решение:
ОДЗ: 5x─3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 0.6, 2x─1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 0.5, 3x─2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2/3. Итого x ≥ 2/3.
Переносим: √{5x─3} = √{2x─1} + √{3x─2}
Возводим в квадрат:
5x─3 = 2x─1 + 3x─2 + 2√{(2x─1)(3x─2)}
5x─3 = 5x─3 + 2√{(2x─1)(3x─2)}
0 = 2√{(2x─1)(3x─2)}
√{(2x─1)(3x─2)} = 0
(2x─1)(3x─2) = 0
x = 1/2 или x = 2/3
x = 1/2 не подходит по ОДЗ (x ≥ 2/3).
Проверка x = 2/3:
√{5 • 2/3 ─ 3} = √{10/3 ─ 3} = √{1/3}
√{2 • 2/3 ─ 1} = √{4/3 ─ 1} = √{1/3}
√{3 • 2/3 ─ 2} = √{2 ─ 2} = 0
Тогда √ 1/3} ─ √ 1/3} = 0 — верно.
Ответ: x = 2/3
№ 11. ³√{x³ ─ 7} = 1
Решение. Возводим обе части уравнения в куб, чтобы избавиться от кубического корня:
(√{x³ ─ 7})³ = 1³
После возведения в куб получаем: x³ ─ 7 = 1
Решаем полученное уравнение для x: x³ = 8
x = 3√8 = 2
Проверка: 3√{23 ─ 7} = 3√1 = 1 — верно.
Ответ: x = 2.
№ 12. ⁴√{17x² ─ 16} = x
Решение:
ОДЗ: x ≥ 0 (так как корень четвёртой степени неотрицателен и равен x).
Возводим в 4─ю степень:
17x² ─ 16 = x⁴
x⁴ ─ 17x² + 16 = 0
Пусть t = x² ≥ 0:
t² ─ 17t + 16 = 0
D = 289 ─ 64 = 225
t = 17 ± 15/2
t₁ = 16, t₂ = 1
Тогда x² = 16 ⇒ x = 4 (отрицательный корень не подходит по ОДЗ)
x² = 1 ⇒ x = 1
Проверка:
x = 4: ⁴√{17 • 16 ─ 16} = ⁴√{272 ─ 16} = ⁴√256 = 4 — верно.
x = 1: ⁴√{17 ─ 16} = ⁴√1 = 1 — верно.
Ответ: x₁ = 1, x₂ = 4.
Решить уравнение относительно x (13—15).
№ 13. √x = a.
Решение: По определению квадратного корня:
1) x ≥ 0
2) √x = a ⇒ a ≥ 0
Тогда x = a².
Ответ: при a ≥ 0 x = a² , при a < 0 решений нет.
№ 14. √[x – 1] = a.
Решение:
1) x ─ 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1
2) √{x ─ 1} = a ⇒ a ≥ 0
Тогда x ─ 1 = a² ⇒ x = a² + 1.
Ответ: при a ≥ 0 x = a² + 1 , при a < 0 решений нет.
№ 15. √x = 1 + a.
Решение:
1) x ≥ 0
2) √x = 1 + a ⇒ 1 + a ≥ 0 ⇒ a ≥ ─1
Тогда x = (1 + a)².
Ответ: при a ≥ ─1 x = (1 + a)² , при a < ─1 решений нет.
Выяснить с помощью графика, сколько корней имеет уравнение (16—18).
№ 16. √x = 6 – x².
Решение: Рассмотрим функции y = √x (область определения x ≥ 0) и y = 6 ─ x² (парабола ветвями вниз, вершина в x = 0 , y = 6).
Найдём точки пересечения: √x = 6 ─ x²
Проверим x = 4 : 2 = 6 ─ 16 — нет.
Проверим x = 2 : √2 ≈ 1.41 , 6 ─ 4 = 2 — нет.
Методом подбора или анализа: при x = 0 : 0 и 6 — нет.
При x от 0 до √6 ≈ 2.45
6 ─ x² убывает от 6 до 0, √x возрастает от 0 до ~1.57.
В x = 2 : √2 ≈ 1.41 , 6 ─ 4 = 2 — парабола выше корня.
В x = 2.5 : √{2.5} ≈ 1.58 , 6 ─ 6.25 = ─0.25 — уже ниже.
Значит, где─то между 2 и 2.5 есть пересечение.
Также при x чуть больше 0: √x мал, 6 ─ x² близко к 6 — разрыв большой, значит, графики пересекаются в одной точке.
Ответ: 1 корень.
№ 17. √[х + 1] = (х – 1)².
Решение: Область определения: x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─1.
Строим y = √{x + 1} (начинается в (─1,0) , растёт) и y = (x─1)² (парабола, минимум в (1,0)).
При x = ─1 : 0 и 4 — нет.
При x = 0 : 1 и 1 — есть точка пересечения x = 0.
При x = 1 : √2 ≈ 1.41 и 0 — нет.
При x = 3 : √4 = 2 и 4 — нет, парабола выше.
Между x = 0 и x = 1 корень из x + 1 растёт, парабола убывает до 0 — значит, только одна точка пересечения? Проверим x = 2 : √3 ≈ 1.73 и 1 — парабола ниже.
То есть после x = 0 парабола ниже до x = 1 , потом растёт. Может быть второе пересечение при x > 1 ?
Решим приближённо: √{x + 1} = (x─1)².
При x = 2 : 1.73 и 1 — левая больше.
При x = 3 : 2 и 4 — левая меньше. Значит, между 2 и 3 есть корень.
Итого: два пересечения графиков.
Ответ: 2 корня.
№ 18. x³ ─ 2 = √{x ─ 1}.
Решение. Область определения: x ≥ 1.
y = x³ ─ 2 (возрастает, при x = 1 равно ─1),
y = √{x ─ 1} (при x = 1 равно 0).
В x = 1 : куб. функция ─1, корень 0 — куб. ниже.
В x = 2 : 8 ─ 2 = 6 , корень √1 = 1 — куб. выше.
Значит, где─то между 1 и 2 есть пересечение.
При больших x куб растёт быстрее корня, значит, больше пересечений нет.
Ответ: 1 корень.
Решить уравнение (19—21).
№ 19. √[6 – 4х – x²] = х + 4.
Решение:
1) ОДЗ: 6 ─ 4x ─ x² ≥ 0
─x² ─ 4x + 6 ≥ 0
x² + 4x ─ 6 ≤ 0
Корни: x = (─4 ± √{16 + 24})/2 = (─4 ± √40)/2 = ─2 ± √10.
Приближённо √10 ≈ 3.162 , интервал x ∈ [─5.162, 1.162].
2) Уравнение: √{6 ─ 4x ─ x²} = x + 4
Правая часть x + 4 должна быть ≥ 0 \implies x ≥ ─4.
3) Возводим в квадрат:
6 ─ 4x ─ x² = (x + 4)²
6 ─ 4x ─ x² = x² + 8x + 16
6 ─ 4x ─ x² ─ x² ─ 8x ─ 16 = 0
─2x² ─ 12x ─ 10 = 0
x² + 6x + 5 = 0
(x + 5)(x + 1) = 0
x = ─5 или x = ─1.
4) Проверка ОДЗ и условия x + 4 ≥ 0 :
x = ─5 : x + 4 = ─1 < 0 — не подходит.
x = ─1 : x + 4 = 3 ≥ 0 , ОДЗ: ─1 ∈ [─5.162, 1.162] — да.
Проверяем в исходном: √{6 + 4 ─ 1} = √9 = 3 , правая часть ─1 + 4 = 3 — верно.
Ответ: x = ─1.
№ 20. x + √{2x² ─ 7x + 5} = 1.
Решение:
1) ОДЗ: 2x² ─ 7x + 5 ≥ 0
2x² ─ 7x + 5 = 0
D = 49 ─ 40 = 9
x = 7 ± 3/4 , корни x = 2.5 и x = 1.
Парабола ветвями вверх, значит x ≤ 1 или x ≥ 2.5.
2) Уравнение: √{2x² ─ 7x + 5} = 1 ─ x
Правая часть 1 ─ x ≥ 0 \implies x ≤ 1.
3) Возводим в квадрат:
2x² ─ 7x + 5 = (1 ─ x)²
2x² ─ 7x + 5 = 1 ─ 2x + x²
2x² ─ 7x + 5 ─ x² + 2x ─ 1 = 0
x² ─ 5x + 4 = 0
(x─1)(x─4) = 0
x = 1 или x = 4.
4) Проверяем условия:
x = 1 : 1 + √{2 ─ 7 + 5} = 1 + 0 = 1 — верно, ОДЗ и x ≤ 1 — да.
x = 4 : 4 + √{32 ─ 28 + 5} = 4 + √9 = 4 + 3 = 7 ≠ 1 , не подходит, да и x ≤ 1 не выполняется.
Ответ: x = 1.
№ 21. 5√{x² + 5x + 28} = x² + 5x + 4.
Решение:
Замена t = x² + 5x + 28. Тогда x² + 5x + 4 = t ─ 24.
Уравнение: 5√t = t ─ 24
1) ОДЗ: t ≥ 0 и t ─ 24 ≥ 0 \implies t ≥ 24.
2) Возводим в квадрат:
25t = t² ─ 48t + 576
t² ─ 73t + 576 = 0
D = 5329 ─ 2304 = 3025 , √3025 = 55
t = 73 ± 55/2
t = 64 или t = 9.
3) t ≥ 24 , значит t = 9 не подходит.
4) t = 64 :
x² + 5x + 28 = 64
x² + 5x ─ 36 = 0
D = 25 + 144 = 169
x = (─5 ± 13)/2
x = 4 или x = ─9.
5) Проверка в исходном:
При x = 4 : 5√{16 + 20 + 28} = 5√64 = 40 , правая часть 16 + 20 + 4 = 40 — верно.
При x = ─9 : 5√{81 ─45 + 28} = 5√64 = 40 , правая часть 81 ─45 + 4 = 40 — верно.
Ответ: x = 4 , x = ─9.
Вы смотрели: Алгебра Алимов Самостоятельная 14 в1. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 10 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.