Алгебра 10 класс УМК Алимов. Дидактические материалы Шабунин Самостоятельная работа № 14 Иррациональные уравнения Вариант 2. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Самостоятельная 14 в2.
Вернуться к СПИСКУ самостоятельных
Алгебра 10 класс Алимов
Самостоятельная № 14. Вариант 2
Проверяемая тема: § 9. Иррациональные уравнения.
№ 1. √{x + 4} = √{2x─1}
Решение: Возводим в квадрат:
x + 4 = 2x─1
4 + 1 = 2x─x
x = 5
Проверка: √{5+4} = √(10—1) — верно.
Ответ: x = 5.
№ 2. √{x + 1} = 1 ─ x
Решение:
ОДЗ: x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─1 и 1 ─ x ≥ 0 ⇒ x ≤ 1.
Итак, x ∈ [─1, 1].
Возводим в квадрат:
x + 1 = (1 ─ x)²
x + 1 = 1 ─ 2x + x²
0 = x² ─ 3x
x(x─3) = 0
Корни: x = 0 или x = 3.
x = 3 не входит в ОДЗ.
Проверяем x = 0: √1 = 1 — верно.
Ответ: x = 0.
№ 3. √{x + 10} = x─2
Решение:
ОДЗ: x + 10 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─10 и x─2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2.
Итак, x ≥ 2.
Возводим в квадрат:
x + 10 = (x─2)²
x + 10 = x² ─ 4x + 4
0 = x² ─ 5x ─ 6
x² ─ 5x ─ 6 = 0
(x─6)(x + 1) = 0
Корни: x = 6 или x = ─1.
x = ─1 не входит в ОДЗ (x ≥ 2).
Проверяем x = 6: √16 = 4 — верно.
Ответ: x = 6.
№ 4. √{x² ─ x ─ 3} = 3
Решение:
ОДЗ: x² ─ x ─ 3 ≥ 0.
Возводим в квадрат:
x² ─ x ─ 3 = 9
x² ─ x ─ 12 = 0
(x─4)(x + 3) = 0
Корни: x = 4 или x = ─3.
Проверка ОДЗ:
При x = 4: 16 ─ 4─3 = 9 ≥ 0.
При x = ─3: 9 + 3 ─ 3 = 9 ≥ 0.
Ответ: x = 4 или x = ─3.
№ 5. √{3x + 4} ─ √x = 2
Решение:
ОДЗ: x ≥ 0 и 3x + 4 ≥ 0 (автоматически при x ≥ 0).
Переносим:
√{3x + 4} = √x + 2
Возводим в квадрат:
3x + 4 = x + 4√x + 4
3x + 4 ─ x ─ 4 = 4√x
2x = 4√x
x = 2√x
Пусть t = √x ≥ 0:
t² = 2t
t(t─2) = 0
t = 0 или t = 2.
Тогда x = 0 или x = 4.
Проверка:
x = 0: √4 ─ 0 = 2 — верно.
x = 4: √16 ─ √4 = 4 ─ 2 = 2 — верно.
Ответ: x = 0 или x = 4.
№ 6. √{12 + x} ─ √{1 ─ x} = 1
Решение:
ОДЗ: 12 + x ≥ 0 ⇒ x ≥ ─12 и 1 ─ x ≥ 0 ⇒ x ≤ 1.
Итак, x ∈ [─12, 1].
Переносим:
√{12 + x} = √{1 ─ x} + 1
Возводим в квадрат:
12 + x = 1 ─ x + 1 + 2√{1 ─ x}
12 + x = 2 ─ x + 2√{1 ─ x}
10 + 2x = 2√{1 ─ x}
5 + x = √{1 ─ x}
ОДЗ для этого шага: 5 + x ≥ 0 ⇒ x ≥ ─5 (уже учтём).
Возводим в квадрат:
(5 + x)² = 1 ─ x
25 + 10x + x² = 1 ─ x
x² + 11x + 24 = 0
(x + 3)(x + 8) = 0
Корни: x = ─3 или x = ─8.
Проверка:
x = ─3: √9 ─ √4 = 3 ─ 2 = 1 — верно.
x = ─8: √4 ─ √9 = 2 ─ 3 = ─1 ≠ 1 — не подходит.
Ответ: x = ─3.
№ 7. √{x + 7} + √{x─2} = 9
Решение:
ОДЗ: x + 7 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─7 и x─2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2.
Итак, x ≥ 2.
Возводим в квадрат:
x + 7 + x─2 + 2√{(x + 7)(x─2)} = 81
2x + 5 + 2√{x² + 5x─14} = 81
2√{x² + 5x─14} = 76 ─ 2x
√{x² + 5x─14} = 38 ─ x
ОДЗ для этого шага: 38 ─ x ≥ 0 ⇒ x ≤ 38 (уже выполнено при x ≥ 2).
Возводим в квадрат:
x² + 5x─14 = (38 ─ x)²
x² + 5x─14 = 1444 ─ 76x + x²
5x─14 = 1444 ─ 76x
81x = 1458
x = 18
Проверка: √25 + √16 = 5 + 4 = 9 — верно.
Ответ: x = 18.
№ 8. √{3x + 1} ─ √{x + 8} = 1
Решение:
ОДЗ: 3x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─(1/3) и x + 8 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─8.
Итак, x ≥ ─(1/3).
Переносим:
√{3x + 1} = √{x + 8} + 1
Возводим в квадрат:
3x + 1 = x + 8 + 1 + 2√{x + 8}
3x + 1 = x + 9 + 2√{x + 8}
2x ─ 8 = 2√{x + 8}
x ─ 4 = √{x + 8}
ОДЗ: x ≥ 4.
Возводим в квадрат:
(x─4)² = x + 8
x² ─ 8x + 16 = x + 8
x² ─ 9x + 8 = 0
(x─1)(x─8) = 0
Корни: x = 1 или x = 8.
x = 1 не входит в ОДЗ x ≥ 4.
Проверяем x = 8: √25 ─ √16 = 5 ─ 4 = 1 — верно.
Ответ: x = 8.
№ 9. √{2x─4} ─ √{x + 5} = 1
Решение:
ОДЗ: 2x─4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 и x + 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─5.
Итак, x ≥ 2.
Переносим:
√{2x─4} = √{x + 5} + 1
Возводим в квадрат:
2x─4 = x + 5 + 1 + 2√{x + 5}
2x─4 = x + 6 + 2√{x + 5}
x ─ 10 = 2√{x + 5}
ОДЗ для этого шага: x ≥ 10.
Возводим в квадрат:
(x─10)² = 4(x + 5)
x² ─ 20x + 100 = 4x + 20
x² ─ 24x + 80 = 0
(x─4)(x─20) = 0
Корни: x = 4 или x = 20.
x = 4 не входит в ОДЗ x ≥ 10.
Проверяем x = 20: √36 ─ √25 = 6 ─ 5 = 1 — верно.
Ответ: x = 20.
№ 10. √{7x─5} ─ √{3x─2} = √{4x─3}
Решение:
ОДЗ:
7x─5 ≥ 0 ⇒ x ≥ 5/7,
3x─2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2/3,
4x─3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3/4.
Наибольшее из них: x ≥ 5/7.
Переносим: √{7x─5} = √{3x─2} + √{4x─3}
Возводим в квадрат:
7x─5 = 3x─2 + 4x─3 + 2√{(3x─2)(4x─3)}
7x─5 = 7x─5 + 2√{(3x─2)(4x─3)}
0 = 2√{(3x─2)(4x─3)}
√{(3x─2)(4x─3)} = 0
(3x─2)(4x─3) = 0
Корни: x = 2/3 или x = 3/4.
Проверяем ОДЗ x ≥ 5/7:
2/3 ≈ 0.666, 5/7 ≈ 0.714 — не подходит.
3/4 = 0.75 — подходит.
Проверка x = 3/4:
√{7 • 0.75 ─ 5} = √{5.25 ─ 5} = √{0.25} = 0.5
√{3 • 0.75 ─ 2} = √{2.25 ─ 2} = √{0.25} = 0.5
√{4 • 0.75 ─ 3} = √{3 ─ 3} = 0
Левая часть: 0.5 ─ 0.5 = 0, правая: 0 — верно.
Ответ: x = 3/4.
№ 11. 3√[19 – x3] = 3.
Решение. ОДЗ: 19 ─ x³ ≥ 0.
Возведение обеих частей уравнения в куб:
(√{19 ─ x³})³ = 1³
19 ─ x³ = 27
─x³ = 8
x = ³√8
x = 2
Проверка ОДЗ: 19 ─ 2³ ≥ 0 — верно.
Ответ: x = 2.
№ 12. 4√[13x2 – 36] = x.
Решение:
ОДЗ: x ≥ 0 (так как корень четной степени равен неотрицательному числу x).
Возводим в 4─ю степень:
13x² ─ 36 = x⁴
x⁴ ─ 13x² + 36 = 0
Замена t = x² ≥ 0:
t² ─ 13t + 36 = 0
(t─4)(t─9) = 0
t = 4 или t = 9.
Тогда x² = 4 ⇒ x = 2 (отрицательный корень x = ─2 не подходит по ОДЗ x ≥ 0).
Или x² = 9 ⇒ x = 3.
Проверка:
x = 2: 4√{13• 4 ─ 36} = 4√{52 ─ 36} = 4√16 = 2 — верно.
x = 3: 4√{13• 9 ─ 36} = 4√{117 ─ 36} = 4√81 = 3 — верно.
Ответ: x = 2 или x = 3.
Решить уравнение относительно х (13—15).
№ 13. √x = ─a
Решение:
По определению арифметического квадратного корня √x ≥ 0.
Следовательно:
1) Если ─a < 0 (т. е. a > 0), то решений нет.
2) Если ─a = 0 (т. е. a = 0), то √x = 0 ⇒ x = 0.
3) Если ─a > 0 (т. е. a < 0), то √x = ─a > 0, возводим в квадрат: x = a².
Ответ:
x = 0, если a = 0;
x = a², если a < 0;
нет решений, если a > 0.
№ 14. √{x + 2} = a
Решение:
По определению √{x + 2} ≥ 0, значит a ≥ 0.
При a ≥ 0 возводим в квадрат:
x + 2 = a² ⇒ x = a² ─ 2.
Ответ:
x = a² ─ 2, если a ≥ 0;
нет решений, если a < 0.
№ 15. √x + 3 = a
Решение:
√x ≥ 0 ⇒ √x = a ─ 3 ≥ 0 ⇒ a ≥ 3.
При a ≥ 3 возводим в квадрат:
x = (a ─ 3)².
Ответ:
x = (a ─ 3)², если a ≥ 3;
нет решений, если a < 3.
Выяснить с помощью графика, сколько корней имеет уравнение (16—18).
№ 16. √x = 4 ─ x²
Решение:
Строим графики y = √x (полупарабола, начинается в (0; 0), растёт) и y = 4 ─ x² (парабола ветвями вниз, вершина (0;4), пересекает ось x в x = ± 2).
Область определения: x ≥ 0.
При x ≥ 0: y = 4 ─ x² убывает от 4 до ─∞.
√x возрастает от 0 до + ∞.
На [0;2]: в точке x = 0: √0 = 0, 4 ─ 0 = 4 — график 4 ─ x² выше.
В точке x = 2: √2 ≈ 1.41, 4 ─ 4 = 0 — график 4 ─ x² ниже.
Значит, есть одна точка пересечения на (0;2).
При x > 2: 4 ─ x² < 0, а √x > 0 — пересечений нет.
Ответ: 1 корень.
№ 17. √{x ─ 1} = (x ─ 2)²
Решение:
Область определения: x ≥ 1.
График y = √{x ─ 1} начинается в (1;0), растёт.
График y = (x ─ 2)² — парабола с вершиной в (2;0), ветви вверх.
В точке x = 1: левая часть 0, правая часть 1 — правая выше.
В точке x = 2: левая часть 1, правая часть 0 — левая выше.
Значит, на (1;2) есть пересечение.
При x > 2: обе функции возрастают, но √{x─1} растёт медленнее, чем квадрат при больших x, но нужно проверить:
При x = 5: √4 = 2, 3² = 9 — квадрат выше.
Может ли быть второе пересечение? Рассмотрим f(x) = (x─2)² ─ √{x─1}.
При x = 2: f(2) = ─1 < 0.
При x = 3: 1 ─ √2 ≈ 1 ─ 1.41 < 0.
При x = 4: 4 ─ √3 ≈ 4 ─ 1.73 > 0.
Значит, на (3; 4) есть ещё один корень. Итого 2 пересечения.
Ответ: 2 корня.
№ 18. x³ ─ 1 = √{x + 1}
Решение. Область определения: x ≥ ─1.
График y = x³ ─ 1 — кубическая парабола, возрастает, проходит через (0;─1), (1;0).
График y = √{x + 1} начинается в (─1; 0), возрастает, выпукла вверх.
В точке x = ─1: левая часть ─2, правая 0 — правая выше.
В точке x = 0: левая ─1, правая 1 — правая выше.
В точке x = 1: левая 0, правая √2 ≈ 1.41 — правая выше.
В точке x = 2: левая 7, правая √3 ≈ 1.73 — левая выше.
Значит, на (1; 2) есть пересечение.
При больших x кубическая функция растёт быстрее, других пересечений нет (так как при x ∈ (─1;1) кубическая ниже корня, а после пересечения кубическая выше корня всегда).
Проверим x ≈ ─0.5: левая ≈ ─1.125, правая ≈ 0.707 — правая выше. Итого 1 корень.
Ответ: 1 корень.
Решить уравнение (19—21).
№ 19. √{4 ─ 6x ─ x²} = x + 4
Решение:
1) ОДЗ: 4 ─ 6x ─ x² ≥ 0
─x² ─ 6x + 4 ≥ 0
x² + 6x ─ 4 ≤ 0
Корни: x = ─3 ± √{9 + 4} = ─3 ± √13.
Значит, x ∈ [─3 ─ √13,─3 + √13].
2) Условие x + 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─4.
Корни ОДЗ: ─3 ─ √13 ≈ ─6.6, ─3 + √13 ≈ 0.6.
Пересечение с x ≥ ─4 даёт x ∈ [─4,0.6] (но левая граница ОДЗ ─6.6, поэтому фактически x ∈ [─4,0.6] — проверим: ─4 > ─6.6, да).
3) Возводим в квадрат:
4 ─ 6x ─ x² = (x + 4)²
4 ─ 6x ─ x² = x² + 8x + 16
0 = 2x² + 14x + 12
x² + 7x + 6 = 0
(x + 1)(x + 6) = 0 ⇒ x = ─1 или x = ─6.
4) Проверяем ОДЗ и условие x + 4 ≥ 0:
x = ─1: ОДЗ: 4 ─ 6(─1) ─ 1 = 4 + 6 ─ 1 = 9 ≥ 0, x + 4 = 3 ≥ 0, подходит.
x = ─6: x + 4 = ─2 < 0 — не подходит (корень слева отрицательный, равенство невозможно).
Ответ: x = ─1.
№ 20. √{2x² + 8x + 7} = x + 2
Решение:
1) ОДЗ: 2x² + 8x + 7 ≥ 0.
Дискриминант: 64 ─ 56 = 8, корни x = (─8 ± 2√2)/4 = ─2 ± √2/2.
Неравенство: x ≤ ─2 ─ √2/2 или x ≥ ─2 + √2/2.
2) Условие x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─2.
Пересекаем с ОДЗ: x ≥ ─2 + √2/2 (примерно ─0.293).
3) Возводим в квадрат:
2x² + 8x + 7 = (x + 2)²
2x² + 8x + 7 = x² + 4x + 4
x² + 4x + 3 = 0
(x + 1)(x + 3) = 0 ⇒ x = ─1 или x = ─3.
4) Проверяем ограничения:
x = ─1: x ≥ ─0.293 — да, подходит.
x = ─3: не входит в x ≥ ─0.293 — не подходит.
Ответ: x = ─1.
№ 21. √{x² + 2x + 8} = 12 ─ 2x ─ x²
Решение:
1) ОДЗ: x² + 2x + 8 ≥ 0 — дискриминант 4 ─ 32 = ─28 < 0, всегда верно.
2) Замена t = x² + 2x + 8.
Заметим: 12 ─ 2x ─ x² = 12 ─ (x² + 2x) = 12 ─ (t ─ 8) = 20 ─ t.
Уравнение: √t = 20 ─ t, где t ≥ 0 и 20 ─ t ≥ 0 ⇒ t ≤ 20.
3) Решаем: √t = 20 ─ t.
Пусть √t = u ≥ 0, тогда t = u².
u = 20 ─ u²
u² + u ─ 20 = 0
(u + 5)(u ─ 4) = 0
u = 4 (так как u ≥ 0).
4) Тогда √t = 4 ⇒ t = 16.
x² + 2x + 8 = 16
x² + 2x ─ 8 = 0
(x + 4)(x ─ 2) = 0
x = ─4 или x = 2.
5) Проверяем условие 20 ─ t ≥ 0: при t = 16 — да.
Ответ: x = ─4,x = 2.
Вы смотрели: Алгебра Алимов Самостоятельная 14 в2. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 10 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.