Алгебра 10 класс УМК Алимов. Дидактические материалы Шабунин Самостоятельная работа № 15 Иррациональные неравенства. Варианты 1, 2. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Самостоятельная 15.
Вернуться к СПИСКУ самостоятельных
Алгебра 10 класс Алимов
Самостоятельная работа № 15
Проверяемая тема: § 10. Иррациональные неравенства.
Справочные сведения
Вариант 1
№ 1. √{3x ─ 2} < ─2
Решение:
Квадратный корень (арифметический) всегда ≥ 0.
Неравенство √A < ─2 означает неотрицательное число < ─2 , что невозможно.
Ответ: (нет решений).
№ 2. √{x ─ 2} < 5
Решение:
1. ОДЗ: x ─ 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2.
2. Возводим в квадрат (обе части неотрицательны):
x ─ 2 < 25 ⇒ x < 27.
3. Пересекаем с ОДЗ: 2 ≤ x < 27.
Ответ: [2; 27).
№ 3. √{3 ─ 2x} ≤ 7
Решение:
1. ОДЗ: 3 ─ 2x ≥ 0 ⇒ x ≤ 1.5.
2. Возводим в квадрат: 3 ─ 2x ≤ 49 ⇒ ─2x ≤ 46 ⇒ x ≥ ─23.
3. Пересечение с ОДЗ: ─23 ≤ x ≤ 1.5.
Ответ: [─23; 1.5].
№ 4. √{x + 2} ≥ 3
Решение:
1. ОДЗ: x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─2.
2. Возводим в квадрат: x + 2 ≥ 9 ⇒ x ≥ 7.
3. Пересечение с ОДЗ: x ≥ 7.
Ответ: [7; + ∞).
№ 5. √{7 ─ 3x} > 5
Решение:
1. ОДЗ: 7 ─ 3x ≥ 0 ⇒ x ≤ 7/3.
2. Возводим в квадрат: 7 ─ 3x > 25 ⇒ ─3x > 18 ⇒ x < ─6.
3. Пересечение с ОДЗ: x < ─6.
Ответ: (─∞; ─6).
№ 6. √{2x + 1} > ─3
Решение:
Квадратный корень ≥ 0, поэтому неравенство √A > ─3 верно для всех x из ОДЗ.
ОДЗ: 2x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─0.5.
Ответ: [─0.5; + ∞).
№ 7. √{7 ─ x/2} ≥ ─1
Решение:
Квадратный корень ≥ 0, поэтому неравенство верно для всех x из ОДЗ.
ОДЗ: 7 ─ x/2 ≥ 0 ⇒ 14 ─ x ≥ 0 ⇒ x ≤ 14.
Ответ: (─∞; 14].
№ 8. √{x + 8} < x + 2
Решение:
1. ОДЗ: x + 8 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─8.
2. Рассмотрим два случая:
─ Случай 1: x + 2 < 0 (т.е. x < ─2).
Левая часть ≥ 0, правая отрицательна — неравенство неверно.
─ Случай 2: x + 2 ≥ 0 (т.е. x ≥ ─2).
Возводим в квадрат:
x + 8 < (x + 2)²
x + 8 < x² + 4x + 4
0 < x² + 3x ─ 4
x² + 3x ─ 4 > 0
Корни: x = 1, x = ─4.
Решение неравенства: x < ─4 или x > 1.
Учитываем x ≥ ─2: x > 1.
3. Итог: x > 1.
Ответ: (1; + ∞).
№ 9. √{x ─ 2} ≤ x ─ 2
Решение:
1. ОДЗ: x ≥ 2.
2. Обозначим t = √{x ─ 2} ≥ 0, тогда x ─ 2 = t².
Неравенство: t ≤ t² ⇒ t² ─ t ≥ 0 ⇒ t(t ─ 1) ≥ 0 ⇒ t ≤ 0 или t ≥ 1.
Так как t ≥ 0, то t = 0 или t ≥ 1.
─ t = 0 ⇒ x ─ 2 = 0 ⇒ x = 2.
─ t ≥ 1 ⇒ √{x ─ 2} ≥ 1 ⇒ x ─ 2 ≥ 1 ⇒ x ≥ 3.
3. Объединяем: x = 2 или x ≥ 3.
Ответ: {2} ∪ [3; + ∞).
№ 10. √{x + 8} > x + 2
Решение:
1. ОДЗ: x ≥ ─8.
2. Рассмотрим случаи:
─ Случай 1: x + 2 < 0 (т.е. x < ─2).
Левая часть ≥ 0, правая отрицательна — неравенство верно.
Пересекаем с x < ─2 и ОДЗ x ≥ ─8: ─8 ≤ x < ─2.
─ Случай 2: x + 2 ≥ 0 (т.е. x ≥ ─2).
Возводим в квадрат:
x + 8 > (x + 2)²
x + 8 > x² + 4x + 4
0 > x² + 3x ─ 4
x² + 3x ─ 4 < 0
(x + 4)(x ─ 1) < 0 ⇒ ─4 < x < 1.
Учитываем x ≥ ─2: ─2 ≤ x < 1.
3. Объединяем решения из двух случаев:
Первый случай: [─8; ─2)
Второй случай: [─2; 1)
Объединение: [─8; 1).
Ответ: [─8; 1).
№ 11. √{x ─ 2} > x ─ 2
Решение:
1. ОДЗ: x ≥ 2.
2. Обозначим t = √{x ─ 2} ≥ 0, тогда x ─ 2 = t².
Неравенство: t > t² ⇒ t² ─ t < 0 ⇒ t(t ─ 1) < 0 ⇒ 0 < t < 1.
Так как t ≥ 0, то 0 < t < 1.
0 < √{x ─ 2} < 1 ⇒ 0 < x ─ 2 < 1 ⇒ 2 < x < 3.
3. Учитываем ОДЗ x ≥ 2: 2 < x < 3.
Ответ: (2; 3).
№ 12. √{x² + 2x} > ─3 ─ x²
Решение:
Правая часть: ─3 ─ x² ≤ ─3 < 0.
Левая часть ≥ 0 (при ОДЗ).
Неравенство верно, когда левая часть определена (ОДЗ) и неотрицательна, а правая отрицательна.
ОДЗ: x² + 2x ≥ 0 ⇒ x(x + 2) ≥ 0 ⇒ x ≤ ─2 или x ≥ 0.
При этих x левая часть ≥ 0, правая всегда < 0, значит неравенство верно для всей ОДЗ.
Ответ: (─∞; ─2] ∪ [0; + ∞).
№ 13. √{x² ─ 3x + 2} ≤ ─1 ─ |x|
Решение:
Левая часть ≥ 0, правая часть: ─1 ─ |x| ≤ ─1 < 0.
Неравенство неотрицательное ≤ отрицательное возможно только если левая часть равна 0, а правая ≥ 0.
Но правая всегда ≤ ─1, поэтому даже 0 не подходит: 0 ≤ ─1 ложно.
Ответ: ∅.
№ 14. √{x + 2} > √{4 ─ x}
Решение:
1. ОДЗ:
x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─2
4 ─ x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4
Итого: ─2 ≤ x ≤ 4.
2. Обе части неотрицательны, возводим в квадрат:
x + 2 > 4 ─ x ⇒ 2x > 2 ⇒ x > 1.
3. Пересекаем с ОДЗ: 1 < x ≤ 4.
Ответ: (1; 4].
№ 15. √{2x ─ 8} ≤ √{6x + 13}
Решение:
1. ОДЗ:
2x ─ 8 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4
6x + 13 ≥ 0 ⇒ x ≥ ─ 13/6
Итого: x ≥ 4.
2. Обе части неотрицательны, возводим в квадрат:
2x ─ 8 ≤ 6x + 13 ⇒ ─8 ─ 13 ≤ 6x ─ 2x ⇒ ─21 ≤ 4x ⇒ x ≥ ─ 21/4.
3. Учитываем ОДЗ x ≥ 4: x ≥ 4.
Ответ: [4; + ∞).
№ 16. √{2 + √{x² + 2x + 5} ≤ 2
Решение:
1. Внутренний корень: x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4 ≥ 4 > 0 при всех x, значит ОДЗ — все x.
2. Обозначим t = √{x² + 2x + 5} ≥ 2.
Неравенство: √{2 + t} ≤ 2.
Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: 2 + t ≤ 4 ⇒ t ≤ 2.
Но t ≥ 2, значит t = 2.
3. t = 2 ⇒ √{x² + 2x + 5} = 2 ⇒ x² + 2x + 5 = 4 ⇒ x² + 2x + 1 = 0 ⇒ (x + 1)² = 0 ⇒ x = ─1.
Ответ: x = ─1.
№ 17. √{x² + x ─ 12} > 6 ─ x
Решение:
1. ОДЗ: x² + x ─ 12 ≥ 0 ⇒ (x + 4)(x─3) ≥ 0 ⇒ x ≤ ─4 или x ≥ 3.
2. Рассмотрим случаи:
─ Случай 1: 6 ─ x < 0 (т.е. x > 6).
Левая часть ≥ 0, правая отрицательна — неравенство верно.
Пересекаем с ОДЗ x ≥ 3 и x > 6: x > 6.
─ Случай 2: 6 ─ x ≥ 0 (т.е. x ≤ 6).
Обе части неравенства неотрицательны, возводим в квадрат:
x² + x ─ 12 > (6 ─ x)²
x² + x ─ 12 > 36 ─ 12x + x²
x ─ 12 > 36 ─ 12x
13x > 48 ⇒ x > 48/13 ≈ 3.69.
Учитываем x ≤ 6 и ОДЗ (x ≤ ─4 или x ≥ 3):
* Подслучай x ≤ ─4: нет решений, т.к. x > 3.69.
* Подслучай x ≥ 3: 3.69 < x ≤ 6.
3. Объединяем решения из двух случаев:
Случай 1: x > 6
Случай 2: 48/13 < x ≤ 6
Итого: x > 48/13.
Ответ: (48/13; + ∞).
№ 18. √{x² ─ 4x + 13} ≤ ─x² + 4x ─ 1
Решение:
1. Левая часть: x² ─ 4x + 13 = (x─2)² + 9 ≥ 9, значит √{… ≥ 3.
2. Правая часть: ─x² + 4x ─ 1 = ─(x² ─ 4x + 1) = ─((x─2)² ─ 3) = 3 ─ (x─2)² ≤ 3.
3. Неравенство: левая ≥ 3, правая ≤ 3.
Оно возможно только если обе части равны 3.
Левая часть = 3: √{x² ─ 4x + 13} = 3 ⇒ x² ─ 4x + 13 = 9 ⇒ x² ─ 4x + 4 = 0 ⇒ (x─2)² = 0 ⇒ x = 2.
Правая часть при x = 2: ─4 + 8 ─ 1 = 3.
Равенство выполняется.
Ответ: x = 2.
Вариант 2
Вы смотрели: Алгебра Алимов Самостоятельная 15. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 10 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.