Алгебра 10 класс УМК Алимов. Дидактические материалы Шабунин Самостоятельная работа № 20 по п.15 «Логарифмы» Варианты 1, 2. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Самостоятельная 20.
Вернуться к СПИСКУ самостоятельных
Алгебра 10 класс Алимов
Самостоятельная работа № 20
Проверяемая тема: § 15. Логарифмы.
Справочные сведения
Вариант 1
Вычислить (1—14).
№ 1. \( 5{,}1^{\log_{5{,}1}9} \)
Решение: По формуле \( a^{\log_a b} = b \).
Ответ: \( 9 \).
№ 2. \( 7^{2\log_7 16} \)
Решение: \( 2\log_7 16 = \log_7 16^2 = \log_7 256 \), тогда \( 7^{\log_7 256} = 256 \).
Ответ: \( 256 \).
№ 3. \( 12^{1+\log_{12}4} \)
Решение: \( 12^{1} \cdot 12^{\log_{12}4} = 12 \cdot 4 = 48 \).
Ответ: \( 48 \).
№ 4. \( 8^{\log_{2}\tfrac{1}{3}} \)
Решение: \( 8 = 2^3 \), значит \( 8^{\log_{2}\frac13} = (2^3)^{\log_{2}\frac13} = 2^{3\log_{2}\frac13} = 2^{\log_{2}\left(\frac13\right)^3} = \left(\frac13\right)^3 = \frac{1}{27} \).
Ответ: \( \frac{1}{27} \).
№ 5. \( 3^{2-\log_3 9} \)
Решение: \( 3^2 \cdot 3^{-\log_3 9} = 9 \cdot \frac{1}{9} = 1 \).
Ответ: \( 1 \).
№ 6. \( 3^{0.4\log_3\bigl(4\sqrt{2}\bigr)} \)
Решение: \( 0.4 = \frac{2}{5} \), тогда \( 3^{\frac{2}{5}\log_3(4\sqrt{2})} = 3^{\log_3\left((4\sqrt{2})^{2/5}\right)} = (4\sqrt{2})^{2/5} \).
\( 4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{1/2} = 2^{5/2} \), значит \( (2^{5/2})^{2/5} = 2^{1} = 2 \).
Ответ: \( 2 \).
№ 7. \( \log_{2}\tfrac{1}{32} \)
Решение: \( \frac{1}{32} = 2^{-5} \), значит \( \log_2 2^{-5} = -5 \).
Ответ: \( -5 \).
№ 8. \( \log_{27}9 \)
Решение: \( 27 = 3^3, \; 9 = 3^2 \), тогда \( \log_{3^3} 3^2 = \frac{2}{3} \).
Ответ: \( \frac{2}{3} \).
№ 9. \( \log_{1/4}8 \)
Решение: \( \frac14 = 2^{-2}, \; 8 = 2^3 \), тогда \( \log_{2^{-2}} 2^3 = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2} \).
Ответ: \( -\frac{3}{2} \).
№ 10. \( \log_{\sqrt{3}}27 \)
Решение: \( \sqrt{3} = 3^{1/2}, \; 27 = 3^3 \), тогда \( \log_{3^{1/2}} 3^3 = \frac{3}{1/2} = 6 \).
Ответ: \( 6 \).
№ 11. \(\log_{3\sqrt{2}}\frac{1}{18}\)
Решение:
Представим основание и аргумент через степени простых чисел:
\(3\sqrt{2} = 3 \cdot 2^{1/2}\),
\(\frac{1}{18} = 18^{-1} = (2 \cdot 3^2)^{-1} = 2^{-1} \cdot 3^{-2}\).
Пусть \(\log_{3\sqrt{2}}\frac{1}{18} = t\). Тогда
\((3 \cdot 2^{1/2})^t = 2^{-1} \cdot 3^{-2}\).
Раскроем: \(3^t \cdot 2^{t/2} = 2^{-1} \cdot 3^{-2}\).
Приравниваем показатели при одинаковых основаниях:
по основанию 3: \(t = -2\),
по основанию 2: \(\frac{t}{2} = -1 \Rightarrow t = -2\).
Ответ: \(-2\).
№ 12. \(\log_{\frac{\sqrt{6}}{2}}\frac{8}{27}\)
Решение:
Основание: \(\frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{6^{1/2}}{2} = \frac{2^{1/2} \cdot 3^{1/2}}{2} = 2^{-1/2} \cdot 3^{1/2}\).
Аргумент: \(\frac{8}{27} = 2^3 \cdot 3^{-3}\).
Пусть \(\log_{\frac{\sqrt{6}}{2}}\frac{8}{27} = t\). Тогда
\((2^{-1/2} \cdot 3^{1/2})^t = 2^3 \cdot 3^{-3}\).
Раскроем: \(2^{-t/2} \cdot 3^{t/2} = 2^3 \cdot 3^{-3}\).
Приравниваем показатели:
по основанию 2: \(-\frac{t}{2} = 3 \Rightarrow t = -6\),
по основанию 3: \(\frac{t}{2} = -3 \Rightarrow t = -6\).
Ответ: \(-6\).
№ 13. \( \log_{2}\log_{4}256 \)
Решение: \( 256 = 4^4 \), значит \( \log_4 256 = 4 \).
\( \log_2 4 = 2 \).
Ответ: \( 2 \).
№ 14. \( \frac{2}{3}\log_{1/2}\log_3 9 \)
Решение: \( \log_3 9 = 2 \), \( \log_{1/2} 2 = -1 \), тогда \( \frac{2}{3} \cdot (-1) = -\frac{2}{3} \).
Ответ: \( -\frac{2}{3} \).
Выяснить, при каких значениях х имеет смысл выражение (15—25).
№ 15. \(\log_{\frac{1}{2}}(4-x)\)
Решение:
Логарифм определён, когда \(4-x > 0\) (основание \(\frac12\) положительно и не равно 1).
\(4 — x > 0 \Rightarrow x < 4\).
Ответ: \(x \in (-\infty; 4)\).
№ 16. \(\log_{4}\frac{1}{3-2x}\)
Решение:
Логарифм определён, когда \(\frac{1}{3-2x} > 0\).
Дробь положительна, когда знаменатель положителен:
\(3 — 2x > 0 \Rightarrow 2x < 3 \Rightarrow x < 1{,}5\).
Ответ: \(x \in (-\infty; 1{,}5)\).
№ 17. \(\log_{3}\sqrt{x-1}\)
Решение:
Выражение под логарифмом: \(\sqrt{x-1} > 0 \Rightarrow x-1 > 0 \Rightarrow x > 1\).
Ответ: \(x \in (1; +\infty)\).
№ 18. \(\log_{2}\frac{x-5}{x+7}\)
Решение:
Логарифм определён, когда \(\frac{x-5}{x+7} > 0\).
Метод интервалов: нули числителя \(x = 5\), нуль знаменателя \(x = -7\).
Знаки дроби на интервалах:
\((-\infty; -7)\): \((-)/(-) = +\),
\((-7; 5)\): \((-)/(+) = -\),
\((5; +\infty)\): \((+)/(+) = +\).
Нас интересуют \(>0\), значит \(x \in (-\infty; -7) \cup (5; +\infty)\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -7) \cup (5; +\infty)\).
\begin{align*}
&19.\ \log_{a}\frac{7-3x}{x-4},\quad где \quad a\ge 3\\
&20.\ \log_{\frac{2}{3}}(x^{2}-16)\\
&21.\ \log_{9}(x^{2}+3x+9)\\
&22.\ \log_{7}(x^{2}-8x+7)\\
&23.\ \log_{9}(2x-x^{2}-1)\\
&24.\ \log_{x}(5-3x)\\
&25.\ \log_{x+1}(x-3)\\
&\text{Решить уравнение (26—40).}\\
&\text{26.}\log_2 x = 5\\
&\text{27.}\log_3 x = \tfrac{1}{4}\\
&\text{28.}\log_{1/32} x = -0.2\\
&\text{29.}\log_4 (x+5) = 2\\
&\text{30.}\log_2\bigl(x^2-3x-8\bigr) = 1\\
&\text{31.}\log_x 81 = 4\\
&\text{32.}\log_x \tfrac{1}{32} = 5\\
&\text{33.}\log_x \tfrac{1}{8} = -3\\
&\text{34.}\log_x 25 = \tfrac{1}{2}\\
&\text{35.}\log_x 5 = 2\\
&\text{36.}\log_x 3 = -\tfrac{1}{3}\\
&\text{37.}\quad 3^x = 4\\
&\text{38.}\quad 8^{2x-1} = 5\\
&\text{39.}\quad 36^x + 6^x — 42 = 0\\
&\text{40.}\quad 9^x — 4\cdot 3^x = -4\\
&\text{Решить относительно х}\\
&\text{уравнение (41—44).}\\
&\text{41.}\quad 7^{x} = a,\\
&\text{42.}\log_{1/2}x = n,\\
&\text{43.}\log_{a}x = -2,\\
&\text{44.}\log_{\,2a — a^{2} — 1}x = 3.
\end{align*}
Вариант 2
Вы смотрели: Алгебра Алимов Самостоятельная 20. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 10 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.