Алгебра 10 класс УМК Алимов. Дидактические материалы Шабунин Самостоятельная работа № 9 Арифметический корень натуральной степени. Варианты 1 ─ 2. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Самостоятельная 9 В12.
Вернуться к СПИСКУ самостоятельных
Алгебра 10 класс Алимов
Самостоятельная работа № 9
Проверяемая тема: § 4. Арифметический корень натуральной степени.
Вариант 1 (задания)
РЕШЕНИЯ и ОТВЕТЫ на Вариант 1
Вычислить (1—8).
№ 1. 3√125. ОТВЕТ: 5.
№ 2. 4√[0,0001]. ОТВЕТ: 0,1.
№ 3. 5√[–32]. ОТВЕТ: –2.
№ 4. 3√[3 3/8] ОТВЕТ: 1,5.
№ 5. 5√8 • 5√4. ОТВЕТ: 2.
№ 6. 3√[9 • 24]. ОТВЕТ: 6.
№ 7. (3√625) / (3√5). ОТВЕТ: 5.
№ 8. 5√[610 • (1/6)15]. ОТВЕТ: 1/6.
Найти числовое значение выражения (9—12).
№ 9. \(\sqrt[3]{\sqrt{0{,}000001}} \cdot \sqrt{\sqrt{256}}\)
1. Упростим первый множитель: \(\sqrt[3]{\sqrt{0{,}000001}}\)
Представим число в виде степени десятки: \(0,000001 = 10^{─6}\)
Вычислим квадратный корень:
\(\sqrt{10^{-6}} = (10^{-6})^{1/2} = 10^{-3}\)
Теперь возьмём кубический корень:
\(\sqrt[3]{10^{-3}} = (10^{-3})^{1/3} = 10^{-1} = 0,1\)
Итог для первого множителя: 0,1
2. Упростим второй множитель: \(\sqrt{\sqrt{256}}\)
Найдём квадратный корень из 256:
√256 = 16 (так как 16² = 256)
Теперь извлечём квадратный корень из 16:
√16 = 4 (так как 4² = 16)
Итог для второго множителя: 4
3. Перемножим результаты 0,1 • 4 = 0,4
Ответ 0,4.
№ 10. \(\left(\sqrt[4]{3^3} \cdot \sqrt[3]{2^2}\right)^6 : \sqrt[4]{3^6}\)
Решение:
\(\sqrt[4]{3^3} = 3^{3/4}\), \(\sqrt[3]{2^2} = 2^{2/3}\).
Произведение: \(3^{3/4} \cdot 2^{2/3}\).
Возводим в 6-ю степень: \(3^{(3/4)\cdot 6} \cdot 2^{(2/3)\cdot 6} = 3^{9/2} \cdot 2^{4}\).
Делим на \(\sqrt[4]{3^6} = 3^{6/4} = 3^{3/2}\):
\(3^{9/2 — 3/2} \cdot 2^{4} = 3^{6/2} \cdot 16 = 3^{3} \cdot 16 = 27 \cdot 16 = 432\).
Ответ: 432.
№ 11. \(\left(\sqrt[3]{4} — \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25}\right)\left(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}\right)\)
Решение:
Обозначим \(a = \sqrt[3]{2}\), \(b = \sqrt[3]{5}\).
Тогда \(\sqrt[3]{4} = a^2\), \(\sqrt[3]{10} = ab\), \(\sqrt[3]{25} = b^2\).
Выражение: \((a^2 — ab + b^2)(a + b)\).
По формуле \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\) получаем \(a^3 + b^3\).
\(a^3 = 2\), \(b^3 = 5\), сумма \(7\).
Ответ: 7.
№ 12. \(\big(\sqrt[3]{4} — \sqrt[3]{37}\big) \cdot \big(\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{37} + \big(\sqrt[3]{37}\big)^2\big)\)
Ответ: –33.
№ 13. При каких значениях \( x \) имеет смысл выражение
\(\sqrt[3]{x-3}\)
Решение: Корень нечётной степени (3) определён для всех действительных чисел.
Ответ: \( x \in \mathbb{R} \)
№ 14. При каких значениях \( x \) имеет смысл выражение
\(\sqrt[6]{x+2}\)
Решение: Корень чётной степени (6) определён, когда подкоренное выражение неотрицательно:
\(x+2 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x \ge -2\)
Ответ: \( x \in [-2, +\infty) \)
№ 15. При каких значениях \( x \) имеет смысл выражение
\(\sqrt[4]{x^2-3x-4}\)
Решение: Корень чётной степени (4) определён при условии:
\(x^2 — 3x — 4 \ge 0\)
Решаем квадратное уравнение:
\(x^2 — 3x — 4 = 0\)
\(D = 9 + 16 = 25\)
\(x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4\)
Неравенство \( x^2 — 3x — 4 \ge 0 \) выполняется при \( x \le -1 \) или \( x \ge 4 \).
Ответ: \( x \in (-\infty, -1] \cup [4, +\infty) \)
№ 16. При каких значениях \( x \) имеет смысл выражение
\(\sqrt[8]{\frac{x-3}{2-x}}\)
Решение: Корень чётной степени (8) определён, когда подкоренное выражение неотрицательно:
\(\frac{x-3}{2-x} \ge 0\)
Метод интервалов: нули числителя \( x = 3 \), нуль знаменателя \( x = 2 \).
Знаки дроби:
— При \( x < 2 \): числитель \( x-3 < 0 \), знаменатель \( 2-x > 0 \), дробь \( < 0 \).
— При \( 2 < x < 3 \): числитель \( < 0 \), знаменатель \( < 0 \), дробь \( > 0 \).
— При \( x > 3 \): числитель \( > 0 \), знаменатель \( < 0 \), дробь \( < 0 \).
Равенство нулю: \( x = 3 \) — числитель равен 0, знаменатель \( -1 \), дробь = 0 — подходит.
\( x = 2 \) — знаменатель 0 — не входит в ОДЗ.
Итак: \( 2 < x \le 3 \).
Ответ: \( x \in (2, 3] \)
№ 17. Упростить выражение
\(\sqrt[5]{y^3} \cdot \sqrt[4]{y^8}\)
Решение. Перейдём к степеням:
\(y^{3/5} \cdot y^{8/4} = y^{3/5} \cdot y^{2}\)
Складываем показатели:
\(\frac{3}{5} + 2 = \frac{3}{5} + \frac{10}{5} = \frac{13}{5}\)
Ответ: \( y^{13/5} \)
№ 18. Упростить выражение
\(\sqrt[4]{y^2 \sqrt[3]{y^6}}\)
Решение. Сначала внутренний корень:
\(\sqrt[3]{y^6} = y^{6/3} = y^2\)
Подставляем:
\(\sqrt[4]{y^2 \cdot y^2} = \sqrt[4]{y^4} = y^{4/4} = y^1\)
Ответ: y.
№ 19. Упростить выражение
\(\sqrt[5]{(2+x)^5}\)
Решение. По свойству корня:
\(\sqrt[n]{a^n} = |a| \quad\text{при чётном } n, \quad = a \quad\text{при нечётном } n\)
Здесь \( n = 5 \) (нечётное), значит:
\(\sqrt[5]{(2+x)^5} = 2+x\)
Ответ: 2 + x.
№ 20. Упростить выражение
\(\sqrt[4]{(x-5)^4}\)
Решение. Корень чётной степени:
\(\sqrt[4]{(x-5)^4} = |x-5|\)
Ответ: |x – 5|.
№ 21. Упростить выражение при заданных значениях х
\(\sqrt[9]{(8-x)^9}\), \(x > 8\)
Решение: Корень нечётной степени равен самому выражению:
\(\sqrt[9]{(8-x)^9} = 8 — x\).
При \(x > 8\) величина \(8 — x < 0\), но корень нечётной степени определён для отрицательных чисел и даёт отрицательное число.
Ответ: 8 – x.
№ 22. Упростить выражение при заданных значениях х
\(\sqrt[4]{(2x+5)^4}\), \(x < -2{,}5\)
Решение:
Корень чётной степени: \(\sqrt[4]{a^4} = |a|\).
Здесь \(a = 2x + 5\).
При \(x < -2{,}5\): \(2x + 5 < 0\), значит \(|2x+5| = -(2x+5) = -2x — 5\).
Ответ: –2x – 5.
№ 23. Упростить выражение при заданных значениях х
\(\sqrt{(x-3)^2} + \sqrt[4]{(4+x)^4}\), \(x > 4\)
Решение:
\(\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|\), при \(x > 4\) имеем \(x-3 > 0\), значит \(|x-3| = x-3\).
\(\sqrt[4]{(4+x)^4} = |4+x|\), при \(x > 4\) имеем \(4+x > 0\), значит \(|4+x| = x+4\).
Сумма: \((x-3) + (x+4) = 2x + 1\).
Ответ: 2x + 1.
№ 24. Упростить выражение при заданных значениях х
\(\sqrt[4]{(3x+5)^4} — \sqrt[6]{(2x-7)^6}\), \(-1 \le x \le 0\)
Решение:
\(\sqrt[4]{(3x+5)^4} = |3x+5|\).
При \(-1 \le x \le 0\): \(3x+5 \in [2, 5]\), положительно, значит \(|3x+5| = 3x+5\).
\(\sqrt[6]{(2x-7)^6} = |2x-7|\) (корень чётной степени? Нет, корень 6-й степени — чётный, поэтому модуль).
При \(-1 \le x \le 0\): \(2x-7 \in [-9, -7]\), отрицательно, значит \(|2x-7| = -(2x-7) = -2x+7\).
Разность: \((3x+5) — (-2x+7) = 3x+5+2x-7 = 5x — 2\).
Ответ: 5x – 2.
№ 25. Верно ли \(\sqrt[4]{a^2} = \sqrt{a}\), если \(a < 0\)?
Решение:
\(\sqrt[4]{a^2} = |a|^{1/2}\).
При \(a < 0\): \(|a|^{1/2} = (-a)^{1/2}\) — это \(\sqrt{-a}\).
Правая часть \(\sqrt{a}\) не определена при \(a < 0\) в вещественных числах.
Равенство неверно. Ответ: нет.
№ 26. Верно ли \(\sqrt[6]{a^3} = \sqrt{a}\), если \(a \ge 0\)?
Решение:
\(\sqrt[6]{a^3} = a^{3/6} = a^{1/2} = \sqrt{a}\) при \(a \ge 0\).
Равенство верно. Ответ: да
№ 27. Верно ли \(\sqrt[4]{(x-1)^2} = \sqrt{1-x}\), если \(x < 1\)?
Решение:
Левая часть: \(\sqrt[4]{(x-1)^2} = |x-1|^{1/2}\).
При \(x < 1\): \(|x-1| = 1-x\), значит левая часть \(= \sqrt{1-x}\).
Правая часть: \(\sqrt{1-x}\).
Равенство верно. Ответ: да.
№ 28. Верно ли \(\sqrt[6]{(2-x)^2} = \sqrt[3]{2-x}\), если \(x > 2\)?
Решение:
Левая часть: \(\sqrt[6]{(2-x)^2} = |2-x|^{1/3}\).
При \(x > 2\): \(2-x < 0\), значит \(|2-x| = x-2\), тогда левая часть \(= (x-2)^{1/3}\).
Правая часть: \(\sqrt[3]{2-x} = -(x-2)^{1/3}\).
Равенство неверно (знаки разные).
Ответ: нет.
№ 29. Сократить дробь, если а > 0, а ≠ 1
\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}}\)
Решение:
\(\sqrt{a} = a^{1/2}, \quad \sqrt[4]{a} = a^{1/4}\)
\(\frac{a^{1/2}}{a^{1/4}} = a^{1/2 — 1/4} = a^{1/4} = \sqrt[4]{a}\)
Ответ: \(\sqrt[4]{a}\).
№ 30. Сократить дробь, если а > 0, а ≠ 1
\(\frac{\sqrt[3]{a} — \sqrt[6]{a}}{\sqrt[6]{a}}\)
Решение:
\(\sqrt[3]{a} = a^{1/3}, \quad \sqrt[6]{a} = a^{1/6}\)
\(\frac{a^{1/3} — a^{1/6}}{a^{1/6}} = \frac{a^{1/6}(a^{1/6} — 1)}{a^{1/6}} = a^{1/6} — 1\)
Ответ: \(a^{1/6} — 1\).
№ 31. Сократить дробь, если а > 0, а ≠ 1
\(\frac{\sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a} — 1}\)
Решение:
\(\sqrt[4]{a} = a^{1/4}, \quad \sqrt{a} = a^{1/2}\)
\(\sqrt{a} — 1 = (a^{1/4})^2 — 1 = (a^{1/4} — 1)(a^{1/4} + 1)\)
\(\frac{a^{1/4} + 1}{(a^{1/4} — 1)(a^{1/4} + 1)} = \frac{1}{a^{1/4} — 1}\)
Ответ: \(\frac{1}{\sqrt[4]{a} — 1}\)
№ 32. Сократить дробь, если а > 0, а ≠ 1
\(\frac{1 — \sqrt[3]{a}}{\sqrt[6]{a} — 1}\)
Решение:
\(\sqrt[3]{a} = a^{1/3} = (a^{1/6})^2, \quad \sqrt[6]{a} = a^{1/6}\)
\(1 — a^{1/3} = 1 — (a^{1/6})^2 = (1 — a^{1/6})(1 + a^{1/6})\)
\(\frac{(1 — a^{1/6})(1 + a^{1/6})}{a^{1/6} — 1} = -\frac{(a^{1/6} — 1)(1 + a^{1/6})}{a^{1/6} — 1} = -(1 + a^{1/6})\)
Ответ: \(-1 — \sqrt[6]{a}\)
№ 33. Сократить дробь, если а > 0, а ≠ 1
\(\frac{\sqrt{a} — 1}{\sqrt[6]{a} — 1}\)
Решение:
\(\sqrt{a} = a^{1/2} = (a^{1/6})^3, \quad \sqrt[6]{a} = a^{1/6}\)
\(a^{1/2} — 1 = (a^{1/6})^3 — 1 = (a^{1/6} — 1)(a^{1/3} + a^{1/6} + 1)\)
\(\frac{(a^{1/6} — 1)(a^{1/3} + a^{1/6} + 1)}{a^{1/6} — 1} = a^{1/3} + a^{1/6} + 1\)
Ответ: \(\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{a} + 1\).
№ 34. Сократить дробь, если а > 0, а ≠ 1
\(\frac{\sqrt[3]{a} — \sqrt[6]{a} + 1}{\sqrt{a} + 1}\)
Решение:
\(\sqrt[3]{a} = a^{1/3} = (a^{1/6})^2, \quad \sqrt{a} = a^{1/2} = (a^{1/6})^3\)
\(a^{1/2} + 1 = (a^{1/6})^3 + 1 = (a^{1/6} + 1)(a^{1/3} — a^{1/6} + 1)\)
\(\frac{a^{1/3} — a^{1/6} + 1}{(a^{1/6} + 1)(a^{1/3} — a^{1/6} + 1)} = \frac{1}{a^{1/6} + 1}\)
Ответ: \(\frac{1}{\sqrt[6]{a} + 1}\)
№ 35. Найти сумму или разность (а > 0, b > 0, а ≠ b)
\(\frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}}\)
Решение:
\(\frac{a^{1/4}}{a^{1/2}} + \frac{a^{1/2}}{a^{1/4}} = a^{-1/4} + a^{1/4}\)
Ответ: \(a^{-1/4} + a^{1/4}\)
№ 36. Найти сумму или разность (а > 0, b > 0, а ≠ b)
\(\frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a}} + \frac{1 — \sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{a}}\)
Решение:
\(\frac{a^{1/4}}{a^{1/2}} + \frac{1 — a^{1/4}}{a^{1/4}} = a^{-1/4} + a^{-1/4} — 1 = 2a^{-1/4} — 1\)
Ответ: \(2a^{-1/4} — 1\).
№ 37. Найти сумму или разность (а > 0, b > 0, а ≠ b)
\(\frac{\sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} — \frac{a}{\sqrt{a} — \sqrt{b}}\)
Ответ: \(\frac{- a^{3/4}b^{1/4}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}}\).
№ 38. Выполнить деление (а > 0, b > 0, а ≠ b, а ≠ 2b):
\(
\frac{\sqrt[6]{ab} — \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} : \frac{\sqrt[6]{ab}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}
\)
Решение. 1. Замена:
\(
x = \sqrt[6]{a}, \quad y = \sqrt[6]{b} \quad \Rightarrow \quad \sqrt[3]{a} = x^2, \quad \sqrt[3]{b} = y^2, \quad \sqrt[6]{ab} = xy.
\)
2. Исходное выражение:
\(
\frac{xy — y^2}{x^2 — y^2} : \frac{xy}{x + y}.
\)
3. Упростим первую дробь:
\(
\frac{y(x — y)}{(x — y)(x + y)} = \frac{y}{x + y}.
\)
4. Деление на вторую дробь:
\(
\frac{y}{x + y} \cdot \frac{x + y}{xy} = \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt[6]{a}}.
\)
Ответ: \(
\frac{1}{\sqrt[6]{a}}
\)
№ 39. Выполнить деление (а > 0, b > 0, а ≠ b, а ≠ 2b)
\(
\left( \sqrt[3]{4a^2} — \sqrt[3]{9b^2} \right) : \left( \sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{3b} \right)
\)
Решение: 1. Замена:
\(
u = \sqrt[3]{2a}, \quad v = \sqrt[3]{3b} \quad \Rightarrow \quad \sqrt[3]{4a^2} = u^2, \quad \sqrt[3]{9b^2} = v^2.
\)
2. Исходное выражение:
\(
\frac{u^2 — v^2}{u + v} = u — v.
\)
3. Обратная замена:
\(
u — v = \sqrt[3]{2a} — \sqrt[3]{3b}.
\)
Ответ: \(\sqrt[3]{2a} — \sqrt[3]{3b}\)
№ 40. Выполнить деление (а > 0, b > 0, а ≠ b, а ≠ 2b)
\(
\left( \sqrt[3]{a^2b} — \sqrt[3]{16ab^2} + \sqrt[3]{4b^3} \right) : \left( \sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{2b} \right)
\)
Ответ: \(\sqrt[3]{ab} — \sqrt[3]{2b^{2}}\).
№ 41. Доказать тождество:
\(\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 — b}}{2}} + \sqrt{\frac{a — \sqrt{a^2 — b}}{2}}, \quad a>0, b>0, a^2 — b > 0.
\)
Решение:
1. Обозначим
\(
X = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 — b}}{2}}, \quad Y = \sqrt{\frac{a — \sqrt{a^2 — b}}{2}}.
\)
2. Тогда
\(
X^2 + Y^2 = \frac{a + \sqrt{a^2 — b} + a — \sqrt{a^2 — b}}{2} = a,
\)
\(
X^2 Y^2 = \frac{(a + \sqrt{a^2 — b})(a — \sqrt{a^2 — b})}{4} = \frac{a^2 — (a^2 — b)}{4} = \frac{b}{4}.
\)
Так как \(X, Y > 0\), то \(XY = \frac{\sqrt{b}}{2}\).
3.
\(
(X + Y)^2 = X^2 + Y^2 + 2XY = a + \sqrt{b}.
\)
Ответ: Тождество доказано.
№ 42. Избавиться от иррациональности в знаменателе:
\(
\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}
\)
Решение:
1. Умножим числитель и знаменатель на \((\sqrt{2} + \sqrt{3}) — \sqrt{5}\):
\(
\frac{3\sqrt{3} \left( (\sqrt{2} + \sqrt{3}) — \sqrt{5} \right)}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 — 5}.
\)
2. Знаменатель:
\(
(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 — 5 = 2 + 3 + 2\sqrt{6} — 5 = 2\sqrt{6}.
\)
3. Получаем:
\(
\frac{3\sqrt{3} (\sqrt{2} + \sqrt{3} — \sqrt{5})}{2\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} (\sqrt{2} + \sqrt{3} — \sqrt{5}).
\)
4. \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\), значит:
\(
\frac{3}{2\sqrt{2}} (\sqrt{2} + \sqrt{3} — \sqrt{5}) = \frac{3}{2} \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} — \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \right).
\)
Можно оставить так или домножить на \(\sqrt{2}\):
\(
= \frac{3}{2\sqrt{2}} (\sqrt{2} + \sqrt{3} — \sqrt{5}).
\)
Ответ: \(
\frac{3(\sqrt{2} + \sqrt{3} — \sqrt{5})}{2\sqrt{2}}
\).
Вариант 2
Вы смотрели: Алгебра Алимов Самостоятельная 9 В12. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 10 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.