Частная школа 10 класс

Читать онлайн фрагменты: Учебник по алгебре УМК Алимов, Колягин 10 класс Упражнения №№ 13 — 19 (задания, решения, ответы). Цитаты из пособия 2022 года использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения, а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения. Код материалов: Алгебра Алимов Упражнения 13-19.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.

Алгебра (УМК Алимов)
Учебник. Упражнения 13-19

№ 13. Выяснить, является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой n-го члена:
1) b_n = ─5^{2n}; 2) b_n = 2^{3n}.

№ 14. Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если:
1) b₄ = 88, q = 2; 2) b₁ = 11, b₄ = 88.

№ 15. Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей:
1) 1, 1/5, 1/25, … ; 2) 1/3, 1/9, 1/27, … ;
3) ─27, ─9, ─3, … ; 4) ─64, ─32, ─16, … .

№ 16. Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если:
1) b₁ = 40, b₂ = ─20;   2) b₇ = 12, b₁₁ = 3/4;
3) b₇ = ─30, b₆ = 15;   4) b₅ = 9, b₁₀ = ─1/27.

№ 17. Вычислить:
1) lim_{n → ∞} (1/4^n);  2) lim_{n → ∞} (0,2)^n;
3) lim_{n → ∞} (1 + (1/7^n));   4) lim_{n → ∞} ((3/5)^n ─ 2).

№ 18. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:
1) q = ─1/2, b₁ = 1/8;  2) q = 1/3, b₅ = 1/81;
3) q = ─1/3, b₁ = 9;  4) q = ─1/2, b₄ = 1/8.

№ 19. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
1) 6, 1, 1/6, … ; 2) ─25, ─5, ─1, … .

---

Упражнение № 13.

[latex]

№ 13. Является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой n-го члена?
1) \( b_n = -5^{2n} \)
Решение. Преобразуем выражение:
\( b_n = — (5^2)^n = -25^n \).
Последовательность имеет вид: \( b_1 = -25 \), \( b_2 = -625 \), \( b_3 = -15625 \), …
Проверим отношение соседних членов:
\( \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{-25^{n+1}}{-25^n} = 25 \).
Отношение постоянно ⇒ это геометрическая прогрессия.
Ответ: Да, является (знаменатель \( q = 25 \)).
2) \( b_n = 2^{3n} \)
Решение. Преобразуем:
\( b_n = (2^3)^n = 8^n \).
Последовательность: \( b_1 = 8 \), \( b_2 = 64 \), \( b_3 = 512 \), …
Отношение:
\( \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{8^{n+1}}{8^n} = 8 \).
Отношение постоянно ⇒ это геометрическая прогрессия.
Ответ: Да, является (знаменатель \( q = 8 \)).

Упражнение № 14.

№ 14. Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии
1) \( b_4 = 88 \), \( q = 2 \)
Решение:
Найдем \( b_1 \):
\( b_4 = b_1 \cdot q^3 \Rightarrow 88 = b_1 \cdot 8 \Rightarrow b_1 = 11 \).
Сумма первых пяти членов:
\( S_5 = b_1 \cdot \frac{q^5 — 1}{q — 1} = 11 \cdot \frac{32 — 1}{1} = 11 \cdot 31 = 341 \).
Ответ: \( S_5 = 341 \).
2) \( b_1 = 11 \), \( b_4 = 88 \)
Решение:
Найдем \( q \):
\( b_4 = b_1 \cdot q^3 \Rightarrow 88 = 11 \cdot q^3 \Rightarrow q^3 = 8 \Rightarrow q = 2 \).
Сумма первых пяти членов:
\( S_5 = 11 \cdot \frac{2^5 — 1}{2 — 1} = 11 \cdot 31 = 341 \).
Ответ: \( S_5 = 341 \).

Упражнение № 15.

№ 15. Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей
1) \( 1, \frac{1}{5}, \frac{1}{25}, \dots \)
Решение:
Знаменатель \( q = \frac{1/5}{1} = \frac{1}{5} \).
Так как \( |q| = \frac{1}{5} < 1 \), прогрессия бесконечно убывающая.
Ответ: Да, является.
2) \( \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \dots \)
Решение:
Знаменатель \( q = \frac{1/9}{1/3} = \frac{1}{3} \).
Так как \( |q| = \frac{1}{3} < 1 \), прогрессия бесконечно убывающая.
Ответ: Да, является.
3) \( -27, -9, -3, \dots \)
Решение:
Знаменатель \( q = \frac{-9}{-27} = \frac{1}{3} \).
Так как \( |q| = \frac{1}{3} < 1 \), прогрессия бесконечно убывающая.
Ответ: Да, является.
4) \( -64, -32, -16, \dots \)
Решение:
Знаменатель \( q = \frac{-32}{-64} = \frac{1}{2} \).
Так как \( |q| = \frac{1}{2} < 1 \), прогрессия бесконечно убывающая.
Ответ: Да, является.

Упражнение № 16.

№ 16. Является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей?
1) \( b_1 = 40 \), \( b_2 = -20 \)
Решение:
Знаменатель \( q = \frac{-20}{40} = -0,5 \).
Так как \( |q| = 0,5 < 1 \), прогрессия бесконечно убывающая.
Ответ: Да, является.
2) \( b_7 = 12 \), \( b_{11} = \frac{3}{4} \)
Решение. Найдем знаменатель:
\( b_{11} = b_7 \cdot q^4 \Rightarrow \frac{3}{4} = 12 \cdot q^4 \Rightarrow q^4 = \frac{1}{16} \Rightarrow q = \pm \frac{1}{2} \).
Так как \( |q| < 1 \), прогрессия бесконечно убывающая.
Ответ: Да, является.
3) \( b_7 = -30 \), \( b_6 = 15 \)
Решение:
Знаменатель \( q = \frac{-30}{15} = -2 \).
Так как \( |q| = 2 > 1 \), прогрессия не является бесконечно убывающей.
Ответ: Нет, не является.
4) \( b_5 = 9 \), \( b_{10} = -\frac{1}{27} \)
Решение. Найдем знаменатель:
\( b_{10} = b_5 \cdot q^5 \Rightarrow -\frac{1}{27} = 9 \cdot q^5 \Rightarrow q^5 = -\frac{1}{243} \Rightarrow q = -\frac{1}{3} \).
Так как \( |q| = \frac{1}{3} < 1 \), прогрессия бесконечно убывающая.
Ответ: Да, является.

Упражнение № 17.

№ 17. Вычислить пределы
1) \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4^n} \)
Решение:
Так как \( 4 > 1 \), \( 4^n \to \infty \) при \( n \to \infty \), значит, \( \frac{1}{4^n} \to 0 \).
Ответ: \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4^n} = 0 \).
2) \( \lim_{n \to \infty} (0,2)^n \)
Решение:
Так как \( 0,2 < 1 \), \( (0,2)^n \to 0 \) при \( n \to \infty \).
Ответ: \( \lim_{n \to \infty} (0,2)^n = 0 \).
3) \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{7^n}\right) \)
Решение:
\( \frac{1}{7^n} \to 0 \), поэтому \( 1 + 0 = 1 \).
Ответ: \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{7^n}\right) = 1 \).
4) \( \lim_{n \to \infty} \left(\left(\frac{3}{5}\right)^n — 2\right) \)
Решение:
\( \left(\frac{3}{5}\right)^n \to 0 \), поэтому \( 0 — 2 = -2 \).
Ответ: \( \lim_{n \to \infty} \left(\left(\frac{3}{5}\right)^n — 2\right) = -2 \).

Упражнение № 18.

№ 18. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии
1) \( q = -\frac{1}{2} \), \( b_1 = \frac{1}{8} \)
Решение:
Формула суммы: \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\frac{1}{8}}{1 — (-\frac{1}{2})} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{12} \).
Ответ: \( S = \frac{1}{12} \).
2) \( q = \frac{1}{3} \), \( b_5 = \frac{1}{81} \)
Решение. Найдем \( b_1 \):
\( b_5 = b_1 \cdot q^4 \Rightarrow \frac{1}{81} = b_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 \Rightarrow b_1 = \frac{1}{81} \cdot 81 = 1 \).
Сумма: \( S = \frac{1}{1 — \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} \).
Ответ: \( S = \frac{3}{2} \).
3) \( q = -\frac{1}{3} \), \( b_1 = 9 \)
Решение:
Сумма: \( S = \frac{9}{1 — (-\frac{1}{3})} = \frac{9}{\frac{4}{3}} = \frac{27}{4} \).
Ответ: \( S = \frac{27}{4} \).
4) \( q = -\frac{1}{2} \), \( b_4 = \frac{1}{8} \)
Решение. Найдем \( b_1 \):
\( b_4 = b_1 \cdot q^3 \Rightarrow \frac{1}{8} = b_1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3 \Rightarrow b_1 = \frac{1}{8} \cdot (-8) = -1 \).
Сумма: \( S = \frac{-1}{1 — (-\frac{1}{2})} = \frac{-1}{\frac{3}{2}} = -\frac{2}{3} \).
Ответ: \( S = -\frac{2}{3} \).

Упражнение № 19.

№ 19. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии
1) \( 6, 1, \frac{1}{6}, \dots \)
Решение. Знаменатель \( q = \frac{1}{6} \).
Сумма: \( S = \frac{6}{1 — \frac{1}{6}} = \frac{6}{\frac{5}{6}} = \frac{36}{5} \).
Ответ: \( S = \frac{36}{5} \).
2) \( -25, -5, -1, \dots \)
Решение. Знаменатель \( q = \frac{-5}{-25} = \frac{1}{5} \).
Сумма: \( S = \frac{-25}{1 — \frac{1}{5}} = \frac{-25}{\frac{4}{5}} = -\frac{125}{4} \).
Ответ: \( S = -\frac{125}{4} \).

 

---

Вы смотрели: Учебник по алгебре УМК Алимов, Колягин 10 класс. Цитаты из пособия 2022 года использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Алгебра Алимов Упражнения 13-19.

Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.