Частная школа 10 класс

Читать онлайн фрагменты: Учебник по алгебре УМК Алимов, Колягин 10 класс Упражнения №№ 20 — 26 (задания, решения, ответы). Цитаты из пособия 2022 года использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения, а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения. Код материалов: Алгебра Алимов Упражнения 20-26.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.

Алгебра (УМК Алимов)
Учебник. Упражнения 20-26

№ 20. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби:
1) 0,(5); 2) 0,(8); 3) 0,(32); 4) 0,2(5).

№ 21. Выяснить, является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой n-го члена:
1) b_n = 3 • (─2)^n;
2) b_n = ─5 • 4^n;
3) b_n = 8 • (─1/3)^{n─1};
4) b_n = 3 • (─1/2)^{n─1}.

№ 22. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:
1) q = 1/2, b₅ = √2/16; 2) q = √3/2, b₄ = 9/8.

№ 23. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 30. Найти:
1) b₁, если q = 1/5;   2) q, если b₁ = 20.

№ 24. Вычислить:
1) lim_{n → ∞} (3 ─ 2^n/2^n);
2) lim_{n → ∞} (3^{n+2} + 2/3^n);
3) lim_{n → ∞} ((5^n + 1)^2/5^{2n}).

№ 25. На куб со стороной а поставили куб со стороной а/2, на него куб со стороной а/4, затем куб со стороной а/8 и т. д. (рис. 5, а). Найти высоту получившейся фигуры.

№ 26. В угол, равный 60°, последовательно вписаны окружности, касающиеся друг друга (рис. 5, б). Радиус первой окружности равен R₁. Найти радиусы R₂, R₃, …, R_n, … остальных окружностей и показать, что они образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Доказать, что сумма R₁ + 2 (R₂ + R₃ + … + Rn + …) равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла.

---

Упражнение № 20.

[latex]

№ 20. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби:
1) 0,(5)
Решение: Обозначим \( x = 0,(5) \).
Умножим обе части на 10: \( 10x = 5,(5) \).
Вычтем исходное уравнение:
\( 10x — x = 5,(5) — 0,(5) \)
\( 9x = 5 \)
\( x = \frac{5}{9} \).
Ответ: \( 0,(5) = \frac{5}{9} \).
2) 0,(8)
Решение: Обозначим \( x = 0,(8) \).
Умножим на 10: \( 10x = 8,(8) \).
Вычтем исходное:
\( 10x — x = 8,(8) — 0,(8) \)
\( 9x = 8 \)
\( x = \frac{8}{9} \).
Ответ: \( 0,(8) = \frac{8}{9} \).
3) 0,(32)
Решение: Обозначим \( x = 0,(32) \).
Умножим на 100: \( 100x = 32,(32) \).
Вычтем исходное:
\( 100x — x = 32,(32) — 0,(32) \)
\( 99x = 32 \)
\( x = \frac{32}{99} \).
Ответ: \( 0,(32) = \frac{32}{99} \).
4) 0,2(5)
Решение: Обозначим \( x = 0,2(5) \).
Умножим на 10: \( 10x = 2,555… \).
Умножим на 100: \( 100x = 25,555… \).
Вычтем первое уравнение:
\( 100x — 10x = 25,555… — 2,555… \)
\( 90x = 23 \)
\( x = \frac{23}{90} \).
Ответ: \( 0,2(5) = \frac{23}{90} \).

Упражнение № 21.

№ 21. Выяснить, является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией:
1) \( b_n = 3 \cdot (-2)^n \)
Решение. Последовательность имеет вид:
\( b_1 = 3 \cdot (-2)^1 = -6 \),
\( b_2 = 3 \cdot (-2)^2 = 12 \),
\( b_3 = 3 \cdot (-2)^3 = -24 \), …
Знаменатель \( q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = -2 \).
Так как \( |q| = 2 > 1 \), прогрессия не является бесконечно убывающей.
Ответ: Нет, \( |q| = 2 > 1 \).
2) \( b_n = -5 \cdot 4^n \)
Решение. Последовательность:
\( b_1 = -5 \cdot 4^1 = -20 \),
\( b_2 = -5 \cdot 4^2 = -80 \), …
Знаменатель \( q = 4 \).
Так как \( |q| = 4 > 1 \), прогрессия не является бесконечно убывающей.
Ответ: Нет, \( |q| = 4 > 1 \).
3) \( b_n = 8 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} \)
Решение. Последовательность:
\( b_1 = 8 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^0 = 8 \),
\( b_2 = 8 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^1 = -\frac{8}{3} \), …
Знаменатель \( q = -\frac{1}{3} \).
Так как \( |q| = \frac{1}{3} < 1 \), прогрессия является бесконечно убывающей.
Ответ: Да, \( |q| = \frac{1}{3} < 1 \).
4) \( b_n = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \)
Решение. Последовательность:
\( b_1 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^0 = 3 \),
\( b_2 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^1 = -\frac{3}{2} \), …
Знаменатель \( q = -\frac{1}{2} \).
Так как \( |q| = \frac{1}{2} < 1 \), прогрессия является бесконечно убывающей.
Ответ: Да, \( |q| = \frac{1}{2} < 1 \).

Упражнение № 22.

№ 22. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
1) \( q = \frac{1}{2} \), \( b_5 = \frac{\sqrt{2}}{16} \)
Решение. Формула \( n \)-го члена:
\( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \).
Подставляем \( n = 5 \):
\( \frac{\sqrt{2}}{16} = b_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \)
\( \frac{\sqrt{2}}{16} = b_1 \cdot \frac{1}{16} \)
\( b_1 = \sqrt{2} \).
Сумма бесконечно убывающей прогрессии:
\( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\sqrt{2}}{1 — \frac{1}{2}} = 2\sqrt{2} \).
Ответ: \( S = 2\sqrt{2} \).
2) \( q = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( b_4 = \frac{9}{8} \)
Решение. Формула \( n \)-го члена:
\( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \).
Подставляем \( n = 4 \):
\( \frac{9}{8} = b_1 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 \)
\( \frac{9}{8} = b_1 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8} \)
\( b_1 = \frac{9}{8} \cdot \frac{8}{3\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \).
Сумма прогрессии:
\( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\sqrt{3}}{1 — \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{2 — \sqrt{3}} \).
Рационализируем знаменатель:
\( S = \frac{2\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{(2 — \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{4\sqrt{3} + 6}{4 — 3} = 6 + 4\sqrt{3} \).
Ответ: \( S = 6 + 4\sqrt{3} \).

Упражнение № 23.

№ 23. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 30:
1) Найти \( b_1 \), если \( q = \frac{1}{5} \)
Решение. Формула суммы:
\( S = \frac{b_1}{1 — q} \).
Подставляем \( S = 30 \), \( q = \frac{1}{5} \):
\( 30 = \frac{b_1}{1 — \frac{1}{5}} \)
\( 30 = \frac{b_1}{\frac{4}{5}} \)
\( b_1 = 30 \cdot \frac{4}{5} = 24 \).
Ответ: \( b_1 = 24 \).
2) Найти \( q \), если \( b_1 = 20 \)
Решение. Формула суммы:
\( S = \frac{b_1}{1 — q} \).
Подставляем \( S = 30 \), \( b_1 = 20 \):
\( 30 = \frac{20}{1 — q} \)
\( 1 — q = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \)
\( q = \frac{1}{3} \).
Ответ: \( q = \frac{1}{3} \).

Упражнение № 24.

№ 24. Вычислить пределы:
1) \( \lim_{n \to \infty} \left(3 — \frac{2^n}{2^n}\right) \)
Решение:
\( \frac{2^n}{2^n} = 1 \), поэтому:
\( \lim_{n \to \infty} (3 — 1) = 2 \).
Ответ: \( \lim_{n \to \infty} \left(3 — \frac{2^n}{2^n}\right) = 2 \).
2) \( \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+2} + 2}{3^n} \)
Решение:
Разделим числитель и знаменатель на \( 3^n \):
\( \frac{3^{n+2}}{3^n} + \frac{2}{3^n} = 9 + 0 = 9 \).
Ответ: \( \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+2} + 2}{3^n} = 9 \).
3) \( \lim_{n \to \infty} \frac{(5^n + 1)^2}{5^{2n}} \)
Решение:
Раскроем квадрат:
\( \frac{5^{2n} + 2 \cdot 5^n + 1}{5^{2n}} = 1 + \frac{2}{5^n} + \frac{1}{5^{2n}} \).
При \( n \to \infty \) второе и третье слагаемые стремятся к 0.
Ответ: \( \lim_{n \to \infty} \frac{(5^n + 1)^2}{5^{2n}} = 1 \).

Упражнение № 25.

№ 25. Найти высоту получившейся фигуры (кубы со сторонами \( a, \frac{a}{2}, \frac{a}{4}, \dots \)):
Решение. Высота равна сумме сторон кубов:
\( H = a + \frac{a}{2} + \frac{a}{4} + \dots \).
Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с \( b_1 = a \), \( q = \frac{1}{2} \).
Сумма: \( S = \frac{a}{1 — \frac{1}{2}} = 2a \).
Ответ: Высота фигуры равна \( 2a \).

Упражнение № 26.

№ 26. Радиусы окружностей в угле 60°:
Решение.
1) Радиусы окружностей:
Пусть \( R_1 \) — радиус первой окружности.
Для угла \( \alpha = 60° \) радиусы образуют геометрическую прогрессию:
\( R_{n+1} = R_n \cdot k \), где \( k = \frac{1}{3} \).
2) Сумма расстояний:
Сумма радиусов:
\( R_1 + 2(R_2 + R_3 + \dots) = R_1 + 2 \cdot \frac{R_2}{1 — k} = R_1 + 2 \cdot \frac{R_1/3}{2/3} = R_1 + R_1 = 2R_1 \).
Это равно расстоянию от центра первой окружности до вершины угла (так как \( \sin 30° = \frac{R_1}{d} \), \( d = 2R_1 \)).
Ответ:
1) Радиусы образуют прогрессию: \( R_n = R_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \).
2) Сумма \( R_1 + 2(R_2 + R_3 + \dots) = 2R_1 \).

[/latex]

---

Вы смотрели: Учебник по алгебре УМК Алимов, Колягин 10 класс. Цитаты из пособия 2022 года использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Алгебра Алимов Упражнения 20-26.

Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.