Читать онлайн фрагменты: Учебник по алгебре УМК Алимов, Колягин 10 класс Страница 22 Упражнения №№ 37 — 46 (задания, решения, ответы). Цитаты из пособия 2022 года использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения, а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения. Код материалов: Алгебра Алимов Упражнения 37-46.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.
Алгебра (УМК Алимов)
Страница 22. Упражнения 37-46
№ 37. Извлечь корень:
1) √[3]{64 x^{3} z^{6}}; 2) √[4]{a^{8} b^{12}}; 3) √[5]{32 x^{10} y^{20}}; 4) √[6]{a^{12} b^{18}}.
№ 38. Упростить выражение:
1) √[3]{2 a b^{2}} • √[3]{4 a^{2} b}; 2) √[4]{3 a^{2} b^{3}} • √[4]{27 a^{2} b}; 3) √[4]{{a b/c}} • √[4]{{a^{3} c/b}}; 4) √[3]{{16 a/b^{2}}} • √[3]{{1/2 a b}}.
№ 39. Вычислить:
1) √[3]{{64/125}}; 2) √[4]{{16/81}}; 3) √[3]{3 {3/8}}; 4) √[5]{7 {19/32}}.
№ 40. Вычислить:
1) √[4]{324} : √[4]{4}; 2) √[3]{128} : √[3]{2000}; 3) {√[3]{16}/√[3]{2}}; 4) {√[5]{256}/√[5]{8}}; 5) (√{25} ─ √{45}) : √5; 6) (√[3]{625} ─ √[3]{5}) : √[3]{5}.
№ 41. Упростить выражение:
1) √[5]{a^{6} b^{7}} : √[5]{a b^{2}}; 2) √[3]{81 x^{4} y} : √[3]{3 x y}; 3) √[3]{{3x/y^{2}}} : √[3]{{y/9 x^{2}}}; 4) √[4]{{2 b/a^{3}}} • √[4]{{a/8 b^{3}}}.
№ 42. Вычислить:
1) (√[6]{7^3})^2; 2) (√[6]{9})^{─3};
3) (√[10]{32})^2; 4) (√[8]{16})^{─4}.
№ 43. Вычислить:
1) √{ √[3]{729} }; 2) √[5]{ √{1024} };
3) √[3]{ √[3]{9} } • √[9]{3^7};
4) √[4]{ √[3]{25} } • √[6]{5^5}.
№ 44. Упростить выражение:
1) (√[3]{x})^6; 2) (√[3]{y^2})^3;
3) (√a • √[3]{b})^6; 4) (√[3]{a^2} • √[4]{b^3})^12;
5) (√[3]{ √{a^2 • b} })^6; 6) (√[3]{ √[4]{27 • a^3} })^4.
№ 45. При каких значениях x имеет смысл выражение:
1) √[6]{2x ─ 3}; 2) √[6]{x + 3};
3) √[6]{2x^2 ─ x ─ 1}; 4) √[4]{ (2 ─ 3x)/(2x ─ 4) }?
№ 46. Вычислить:
1) √{9 + √17} • √{9 ─ √17};
2) (√{3 + √5} ─ √{3 ─ √5})^2;
3) (√{5 + √21} + √{5 ─ √21})^2.
Упражнение № 37. Решение
[latex]№ 37. Извлечь корень:
1) Задание: \( \sqrt[3]{64 x^{3} z^{6}} \)
Решение:
\( 64 = 4^3 \), \( x^3 = (x)^3 \), \( z^6 = (z^2)^3 \).
Корень третьей степени из произведения равен произведению корней:
\( \sqrt[3]{64 x^{3} z^{6}} = \sqrt[3]{4^3} \cdot \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{(z^2)^3} = 4 x z^2 \).
Ответ: \( \sqrt[3]{64 x^{3} z^{6}} = 4 x z^2 \).
2) Задание: \( \sqrt[4]{a^{8} b^{12}} \)
Решение:
\( a^8 = (a^2)^4 \), \( b^{12} = (b^3)^4 \).
Корень четвёртой степени из произведения:
\( \sqrt[4]{a^{8} b^{12}} = \sqrt[4]{(a^2)^4} \cdot \sqrt[4]{(b^3)^4} = a^2 b^3 \).
Ответ: \( \sqrt[4]{a^{8} b^{12}} = a^2 b^3 \).
3) Задание: \( \sqrt[5]{32 x^{10} y^{20}} \)
Решение:
\( 32 = 2^5 \), \( x^{10} = (x^2)^5 \), \( y^{20} = (y^4)^5 \).
Корень пятой степени из произведения:
\( \sqrt[5]{32 x^{10} y^{20}} = \sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{(x^2)^5} \cdot \sqrt[5]{(y^4)^5} = 2 x^2 y^4 \).
Ответ: \( \sqrt[5]{32 x^{10} y^{20}} = 2 x^2 y^4 \).
4) Задание: \( \sqrt[6]{a^{12} b^{18}} \)
Решение:
\( a^{12} = (a^2)^6 \), \( b^{18} = (b^3)^6 \).
Корень шестой степени из произведения:
\( \sqrt[6]{a^{12} b^{18}} = \sqrt[6]{(a^2)^6} \cdot \sqrt[6]{(b^3)^6} = a^2 b^3 \).
Ответ: \( \sqrt[6]{a^{12} b^{18}} = a^2 b^3 \).
Упражнение № 38. Решение
№ 38. Упростить выражение:
1) Задание: \( \sqrt[3]{2 a b^{2}} \cdot \sqrt[3]{4 a^{2} b} \)
Решение. Перемножим подкоренные выражения:
\( \sqrt[3]{2 a b^{2}} \cdot \sqrt[3]{4 a^{2} b} = \sqrt[3]{(2 a b^2) \cdot (4 a^2 b)} = \sqrt[3]{8 a^3 b^3} \).
\( 8 = 2^3 \), \( a^3 = (a)^3 \), \( b^3 = (b)^3 \).
\( \sqrt[3]{8 a^3 b^3} = 2 a b \).
Ответ: \( \sqrt[3]{2 a b^{2}} \cdot \sqrt[3]{4 a^{2} b} = 2 a b \).
2) Задание: \( \sqrt[4]{3 a^{2} b^{3}} \cdot \sqrt[4]{27 a^{2} b} \)
Решение:
Перемножим подкоренные выражения:
\( \sqrt[4]{3 a^{2} b^{3}} \cdot \sqrt[4]{27 a^{2} b} = \sqrt[4]{(3 a^2 b^3) \cdot (27 a^2 b)} = \sqrt[4]{81 a^4 b^4} \).
\( 81 = 3^4 \), \( a^4 = (a)^4 \), \( b^4 = (b)^4 \).
\( \sqrt[4]{81 a^4 b^4} = 3 a b \).
Ответ: \( \sqrt[4]{3 a^{2} b^{3}} \cdot \sqrt[4]{27 a^{2} b} = 3 a b \).
3) Задание: \( \sqrt[4]{\frac{a b}{c}} \cdot \sqrt[4]{\frac{a^{3} c}{b}} \)
Решение:
Перемножим подкоренные выражения:
\( \sqrt[4]{\frac{a b}{c}} \cdot \sqrt[4]{\frac{a^{3} c}{b}} = \sqrt[4]{\frac{a b}{c} \cdot \frac{a^3 c}{b}} = \sqrt[4]{\frac{a^4 b c}{b c}} = \sqrt[4]{a^4} = a \).
Ответ: \( \sqrt[4]{\frac{a b}{c}} \cdot \sqrt[4]{\frac{a^{3} c}{b}} = a \).
4) Задание: \( \sqrt[3]{\frac{16 a}{b^{2}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2 a b}} \)
Решение:
Перемножим подкоренные выражения:
\( \sqrt[3]{\frac{16 a}{b^{2}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2 a b}} = \sqrt[3]{\frac{16 a}{b^2} \cdot \frac{1}{2 a b}} = \sqrt[3]{\frac{16 a}{2 a b^3}} = \sqrt[3]{\frac{8}{b^3}} = \frac{2}{b} \).
Ответ: \( \sqrt[3]{\frac{16 a}{b^{2}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2 a b}} = \frac{2}{b} \).
Упражнение № 39. Решение
№ 39. Вычислить:
1) Задание: \( \sqrt[3]{\frac{64}{125}} \)
Решение:
\( 64 = 4^3 \), \( 125 = 5^3 \).
\( \sqrt[3]{\frac{64}{125}} = \frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{4}{5} \).
Ответ: \( \sqrt[3]{\frac{64}{125}} = \frac{4}{5} \).
2) Задание: \( \sqrt[4]{\frac{16}{81}} \)
Решение:
\( 16 = 2^4 \), \( 81 = 3^4 \).
\( \sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{2}{3} \).
Ответ: \( \sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{2}{3} \).
3) Задание: \( \sqrt[3]{3 \frac{3}{8}} \)
Решение:
\( 3 \frac{3}{8} = \frac{27}{8} \).
\( 27 = 3^3 \), \( 8 = 2^3 \).
\( \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2} \).
Ответ: \( \sqrt[3]{3 \frac{3}{8}} = \frac{3}{2} \).
4) Задание: \( \sqrt[5]{7 \frac{19}{32}} \)
Решение:
\( 7 \frac{19}{32} = \frac{243}{32} \).
\( 243 = 3^5 \), \( 32 = 2^5 \).
\( \sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{3}{2} \).
Ответ: \( \sqrt[5]{7 \frac{19}{32}} = \frac{3}{2} \).
Упражнение № 40. Решение
№ 40. Вычислить:
1) Задание: \( \sqrt[4]{324} : \sqrt[4]{4} \)
Решение:
\( \sqrt[4]{324} : \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{\frac{324}{4}} = \sqrt[4]{81} = 3 \).
Ответ: \( \sqrt[4]{324} : \sqrt[4]{4} = 3 \).
2) Задание: \( \sqrt[3]{128} : \sqrt[3]{2000} \)
Решение:
\( \sqrt[3]{128} : \sqrt[3]{2000} = \sqrt[3]{\frac{128}{2000}} = \sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{2}{5} \).
Ответ: \( \sqrt[3]{128} : \sqrt[3]{2000} = \frac{2}{5} \).
3) Задание: \( \frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}} \)
Решение:
\( \frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{16}{2}} = \sqrt[3]{8} = 2 \).
Ответ: \( \frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}} = 2 \).
4) Задание: \( \frac{\sqrt[5]{256}}{\sqrt[5]{8}} \)
Решение:
\( \frac{\sqrt[5]{256}}{\sqrt[5]{8}} = \sqrt[5]{\frac{256}{8}} = \sqrt[5]{32} = 2 \).
Ответ: \( \frac{\sqrt[5]{256}}{\sqrt[5]{8}} = 2 \).
5) Задание: \( (\sqrt{25} — \sqrt{45}) : \sqrt{5} \)
Решение:
\( \sqrt{25} = 5 \), \( \sqrt{45} = 3 \sqrt{5} \).
\( (5 — 3 \sqrt{5}) : \sqrt{5} = \frac{5}{\sqrt{5}} — 3 = \sqrt{5} — 3 \).
Ответ: \( (\sqrt{25} — \sqrt{45}) : \sqrt{5} = \sqrt{5} — 3 \).
6) Задание: \( (\sqrt[3]{625} — \sqrt[3]{5}) : \sqrt[3]{5} \)
Решение:
\( \sqrt[3]{625} = 5 \sqrt[3]{5} \), \( \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{5} \).
\( (5 \sqrt[3]{5} — \sqrt[3]{5}) : \sqrt[3]{5} = \frac{4 \sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}} = 4 \).
Ответ: \( (\sqrt[3]{625} — \sqrt[3]{5}) : \sqrt[3]{5} = 4 \).
Упражнение № 41. Решение
№ 41. Упростить выражение:
1) Задание: \( \sqrt[5]{a^{6} b^{7}} : \sqrt[5]{a b^{2}} \)
Решение:
\( \sqrt[5]{a^{6} b^{7}} : \sqrt[5]{a b^{2}} = \sqrt[5]{\frac{a^6 b^7}{a b^2}} = \sqrt[5]{a^5 b^5} = a b \).
Ответ: \( \sqrt[5]{a^{6} b^{7}} : \sqrt[5]{a b^{2}} = a b \).
2) Задание: \( \sqrt[3]{81 x^{4} y} : \sqrt[3]{3 x y} \)
Решение:
\( \sqrt[3]{81 x^{4} y} : \sqrt[3]{3 x y} = \sqrt[3]{\frac{81 x^4 y}{3 x y}} = \sqrt[3]{27 x^3} = 3 x \).
Ответ: \( \sqrt[3]{81 x^{4} y} : \sqrt[3]{3 x y} = 3 x \).
3) Задание: \( \sqrt[3]{\frac{3x}{y^{2}}} : \sqrt[3]{\frac{y}{9 x^{2}}} \)
Решение:
\( \sqrt[3]{\frac{3x}{y^{2}}} : \sqrt[3]{\frac{y}{9 x^{2}}} = \sqrt[3]{\frac{3x}{y^2} \cdot \frac{9 x^2}{y}} = \sqrt[3]{\frac{27 x^3}{y^3}} = \frac{3 x}{y} \).
Ответ: \( \sqrt[3]{\frac{3x}{y^{2}}} : \sqrt[3]{\frac{y}{9 x^{2}}} = \frac{3 x}{y} \).
4) Задание: \( \sqrt[4]{\frac{2 b}{a^{3}}} \cdot \sqrt[4]{\frac{a}{8 b^{3}}} \)
Решение:
\( \sqrt[4]{\frac{2 b}{a^{3}}} \cdot \sqrt[4]{\frac{a}{8 b^{3}}} = \sqrt[4]{\frac{2 b}{a^3} \cdot \frac{a}{8 b^3}} = \sqrt[4]{\frac{2 a b}{8 a^3 b^3}} = \sqrt[4]{\frac{1}{4 a^2 b^2}} = \frac{1}{\sqrt{2 a b}} \).
Ответ: \( \sqrt[4]{\frac{2 b}{a^{3}}} \cdot \sqrt[4]{\frac{a}{8 b^{3}}} = \frac{1}{\sqrt{2 a b}} \).
Упражнение № 42. Решение
№ 42. Вычислить: 1) (√[6]{7^3})^2
Решение. Преобразуем корень и степень:
√[6]{7^3} = 7^(3/6) = 7^(1/2) = √7
Теперь возведем в квадрат: (√7)^2 = 7
Ответ: (√[6]{7^3})^2 = 7
2) (√[6]{9})^{─3}
Решение. Преобразуем корень:
√[6]{9} = 9^(1/6) = (3^2)^(1/6) = 3^(1/3)
Теперь возведем в степень −3:
(3^(1/3))^(−3) = 3^(−1) = 1/3
Ответ: (√[6]{9})^{─3} = 1/3
3) (√[10]{32})^2
Решение. Преобразуем корень:
√[10]{32} = 32^(1/10) = (2^5)^(1/10) = 2^(1/2) = √2
Теперь возведем в квадрат:
(√2)^2 = 2
Ответ: (√[10]{32})^2 = 2
4) (√[8]{16})^{─4}
Решение. Преобразуем корень:
√[8]{16} = 16^(1/8) = (2^4)^(1/8) = 2^(1/2) = √2
Теперь возведем в степень −4:
(√2)^(−4) = (2^(1/2))^(−4) = 2^(−2) = 1/4
Ответ: (√[8]{16})^{─4} = 1/4
Упражнение № 43. Решение
№ 43. Вычислить:
1) √{ √[3]{729} }
Решение. Сначала вычисляем кубический корень:
√[3]{729} = 9 (так как 9³ = 729)
Теперь извлекаем квадратный корень: √9 = 3
Ответ: √{ √[3]{729} } = 3
2) √[5]{ √{1024} }
Решение. Сначала вычисляем квадратный корень:
√1024 = 32 (так как 32² = 1024)
Теперь извлекаем корень пятой степени:
√[5]{32} = 2 (так как 2⁵ = 32)
Ответ: √[5]{ √{1024} } = 2
3) √[3]{ √[3]{9} } • √[9]{3^7}
Решение. Преобразуем корни:
√[3]{9} = 9^(1/3) = (3^2)^(1/3) = 3^(2/3)
√[3]{3^(2/3)} = (3^(2/3))^(1/3) = 3^(2/9)
√[9]{3^7} = 3^(7/9)
Теперь перемножаем: 3^(2/9) • 3^(7/9) = 3^(9/9) = 3
Ответ: √[3]{ √[3]{9} } • √[9]{3^7} = 3
4) √[4]{ √[3]{25} } • √[6]{5^5}
Решение. Преобразуем корни:
√[3]{25} = 25^(1/3) = (5^2)^(1/3) = 5^(2/3)
√[4]{5^(2/3)} = 5^(2/12) = 5^(1/6)
√[6]{5^5} = 5^(5/6)
Теперь перемножаем:
5^(1/6) • 5^(5/6) = 5^(6/6) = 5
Ответ: √[4]{ √[3]{25} } • √[6]{5^5} = 5
Упражнение № 44. Решение
№ 44. Упростить выражение:
1) (√[3]{x})^6
Решение:
(√[3]{x})^6 = (x^(1/3))^6 = x^2
Ответ: (√[3]{x})^6 = x^2
2) (√[3]{y^2})^3
Решение:
(√[3]{y^2})^3 = (y^(2/3))^3 = y^2
Ответ: (√[3]{y^2})^3 = y^2
3) (√a • √[3]{b})^6
Решение:
(√a • √[3]{b})^6 = (a^(1/2) • b^(1/3))^6 = a^3 • b^2
Ответ: (√a • √[3]{b})^6 = a^3 • b^2
4) (√[3]{a^2} • √[4]{b^3})^12
Решение:
(√[3]{a^2} • √[4]{b^3})^12 = (a^(2/3) • b^(3/4))^12 = a^8 • b^9
Ответ: (√[3]{a^2} • √[4]{b^3})^12 = a^8 • b^9
5) (√[3]{ √{a^2 • b} })^6
Решение:
√{a^2 • b} = (a^2 • b)^(1/2) = a • b^(1/2)
√[3]{a • b^(1/2)} = (a • b^(1/2))^(1/3) = a^(1/3) • b^(1/6)
Теперь возводим в 6-ю степень:
(a^(1/3) • b^(1/6))^6 = a^2 • b
Ответ: (√[3]{ √{a^2 • b} })^6 = a^2 • b
6) (√[3]{ √[4]{27 • a^3} })^4
Решение:
√[4]{27 • a^3} = (27 • a^3)^(1/4) = 3^(3/4) • a^(3/4)
√[3]{3^(3/4) • a^(3/4)} = (3^(3/4) • a^(3/4))^(1/3) = 3^(1/4) • a^(1/4)
Теперь возводим в 4-ю степень:
(3^(1/4) • a^(1/4))^4 = 3 • a
Ответ: (√[3]{ √[4]{27 • a^3} })^4 = 3 • a
Упражнение № 45. Решение
№ 45. При каких значениях x имеет смысл выражение:
1) √[6]{2x ─ 3}
Решение. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
2x − 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1,5
Ответ: x ∈ [1,5; +∞)
2) √[6]{x + 3}
Решение: x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ −3
Ответ: x ∈ [−3; +∞)
3) √[6]{2x^2 ─ x ─ 1}
Решение: 2x² − x − 1 ≥ 0
Решаем неравенство:
2x² − x − 1 = 0 ⇒ x = 1 или x = −0,5
Метод интервалов:
x ∈ (−∞; −0,5] ∪ [1; +∞)
Ответ: x ∈ (−∞; −0,5] ∪ [1; +∞)
4) √[4]{ (2 ─ 3x)/(2x ─ 4) }
Решение:
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
(2 − 3x)/(2x − 4) ≥ 0
Решаем методом интервалов:
Числитель: 2 − 3x ≥ 0 ⇒ x ≤ 2/3
Знаменатель: 2x − 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2
Область определения: x ∈ (2; +∞) или x ∈ (−∞; 2/3]
Ответ: x ∈ (−∞; 2/3] ∪ (2; +∞)
Упражнение № 46. Решение
№ 46. Вычислить:
1) √{9 + √17} • √{9 ─ √17}
Решение:
Используем формулу √a • √b = √(a • b):
√{(9 + √17)(9 − √17)} = √(81 − 17) = √64 = 8
Ответ: √{9 + √17} • √{9 ─ √17} = 8
2) (√{3 + √5} ─ √{3 ─ √5})^2
Решение:
Раскроем квадрат разности:
= (3 + √5) + (3 − √5) − 2√{(3 + √5)(3 − √5)}
= 6 − 2√(9 − 5) = 6 − 2 • 2 = 2
Ответ: (√{3 + √5} ─ √{3 ─ √5})^2 = 2
3) (√{5 + √21} + √{5 ─ √21})^2
Решение. Раскроем квадрат суммы:
= (5 + √21) + (5 − √21) + 2√{(5 + √21)(5 − √21)}
= 10 + 2√(25 − 21) = 10 + 2 • 2 = 14
Ответ: (√{5 + √21} + √{5 ─ √21})^2 = 14
Вы смотрели: Учебник по алгебре УМК Алимов, Колягин 10 класс. Цитаты из пособия 2022 года использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Алгебра Алимов Упражнения 37-46.