Частная школа 10 класс

Читать онлайн фрагменты: Учебник по алгебре УМК Алимов Колягин 10 класс Страница 23 Упражнения №№ 47 — 54 (задания, решения, ответы). Цитаты из пособия 2022 года использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения, а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения. Код материалов: Алгебра Алимов Упражнения 47-54.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.

Алгебра (УМК Алимов)
Страница 23. Упражнения 47-54

№ 47. Вычислите:
1) (√[3]{49} • √[3]{112}) / (√[3]{250});
2) (√[4]{54} • √[4]{120}) / (√[4]{5});
3) (√[4]{32}) / (√[4]{2}) + √[6]{27^2} ─ √{ √[3]{64} };
4) √[3]{3 {3/8}} + √[4]{18} • √[4]{4 {1/2}} ─ √{ √{256} };
5) √[3]{11 ─ √{57}} • √[3]{11 + √{57}};
6) √[4]{17 ─ √{33}} • √[4]{17 + √{33}}.

№ 48. Упростить выражение:
1) √[3]{2ab} • √[3]{4a^{2}b} • √[3]{27b};
2) √[4]{abc} • √[4]{a^{3}b^{2}c} • √[4]{b^{5}c^{2}}.

№ 49. Упростить выражение:
1) √[3]{ √[3]{a^18} } + (√{ √[3]{a^4}})^3;
2) (√{ √[3]{x^2}})^3 + 2 (√[4]{ √x })^8;
3) √[3]{ √{x^{6} y^{12}} } ─ (√[5]{xy^2})^5;
4) ((√[5]{ a • √[5]{a} })^{5} ─ √[5]{a}) : √[10]{a^2}.

№ 50. Вычислить:
1) (√3 • √[3]{9}) / (√[6]{3});
2) ({√[3]{7} • √[4]{343}) / (√[12]{7});
3) (√[3]{9} + √[3]{6} + √[3]{4}) • (√[3]{3} ─ √[3]{2}).

№ 51. Упростить:
1) √[3]{(x─2)^3} при: a) x ≥ 2; б) x < 2;
2) √{(3─x)^6} при: a) x ≤ 3; б) x > 3;
3) √[4]{(x+6)^4} + √{(x─3)^2}, если ─1 < x < 2;
4) √[6]{(2x+1)^6} ─ √[4]{(4+x)^4}, если ─3 < x < ─1.

№ 52. Сравнить значения выражений:
1) √3 + √[3]{30} и √[3]{63};
2) √[3]{7} + √15 и √10 + √[3]{28}.

№ 53. Доказать, что:
1) √{4 + 2√3} ─ √{4 ─ 2√3} = 2;
2) √[3]{9 + √80} + √[3]{9 ─ √80} = 3.

№ 54. Упростить выражение:
1) (√{a} ─ √{b}) / (√[4]{a} ─ √[4]{b}) ─ (√{a} + √[4]{ab}) / (√[4]{a} + √[4]{b});
2) (a ─ b) / (√[3]{a} ─ √[3]{b}) ─ (a + b) / (√[3]{a} + √[3]{b});
3) ((a + b) / (√[3]{a} + √[3]{b}) ─ √[3]{ab}) : (√[3]{a} ─ √[3]{b})^2.

Упражнение № 47. Решение

[latex]

№ 47. Вычислите:
1) \(\frac{\sqrt[3]{49} \cdot \sqrt[3]{112}}{\sqrt[3]{250}}\)
Решение. Используем свойство корней \(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\) и упростим числитель:
\[ \sqrt[3]{49} \cdot \sqrt[3]{112} = \sqrt[3]{49 \cdot 112} = \sqrt[3]{5488} \] Теперь упростим дробь:
\[ \frac{\sqrt[3]{5488}}{\sqrt[3]{250}} = \sqrt[3]{\frac{5488}{250}} = \sqrt[3]{\frac{5488 \div 2}{250 \div 2}} = \sqrt[3]{\frac{2744}{125}} = \sqrt[3]{\frac{14^3}{5^3}} = \frac{14}{5} \] Ответ: \(\frac{\sqrt[3]{49} \cdot \sqrt[3]{112}}{\sqrt[3]{250}} = \frac{14}{5}\)
2) \(\frac{\sqrt[4]{54} \cdot \sqrt[4]{120}}{\sqrt[4]{5}}\)
Решение. Упростим числитель:
\[ \sqrt[4]{54} \cdot \sqrt[4]{120} = \sqrt[4]{54 \cdot 120} = \sqrt[4]{6480} \] Теперь упростим дробь:
\[ \frac{\sqrt[4]{6480}}{\sqrt[4]{5}} = \sqrt[4]{\frac{6480}{5}} = \sqrt[4]{1296} = \sqrt[4]{6^4} = 6 \] Ответ: \(\frac{\sqrt[4]{54} \cdot \sqrt[4]{120}}{\sqrt[4]{5}} = 6\)
3) \(\frac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[4]{2}} + \sqrt[6]{27^2} — \sqrt{\sqrt[3]{64}}\)
Решение. Разберём по частям:
1) \(\frac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[4]{2}} = \sqrt[4]{\frac{32}{2}} = \sqrt[4]{16} = 2\)
2) \(\sqrt[6]{27^2} = \sqrt[6]{(3^3)^2} = \sqrt[6]{3^6} = 3\)
3) \(\sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt{4} = 2\)
Теперь сложим:
\[ 2 + 3 — 2 = 3 \] Ответ: \(\frac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[4]{2}} + \sqrt[6]{27^2} — \sqrt{\sqrt[3]{64}} = 3\)
4) \(\sqrt[3]{3 \frac{3}{8}} + \sqrt[4]{18} \cdot \sqrt[4]{4 \frac{1}{2}} — \sqrt{\sqrt{256}}\)
Решение. Разберём по частям:
1) \(\sqrt[3]{3 \frac{3}{8}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}\)
2) \(\sqrt[4]{18} \cdot \sqrt[4]{4.5} = \sqrt[4]{18 \cdot 4.5} = \sqrt[4]{81} = 3\)
3) \(\sqrt{\sqrt{256}} = \sqrt{16} = 4\)
Теперь сложим:
\[ \frac{3}{2} + 3 — 4 = \frac{3}{2} — 1 = \frac{1}{2} \] Ответ: \(\sqrt[3]{3 \frac{3}{8}} + \sqrt[4]{18} \cdot \sqrt[4]{4 \frac{1}{2}} — \sqrt{\sqrt{256}} = \frac{1}{2}\)
5) \(\sqrt[3]{11 — \sqrt{57}} \cdot \sqrt[3]{11 + \sqrt{57}}\)
Решение. Используем формулу \(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{ab}\):
\[ \sqrt[3]{(11 — \sqrt{57})(11 + \sqrt{57})} = \sqrt[3]{121 — 57} = \sqrt[3]{64} = 4 \] Ответ: \(\sqrt[3]{11 — \sqrt{57}} \cdot \sqrt[3]{11 + \sqrt{57}} = 4\)
6) \(\sqrt[4]{17 — \sqrt{33}} \cdot \sqrt[4]{17 + \sqrt{33}}\)
Решение. Аналогично предыдущему:
\[ \sqrt[4]{(17 — \sqrt{33})(17 + \sqrt{33})} = \sqrt[4]{289 — 33} = \sqrt[4]{256} = 4 \] Ответ: \(\sqrt[4]{17 — \sqrt{33}} \cdot \sqrt[4]{17 + \sqrt{33}} = 4\)

Упражнение № 48. Решение

№ 48. Упростить выражение:
1) \(\sqrt[3]{2ab} \cdot \sqrt[3]{4a^{2}b} \cdot \sqrt[3]{27b}\)
Решение. Объединим корни:
\[ \sqrt[3]{2ab \cdot 4a^2b \cdot 27b} = \sqrt[3]{216a^3b^3} = 6ab \] Ответ: \(\sqrt[3]{2ab} \cdot \sqrt[3]{4a^{2}b} \cdot \sqrt[3]{27b} = 6ab\)
2) \(\sqrt[4]{abc} \cdot \sqrt[4]{a^{3}b^{2}c} \cdot \sqrt[4]{b^{5}c^{2}}\)
Решение. Объединим корни:
\[ \sqrt[4]{abc \cdot a^3b^2c \cdot b^5c^2} = \sqrt[4]{a^4b^8c^4} = ab^2c \] Ответ: \(\sqrt[4]{abc} \cdot \sqrt[4]{a^{3}b^{2}c} \cdot \sqrt[4]{b^{5}c^{2}} = ab^2c\)

Упражнение № 49. Решение

№ 49. Упростить выражение:
1) \(\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{18}}} + (\sqrt{\sqrt[3]{a^4}})^3\)
Решение. Разберём по частям:
1) \(\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{18}}} = \sqrt[9]{a^{18}} = a^2\)
2) \((\sqrt{\sqrt[3]{a^4}})^3 = (\sqrt[6]{a^4})^3 = a^{2}\)
Сумма:
\[ a^2 + a^2 = 2a^2 \] Ответ: \(\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{18}}} + (\sqrt{\sqrt[3]{a^4}})^3 = 2a^2\)
2) \((\sqrt{\sqrt[3]{x^2}})^3 + 2 (\sqrt[4]{\sqrt{x}})^8\)
Решение. Разберём по частям:
1) \((\sqrt{\sqrt[3]{x^2}})^3 = (\sqrt[6]{x^2})^3 = x^{1}\)
2) \(2 (\sqrt[4]{\sqrt{x}})^8 = 2 (\sqrt[8]{x})^8 = 2x\)
Сумма:
\[ x + 2x = 3x \] Ответ: \((\sqrt{\sqrt[3]{x^2}})^3 + 2 (\sqrt[4]{\sqrt{x}})^8 = 3x\)
3) \(\sqrt[3]{\sqrt{x^{6} y^{12}}} — (\sqrt[5]{xy^2})^5\)
Решение. Разберём по частям:
1) \(\sqrt[3]{\sqrt{x^6 y^{12}}} = \sqrt[6]{x^6 y^{12}} = xy^2\)
2) \((\sqrt[5]{xy^2})^5 = xy^2\)
Разность:
\[ xy^2 — xy^2 = 0 \] Ответ: \(\sqrt[3]{\sqrt{x^{6} y^{12}}} — (\sqrt[5]{xy^2})^5 = 0\)
4) \(\left(\left(\sqrt[5]{a \cdot \sqrt[5]{a}}\right)^5 — \sqrt[5]{a}\right) : \sqrt[10]{a^2}\)
Решение. Разберём по частям:
1) \(\sqrt[5]{a \cdot \sqrt[5]{a}} = \sqrt[5]{a^{6/5}} = a^{6/25}\)
2) \(\left(a^{6/25}\right)^5 = a^{6/5}\)
3) \(a^{6/5} — a^{1/5} = a^{1/5}(a — 1)\)
4) \(\sqrt[10]{a^2} = a^{1/5}\)
Деление:
\[ \frac{a^{1/5}(a — 1)}{a^{1/5}} = a — 1 \] Ответ: \(\left(\left(\sqrt[5]{a \cdot \sqrt[5]{a}}\right)^5 — \sqrt[5]{a}\right) : \sqrt[10]{a^2} = a — 1\)

Упражнение № 50. Решение

№ 50. Вычислить:
1) \(\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[6]{3}}\)
Решение. Переведём все корни в степени с общим знаменателем (6):
\[ \sqrt{3} = 3^{1/2}, \quad \sqrt[3]{9} = 9^{1/3} = 3^{2/3}, \quad \sqrt[6]{3} = 3^{1/6} \] Теперь упростим:
\[ \frac{3^{1/2} \cdot 3^{2/3}}{3^{1/6}} = 3^{1/2 + 2/3 — 1/6} = 3^{3/6 + 4/6 — 1/6} = 3^{6/6} = 3 \] Ответ: \(\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[6]{3}} = 3\)
2) \(\frac{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[4]{343}}{\sqrt[12]{7}}\)
Решение. Переведём в степени:
\[ \sqrt[3]{7} = 7^{1/3}, \quad \sqrt[4]{343} = 343^{1/4} = 7^{3/4}, \quad \sqrt[12]{7} = 7^{1/12} \] Упростим:
\[ \frac{7^{1/3} \cdot 7^{3/4}}{7^{1/12}} = 7^{1/3 + 3/4 — 1/12} = 7^{4/12 + 9/12 — 1/12} = 7^{12/12} = 7 \] Ответ: \(\frac{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[4]{343}}{\sqrt[12]{7}} = 7\)
3) \((\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}) \cdot (\sqrt[3]{3} — \sqrt[3]{2})\)
Решение. Заметим, что \(9 = 3^2\), \(6 = 3 \cdot 2\), \(4 = 2^2\).
Используем формулу \((a^2 + ab + b^2)(a — b) = a^3 — b^3\):
\[ (\sqrt[3]{3}^2 + \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2}^2)(\sqrt[3]{3} — \sqrt[3]{2}) = 3 — 2 = 1 \] Ответ: \((\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}) \cdot (\sqrt[3]{3} — \sqrt[3]{2}) = 1\)

Упражнение № 51. Решение

№ 51. Упростить:
1) \(\sqrt[3]{(x — 2)^3}\)
Решение. Кубический корень и куб взаимно уничтожаются:
\(\sqrt[3]{(x — 2)^3} = x — 2\).
Ответ: a) \(x \geq 2\): \(\sqrt[3]{(x — 2)^3} = x — 2\)
б) \(x < 2\): \(\sqrt[3]{(x — 2)^3} = x — 2\)
2) \(\sqrt{(3 — x)^6}\)
Решение. Квадратный корень из квадрата равен модулю:
\(\sqrt{(3 — x)^6} = |3 — x|^3\).
Ответ: a) \(x \leq 3\): \(\sqrt{(3 — x)^6} = (3 — x)^3\)
б) \(x > 3\): \(\sqrt{(3 — x)^6} = (x — 3)^3\)
3) \(\sqrt[4]{(x + 6)^4} + \sqrt{(x — 3)^2}\), если \(-1 < x < 2\)
Решение:
1) \(\sqrt[4]{(x + 6)^4} = |x + 6|\). При \(-1 < x < 2\) выражение \(x + 6 > 0\), поэтому \(|x + 6| = x + 6\).
2) \(\sqrt{(x — 3)^2} = |x — 3|\). При \(-1 < x < 2\) выражение \(x — 3 < 0\), поэтому \(|x — 3| = 3 — x\).
3) Сумма: \(x + 6 + 3 — x = 9\).
Ответ: \(\sqrt[4]{(x + 6)^4} + \sqrt{(x — 3)^2} = 9\)
4) \(\sqrt[6]{(2x + 1)^6} — \sqrt[4]{(4 + x)^4}\), если \(-3 < x < -1\)
Решение:
1) \(\sqrt[6]{(2x + 1)^6} = |2x + 1|\). При \(-3 < x < -1\) выражение \(2x + 1 < 0\), поэтому \(|2x + 1| = -2x — 1\).
2) \(\sqrt[4]{(4 + x)^4} = |4 + x|\). При \(-3 < x < -1\) выражение \(4 + x > 0\), поэтому \(|4 + x| = 4 + x\).
3) Разность: \(-2x — 1 — (4 + x) = -3x — 5\).
Ответ: \(\sqrt[6]{(2x + 1)^6} — \sqrt[4]{(4 + x)^4} = -3x — 5\)

Упражнение № 52. Решение

№ 52. Сравнить значения выражений:
1) \(\sqrt{3} + \sqrt[3]{30}\) и \(\sqrt[3]{63}\)
Решение. Приближенные значения:
— \(\sqrt{3} \approx 1.732\)
— \(\sqrt[3]{30} \approx 3.107\)
— \(\sqrt[3]{63} \approx 3.979\)
Сумма: \(1.732 + 3.107 = 4.839 > 3.979\).
Ответ: \(\sqrt{3} + \sqrt[3]{30} > \sqrt[3]{63}\)
2) \(\sqrt[3]{7} + \sqrt{15}\) и \(\sqrt{10} + \sqrt[3]{28}\)
Решение. Приближенные значения:
— \(\sqrt[3]{7} \approx 1.913\)
— \(\sqrt{15} \approx 3.873\)
— \(\sqrt{10} \approx 3.162\)
— \(\sqrt[3]{28} \approx 3.037\)
Сравниваем суммы:
\(1.913 + 3.873 = 5.786\)
\(3.162 + 3.037 = 6.199\)
Ответ: \(\sqrt[3]{7} + \sqrt{15} < \sqrt{10} + \sqrt[3]{28}\)

Упражнение № 53. Решение

№ 53. Доказать:
1) \(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} — \sqrt{4 — 2\sqrt{3}} = 2\)
Решение. Обозначим \(A = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}\), \(B = \sqrt{4 — 2\sqrt{3}}\).
Возведем \(A — B = 2\) в квадрат:
\(A^2 + B^2 — 2AB = 4\).
Вычислим \(A^2 + B^2 = (4 + 2\sqrt{3}) + (4 — 2\sqrt{3}) = 8\).
Вычислим \(AB = \sqrt{(4 + 2\sqrt{3})(4 — 2\sqrt{3})} = \sqrt{16 — 12} = 2\).
Подставим: \(8 — 2 \cdot 2 = 4\), что равно правой части.
Ответ: Равенство доказано.
2) \(\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 — \sqrt{80}} = 3\)
Решение. Обозначим \(x = \sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 — \sqrt{80}}\).
Возведем в куб:
\(x^3 = (9 + \sqrt{80}) + (9 — \sqrt{80}) + 3 \cdot \sqrt[3]{(9 + \sqrt{80})(9 — \sqrt{80})} \cdot x\).
Упростим:
\(x^3 = 18 + 3 \cdot \sqrt[3]{81 — 80} \cdot x = 18 + 3x\).
Получаем уравнение: \(x^3 — 3x — 18 = 0\).
Проверим \(x = 3\): \(27 — 9 — 18 = 0\) — верно.
Ответ: Равенство доказано.

Упражнение № 54. Решение

№ 54. Упростить выражение:
1) \(\frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}} — \frac{\sqrt{a} + \sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}\)
Решение:
Обозначим \(u = \sqrt[4]{a}\), \(v = \sqrt[4]{b}\). Тогда:
\(\sqrt{a} = u^2\), \(\sqrt{b} = v^2\), \(\sqrt[4]{ab} = uv\).
Подставим:
\[ \frac{u^2 — v^2}{u — v} — \frac{u^2 + uv}{u + v} = (u + v) — \frac{u(u + v)}{u + v} = (u + v) — u = v = \sqrt[4]{b}. \] Ответ: \(\frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}} — \frac{\sqrt{a} + \sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} = \sqrt[4]{b}\)
2) \(\frac{a — b}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} — \frac{a + b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}\)
Решение. Обозначим \(x = \sqrt[3]{a}\), \(y = \sqrt[3]{b}\).
Тогда: \(a = x^3\), \(b = y^3\).
Подставим:
\[ \frac{x^3 — y^3}{x — y} — \frac{x^3 + y^3}{x + y} = (x^2 + xy + y^2) — (x^2 — xy + y^2) = 2xy = 2\sqrt[3]{ab}. \] Ответ: \(\frac{a — b}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} — \frac{a + b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} = 2\sqrt[3]{ab}\)
3) \(\left(\frac{a + b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} — \sqrt[3]{ab}\right) : \left(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}\right)^2\)
Решение. Обозначим \(x = \sqrt[3]{a}\), \(y = \sqrt[3]{b}\). Тогда:
\(a + b = x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\).
Подставим:
\[ \left(\frac{(x + y)(x^2 — xy + y^2)}{x + y} — xy\right) : (x — y)^2 = (x^2 — xy + y^2 — xy) : (x — y)^2 = \frac{x^2 — 2xy + y^2}{(x — y)^2} = 1. \] Ответ: \(\left(\frac{a + b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} — \sqrt[3]{ab}\right) : \left(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}\right)^2 = 1\)

[/latex]

---

Вы смотрели: Учебник по алгебре УМК Алимов, Колягин 10 класс. Цитаты из пособия 2022 года использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Алгебра Алимов Упражнения 47-54.

Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.