Частная школа 10 класс

Читать онлайн фрагменты: Учебник по алгебре УМК Алимов, Колягин 10 класс Страница 10 Упражнения 6 — 12 (задания, решения, ответы). Цитаты из пособия 2022 года использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения, а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения. Код материалов: Алгебра Алимов Упражнения 6-12.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.

Алгебра (УМК Алимов)
Страница 10. Упражнения 6-12

№ 6. (Устно.) Какие из данных десятичных дробей являются иррациональными числами:
1) 16,9; 2) 7,25(4); 3) 1,21221222… (после n-й единицы стоит n двоек); 4) 99,1357911… (после запятой записаны подряд все нечётные числа)?

№ 7. Установить, какая из пар чисел 5,4 и 5,5 или 5,5 и 5,6 образует десятичные приближения числа √31 с недостатком и с избытком.

№ 8. Какое из равенств |x| = x или |x| = ─x является верным, если: 1) x = 5 ─ √7; 2) x = 4 ─ 3√3; 3) x = 5 ─ √10?

№ 9. Выяснить, каким числом (рациональным или иррациональным) является числовое значение выражения:
1) (√8 ─ 3)(3 + 2√2); 2) (√27 ─ 2)(2 ─ 3√3);
3) (√50 + 4√2)√2; 4) (5√3 + √27) : √3;
5) (√3 ─ 1)^2 + (√3 + 1)^2; 6) (√5 ─ 1)^2 ─ (2√5 + 1)^2.

№ 10. Вычислить:
1) √63 • √28; 2) √20 • √5; 3) √50 : √8; 4) √12 : √27.

№ 11. Сравнить числовые значения выражений:
1) √3,9 + √8 и √1,1 + √17; 2) √11 ─ √2,1 и √10 ─ √3,1.

№ 12. Вычислить:
1) √(√7 ─ 2√10 + √2) • 2 √5;
2) √(√16 ─ 6√7 + √7) • 3;
3) √(√8 + 2√15 ─ √8 ─ 2√15) • 2 + 7.

 

Упражнение № 6. Решение

[latex] № 6. (Устно.) Какие из данных десятичных дробей являются иррациональными числами:
1) 16,9; 2) 7,25(4); 3) 1,21221222… (после n-й единицы стоит n двоек); 4) 99,1357911… (после запятой записаны подряд все нечётные числа)?
Решение:
1) 16,9 = 169/10 — рациональное.
2) 7,25(4) — периодическая дробь, рациональное.
3) 1,21221222… — непериодическая дробь, иррациональное.
4) 99,1357911… — непериодическая дробь, иррациональное.
Ответ: Иррациональные числа: 3) и 4).

Упражнение № 7. Решение

№ 7. Установить, какая из пар чисел 5,4 и 5,5 или 5,5 и 5,6 образует десятичные приближения числа √31 с недостатком и с избытком.
Решение: Вычислим приближённые значения:
— \(5,4^2 = 29,16\)
— \(5,5^2 = 30,25\)
— \(5,6^2 = 31,36\)
Так как \(30,25 < 31 < 31,36\), то:
— \(5,5\) — приближение с недостатком,
— \(5,6\) — приближение с избытком.
Ответ: Пара 5,5 и 5,6.

Упражнение № 8. Решение

№ 8. Какое из равенств |x| = x или |x| = −x является верным, если:
1) \(x = 5 − \sqrt{7}\); 2) \(x = 4 − 3\sqrt{3}\); 3) \(x = 5 − \sqrt{10}\)?
Решение:
1) \(\sqrt{7} \approx 2,645\), \(x = 5 — 2,645 = 2,355 > 0\) → \(|x| = x\).
2) \(3\sqrt{3} \approx 5,196\), \(x = 4 — 5,196 = -1,196 < 0\) → \(|x| = -x\).
3) \(\sqrt{10} \approx 3,162\), \(x = 5 — 3,162 = 1,838 > 0\) → \(|x| = x\).

Упражнение № 9. Решение

№ 9. Выяснить, каким числом (рациональным или иррациональным) является числовое значение выражения:
1) \((\sqrt{8} − 3)(3 + 2\sqrt{2})\);
2) \((\sqrt{27} − 2)(2 − 3\sqrt{3})\);
3) \((\sqrt{50} + 4\sqrt{2})\sqrt{2}\);
4) \((5\sqrt{3} + \sqrt{27}) : \sqrt{3}\);
5) \((\sqrt{3} − 1)^2 + (\sqrt{3} + 1)^2\);
6) \((\sqrt{5} − 1)^2 − (2\sqrt{5} + 1)^2\).
Решение:
1) \((\sqrt{8} − 3)(3 + 2\sqrt{2}) = (2\sqrt{2} − 3)(3 + 2\sqrt{2}) = (2\sqrt{2})^2 − 3^2 = 8 − 9 = -1\) — рациональное.
2) \((\sqrt{27} − 2)(2 − 3\sqrt{3}) = (3\sqrt{3} − 2)(2 − 3\sqrt{3}) = — (3\sqrt{3} − 2)^2\) — иррациональное.
3) \((\sqrt{50} + 4\sqrt{2})\sqrt{2} = (5\sqrt{2} + 4\sqrt{2})\sqrt{2} = 9\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 18\) — рациональное.
4) \((5\sqrt{3} + \sqrt{27}) : \sqrt{3} = (5\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) : \sqrt{3} = 8\sqrt{3} : \sqrt{3} = 8\) — рациональное.
5) \((\sqrt{3} − 1)^2 + (\sqrt{3} + 1)^2 = (3 − 2\sqrt{3} + 1) + (3 + 2\sqrt{3} + 1) = 8\) — рациональное.
6) \((\sqrt{5} − 1)^2 − (2\sqrt{5} + 1)^2 = (5 − 2\sqrt{5} + 1) − (20 + 4\sqrt{5} + 1) = -15 − 6\sqrt{5}\) — иррациональное.

Упражнение № 10. Решение

№ 10. Вычислить:
1) \(\sqrt{63} \cdot \sqrt{28}\);
2) \(\sqrt{20} \cdot \sqrt{5}\);
3) \(\sqrt{50} : \sqrt{8}\);
4) \(\sqrt{12} : \sqrt{27}\).
Решение:
1) \(\sqrt{63} \cdot \sqrt{28} = \sqrt{63 \cdot 28} = \sqrt{1764} = 42\).
2) \(\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{20 \cdot 5} = \sqrt{100} = 10\).
3) \(\sqrt{50} : \sqrt{8} = \sqrt{\frac{50}{8}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}\).
4) \(\sqrt{12} : \sqrt{27} = \sqrt{\frac{12}{27}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}\).
Ответы:
1) \(\sqrt{63} \cdot \sqrt{28} = 42\);
2) \(\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = 10\);
3) \(\sqrt{50} : \sqrt{8} = \frac{5}{2}\);
4) \(\sqrt{12} : \sqrt{27} = \frac{2}{3}\).

Упражнение № 11. Решение

№ 11. Сравнить числовые значения выражений:
1) \(\sqrt{3,9} + \sqrt{8}\) и \(\sqrt{1,1} + \sqrt{17}\);
2) \(\sqrt{11} − \sqrt{2,1}\) и \(\sqrt{10} − \sqrt{3,1}\).
Решение:
1) \(\sqrt{3,9} \approx 1,975\), \(\sqrt{8} \approx 2,828\) → \(\approx 4,803\).
\(\sqrt{1,1} \approx 1,049\), \(\sqrt{17} \approx 4,123\) → \(\approx 5,172\).
\(4,803 < 5,172\).
2) \(\sqrt{11} \approx 3,317\), \(\sqrt{2,1} \approx 1,449\) → \(\approx 1,868\).
\(\sqrt{10} \approx 3,162\), \(\sqrt{3,1} \approx 1,761\) → \(\approx 1,401\).
\(1,868 > 1,401\).
Ответы:
1) \(\sqrt{3,9} + \sqrt{8} < \sqrt{1,1} + \sqrt{17}\);
2) \(\sqrt{11} − \sqrt{2,1} > \sqrt{10} − \sqrt{3,1}\).

Упражнение № 12. Решение

№ 12. Вычислить:
1) \(\sqrt{(\sqrt{7} − 2\sqrt{10} + \sqrt{2}) \cdot 2 \sqrt{5}}\);
2) \(\sqrt{(\sqrt{16} − 6\sqrt{7} + \sqrt{7}) \cdot 3}\);
3) \(\sqrt{(\sqrt{8} + 2\sqrt{15} − \sqrt{8} − 2\sqrt{15}) \cdot 2 + 7}\).

РЕШЕНИЯ:

№ 12. 1) \[\sqrt{\left(\sqrt{7 — 2\sqrt{10}} + \sqrt{2}\right) \cdot 2 \sqrt{5}}\] Шаг 1: Упростим \(\sqrt{7 — 2\sqrt{10}}\).
Представим подкоренное выражение в виде квадрата разности:
\[7 — 2\sqrt{10} = (\sqrt{a} — \sqrt{b})^2 = a + b — 2\sqrt{ab}\] Приравниваем: \[a + b = 7, \quad ab = 10\] Решаем систему:
\[a = 5, \quad b = 2 \quad \text{(или наоборот)}\] Значит:
\[\sqrt{7 — 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} — \sqrt{2}\] Шаг 2: Подставим обратно в исходное выражение:
\[\sqrt{\left(\sqrt{5} — \sqrt{2} + \sqrt{2}\right) \cdot 2 \sqrt{5}} = \sqrt{\sqrt{5} \cdot 2 \sqrt{5}}\] \[= \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{10}\] Ответ:
\[\sqrt{\left(\sqrt{7 — 2\sqrt{10}} + \sqrt{2}\right) \cdot 2 \sqrt{5}} = \sqrt{10}\]

---

№ 12. 2) \[\sqrt{\left(\sqrt{16 — 6\sqrt{7}} + \sqrt{7}\right) \cdot 3}\] Шаг 1: Упростим \(\sqrt{16 — 6\sqrt{7}}\).
Представим в виде квадрата разности:
\[16 — 6\sqrt{7} = (\sqrt{a} — \sqrt{b})^2 = a + b — 2\sqrt{ab}\] Приравниваем: \[a + b = 16, \quad ab = 63\] Решаем систему:
\[a = 9, \quad b = 7 \quad \text{(или наоборот)}\] Значит:
\[\sqrt{16 — 6\sqrt{7}} = 3 — \sqrt{7}\] Шаг 2: Подставим обратно в исходное выражение:
\[\sqrt{\left(3 — \sqrt{7} + \sqrt{7}\right) \cdot 3} = \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{9} = 3\] Ответ: \[\sqrt{\left(\sqrt{16 — 6\sqrt{7}} + \sqrt{7}\right) \cdot 3} = 3\]

---

№ 12. 3) \[\sqrt{\left(\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} — \sqrt{8 — 2\sqrt{15}}\right) \cdot 2} + 7\] Шаг 1: Упростим \(\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}\) и \(\sqrt{8 — 2\sqrt{15}}\).
Представим в виде квадратов:
\[8 + 2\sqrt{15} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}\] \[8 — 2\sqrt{15} = (\sqrt{a} — \sqrt{b})^2 = a + b — 2\sqrt{ab}\] Приравниваем:
\[a + b = 8, \quad ab = 15\] Решаем систему:
\[a = 5, \quad b = 3 \quad \text{(или наоборот)}\] Значит:
\[\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{5} + \sqrt{3}, \quad \sqrt{8 — 2\sqrt{15}} = \sqrt{5} — \sqrt{3}\] Шаг 2: Подставим обратно в исходное выражение:
\[\sqrt{\left((\sqrt{5} + \sqrt{3}) — (\sqrt{5} — \sqrt{3})\right) \cdot 2} + 7\] \[= \sqrt{2\sqrt{3} \cdot 2} + 7 = \sqrt{4\sqrt{3}} + 7 = 2 \cdot 3^{1/4} + 7\] Ответ: \[\sqrt{\left(\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} — \sqrt{8 — 2\sqrt{15}}\right) \cdot 2} + 7 = 2 \sqrt[4]{3} + 7\].

[/latex]

 

---

 

Вы смотрели: Учебник по алгебре УМК Алимов, Колягин 10 класс. Цитаты из пособия 2022 года использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Алгебра Алимов Упражнения 6-12.

Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.