Частная школа 10 класс

Читать онлайн фрагменты: Учебник по алгебре УМК Алимов, Колягин 10 класс Страница 32 Упражнения №№ 64 — 73 (задания, решения, ответы). Цитаты из пособия 2022 года использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения, а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения. Код материалов: Алгебра Алимов Упражнения 64-73.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.

Алгебра (УМК Алимов)
Страница 32. Упражнения 64-73

№ 64. Пользуясь тождеством a^2 ─ b^2 = (a + b)(a ─ b), разложить на множители:
1) a^{1/2} ─ b^{1/2}; 2) y^{2/3} ─ 1;
3) a^{1/3} ─ b^{1/3}; 4) x ─ y;
5) 4a^{1/2} ─ b^{1/2}; 6) 0,01m^{1/6} ─ n^{1/6}.

№ 65. Разложить на множители, используя тождество a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 ─ ab + b^2) или a^3 ─ b^3 = (a ─ b)(a^2 + ab + b^2):
1) a ─ x; 2) x^{3/2} ─ y^{3/2}; 3) a^{1/2} ─ b^{1/2}; 4) 27a + c^{1/2}.

№ 66. Сократить дробь:
1) (√a ─ √b) / (a^{1/4} ─ b^{1/4});
2) (m^{1/2} + n^{1/2}) / (m + 2√{mn} + n);
3) (c ─ 2c^{1/2} + 1) / (√c ─ 1).

№ 67. Упростить выражение:
(c^{3/2}) / (c^{1/2} + b^{1/2}) ─ (cb^{1/2}) / (b^{1/2} ─ c^{1/2}) + (2c^2 ─ 4cb) / (c ─ b).

№ 68. Вычислить:
1) 2^{√5} • 2^{─√5}; 2) 3^{2√2} : 9^{√2};
3) (5^{√3})^{√3}; 4) ((0,5)^{√2})^{√8}.

№ 69. Вычислить:
1) 2^{2─3√5} • 8^{√5}; 2) 3^{1+2√[3]{2}} : 9^{√[3]{2}};
3) (5^{1+√2})^{1─√2}; 4) (5^{1─√5})^{1+√5} ─ (√5)^{0}.

№ 70. Вычислить:
1) 2^{1─2√2} • 4^{√2}; 2) 3^{2─3√3} • 27^{√3};
3) 9^{1+√3} • 3^{1─√3} • 3^{─2─√3};
4) 4^{3+√2} • 2^{1─√2} • 2^{─4─√2}.

№ 71. Вычислить:
1) (10^{2+√7}) / (2^{2+√7} • 5^{1+√7});
2) (6^{3+√5}) / (2^{2+√5} • 3^{1+√5});
3) (25^{1+√2} ─ 5^{2√2}) • 5^{─1─2√2};
4) (2^{2√3} ─ 4^{√3─1}) • 2^{─2√3}.

№ 72. Выяснить, какое из чисел больше:
1) 3^{√71} или 3^{√69}; 2) (1/3)^{√3} или (1/3)^{√2};
3) 4^{─√3} или 4^{─√2}; 4) 2^{√3} или 2^{1,7};
5) (1/2)^{1,4} или (1/2)^{√2}; 6) (1/9)^π или (1/9)^{3,14}.

№ 73. Сравнить число с единицей:
1) 2^{─2}; 2) (0,013)^{─1};
3) (2/7)^{5}; 4) 27^{1,5};
5) 2^{─√5}; 6) (1/2)^{√3};
7) (π/4)^{√5─2}; 8) (1/3)^{√8─3}.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

Упражнение № 64. Решение

№ 64. Разложить на множители, используя тождество \( a^2 — b^2 = (a + b)(a — b) \):
1) \( a^{1/2} — b^{1/2} \)
Решение:
Представим \( a^{1/2} \) как \( (a^{1/4})^2 \) и \( b^{1/2} \) как \( (b^{1/4})^2 \).
Применяем тождество:
\[ a^{1/2} — b^{1/2} = (a^{1/4} + b^{1/4})(a^{1/4} — b^{1/4}) \] Ответ: \( a^{1/2} — b^{1/2} = (a^{1/4} + b^{1/4})(a^{1/4} — b^{1/4}) \)
2) \( y^{2/3} — 1 \)
Решение:
Представим \( y^{2/3} \) как \( (y^{1/3})^2 \) и \( 1 \) как \( 1^2 \).
Применяем тождество:
\[ y^{2/3} — 1 = (y^{1/3} + 1)(y^{1/3} — 1) \] Ответ: \( y^{2/3} — 1 = (y^{1/3} + 1)(y^{1/3} — 1) \)
3) \( a^{1/3} — b^{1/3} \)
Решение:
Представим \( a^{1/3} \) как \( (a^{1/6})^2 \) и \( b^{1/3} \) как \( (b^{1/6})^2 \).
Применяем тождество:
\[ a^{1/3} — b^{1/3} = (a^{1/6} + b^{1/6})(a^{1/6} — b^{1/6}) \] Ответ: \( a^{1/3} — b^{1/3} = (a^{1/6} + b^{1/6})(a^{1/6} — b^{1/6}) \)
4) \( x — y \)
Решение:
Представим \( x \) как \( (\sqrt{x})^2 \) и \( y \) как \( (\sqrt{y})^2 \).
Применяем тождество:
\[ x — y = (\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} — \sqrt{y}) \] Ответ: \( x — y = (\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} — \sqrt{y}) \)
5) \( 4a^{1/2} — b^{1/2} \)
Решение:
Представим \( 4a^{1/2} \) как \( (2a^{1/4})^2 \) и \( b^{1/2} \) как \( (b^{1/4})^2 \).
Применяем тождество:
\[ 4a^{1/2} — b^{1/2} = (2a^{1/4} + b^{1/4})(2a^{1/4} — b^{1/4}) \] Ответ: \( 4a^{1/2} — b^{1/2} = (2a^{1/4} + b^{1/4})(2a^{1/4} — b^{1/4}) \)
6) \( 0,01m^{1/6} — n^{1/6} \)
Решение:
Представим \( 0,01m^{1/6} \) как \( (0,1m^{1/12})^2 \) и \( n^{1/6} \) как \( (n^{1/12})^2 \).
Применяем тождество:
\[ 0,01m^{1/6} — n^{1/6} = (0,1m^{1/12} + n^{1/12})(0,1m^{1/12} — n^{1/12}) \] Ответ: \( 0,01m^{1/6} — n^{1/6} = (0,1m^{1/12} + n^{1/12})(0,1m^{1/12} — n^{1/12}) \)

Упражнение № 65. Решение

№ 65. Разложить на множители, используя тождества для кубов:
1) \( a — x \)
Решение:
Представим \( a \) как \( (\sqrt[3]{a})^3 \) и \( x \) как \( (\sqrt[3]{x})^3 \).
Применяем тождество \( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \):
\[ a — x = (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{x})(a^{2/3} + a^{1/3}x^{1/3} + x^{2/3}) \] Ответ: \( a — x = (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{x})(a^{2/3} + a^{1/3}x^{1/3} + x^{2/3}) \)

2) \( x^{3/2} — y^{3/2} \)
Решение:
Представим \( x^{3/2} \) как \( (x^{1/2})^3 \) и \( y^{3/2} \) как \( (y^{1/2})^3 \).
Применяем тождество \( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \):
\[ x^{3/2} — y^{3/2} = (x^{1/2} — y^{1/2})(x + x^{1/2}y^{1/2} + y) \] Ответ: \( x^{3/2} — y^{3/2} = (x^{1/2} — y^{1/2})(x + x^{1/2}y^{1/2} + y) \)

3) \( a^{1/2} — b^{1/2} \)
Решение:
Уже разложено в №64 (1).
Ответ: \( a^{1/2} — b^{1/2} = (a^{1/4} + b^{1/4})(a^{1/4} — b^{1/4}) \)

4) \( 27a + c^{1/2} \)
Решение:
Представим \( 27a \) как \( (3a^{1/3})^3 \) и \( c^{1/2} \) как \( (c^{1/6})^3 \).
Применяем тождество \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \):
\[ 27a + c^{1/2} = (3a^{1/3} + c^{1/6})(9a^{2/3} — 3a^{1/3}c^{1/6} + c^{1/3}) \] Ответ: \( 27a + c^{1/2} = (3a^{1/3} + c^{1/6})(9a^{2/3} — 3a^{1/3}c^{1/6} + c^{1/3}) \)

Упражнение № 66. Решение

№ 66. Сократить дробь:
1) \( \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{a^{1/4} — b^{1/4}} \)
Решение. Разложим числитель и знаменатель:
\[ \sqrt{a} — \sqrt{b} = (a^{1/4} + b^{1/4})(a^{1/4} — b^{1/4}) \] Сокращаем:
\[ \frac{(a^{1/4} + b^{1/4})(a^{1/4} — b^{1/4})}{a^{1/4} — b^{1/4}} = a^{1/4} + b^{1/4} \] Ответ: \( \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{a^{1/4} — b^{1/4}} = a^{1/4} + b^{1/4} \)

2) \( \frac{m^{1/2} + n^{1/2}}{m + 2\sqrt{mn} + n} \)
Решение:
Знаменатель — это полный квадрат:
\[ m + 2\sqrt{mn} + n = (\sqrt{m} + \sqrt{n})^2 \] Сокращаем:
\[ \frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{(\sqrt{m} + \sqrt{n})^2} = \frac{1}{\sqrt{m} + \sqrt{n}} \] Ответ: \( \frac{m^{1/2} + n^{1/2}}{m + 2\sqrt{mn} + n} = \frac{1}{\sqrt{m} + \sqrt{n}} \)

3) \( \frac{c — 2c^{1/2} + 1}{\sqrt{c} — 1} \)
Решение. Числитель — это квадрат разности:
\[ c — 2\sqrt{c} + 1 = (\sqrt{c} — 1)^2 \] Сокращаем:
\[ \frac{(\sqrt{c} — 1)^2}{\sqrt{c} — 1} = \sqrt{c} — 1 \] Ответ: \( \frac{c — 2c^{1/2} + 1}{\sqrt{c} — 1} = \sqrt{c} — 1 \)

Упражнение № 67. Решение

№ 67. Упростить выражение:
\[ \frac{c^{3/2}}{c^{1/2} + b^{1/2}} — \frac{cb^{1/2}}{b^{1/2} — c^{1/2}} + \frac{2c^2 — 4cb}{c — b} \] Решение:
1. Приведём первые две дроби к общему знаменателю \( (c^{1/2} + b^{1/2})(b^{1/2} — c^{1/2}) \).
2. Упростим третью дробь:
\[ \frac{2c^2 — 4cb}{c — b} = \frac{2c(c — 2b)}{c — b} \] После преобразований получим:
\[ \frac{c^{3/2}(b^{1/2} — c^{1/2}) — cb^{1/2}(c^{1/2} + b^{1/2})}{(c — b)} + \frac{2c(c — 2b)}{c — b} \] Далее объединяем дроби и упрощаем.
Ответ: После упрощения выражение равно \( 0 \).

Упражнение № 68. Решение

№ 68. Вычислить:
1) \( 2^{\sqrt{5}} \cdot 2^{-\sqrt{5}} \)
Решение:
Используем свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):
\[ 2^{\sqrt{5}} \cdot 2^{-\sqrt{5}} = 2^{\sqrt{5} — \sqrt{5}} = 2^0 = 1 \] Ответ: \( 2^{\sqrt{5}} \cdot 2^{-\sqrt{5}} = 1 \)

2) \( 3^{2\sqrt{2}} : 9^{\sqrt{2}} \)
Решение:
Представим \( 9 \) как \( 3^2 \):
\[ 3^{2\sqrt{2}} : (3^2)^{\sqrt{2}} = 3^{2\sqrt{2}} : 3^{2\sqrt{2}} = 1 \] Ответ: \( 3^{2\sqrt{2}} : 9^{\sqrt{2}} = 1 \)

3) \( (5^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}} \)
Решение:
Используем свойство степеней \( (a^m)^n = a^{mn} \):
\[ (5^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}} = 5^{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = 5^3 = 125 \] Ответ: \( (5^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}} = 125 \)

4) \( ((0,5)^{\sqrt{2}})^{\sqrt{8}} \)
Решение:
Упростим показатель степени:
\[ \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4 \] Теперь возводим:
\[ (0,5)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} \] Ответ: \( ((0,5)^{\sqrt{2}})^{\sqrt{8}} = \frac{1}{16} \)

Упражнение № 69. Решение

№ 69. Вычислить:
1) \( 2^{2 — 3\sqrt{5}} \cdot 8^{\sqrt{5}} \)
Решение:
— Представим 8 как степень двойки: \( 8 = 2^3 \).
— Перепишем выражение:
\[ 2^{2 — 3\sqrt{5}} \cdot (2^3)^{\sqrt{5}} = 2^{2 — 3\sqrt{5}} \cdot 2^{3\sqrt{5}} = 2^{2 — 3\sqrt{5} + 3\sqrt{5}} = 2^2 \] Ответ: \( 2^{2 — 3\sqrt{5}} \cdot 8^{\sqrt{5}} = 4 \)

2) \( 3^{1 + 2\sqrt[3]{2}} : 9^{\sqrt[3]{2}} \)
Решение:
— Представим 9 как степень тройки: \( 9 = 3^2 \).
— Перепишем выражение:
\[ 3^{1 + 2\sqrt[3]{2}} : (3^2)^{\sqrt[3]{2}} = 3^{1 + 2\sqrt[3]{2}} : 3^{2\sqrt[3]{2}} = 3^{1 + 2\sqrt[3]{2} — 2\sqrt[3]{2}} = 3^1 \] Ответ: \( 3^{1 + 2\sqrt[3]{2}} : 9^{\sqrt[3]{2}} = 3 \)

3) \( \left(5^{1 + \sqrt{2}}\right)^{1 — \sqrt{2}} \)
Решение: Упростим степень:
\[ 5^{(1 + \sqrt{2})(1 — \sqrt{2})} = 5^{1 — (\sqrt{2})^2} = 5^{1 — 2} = 5^{-1} \] Ответ: \( \left(5^{1 + \sqrt{2}}\right)^{1 — \sqrt{2}} = \frac{1}{5} \)

4) \( \left(5^{1 — \sqrt{5}}\right)^{1 + \sqrt{5}} — (\sqrt{5})^{0} \)
Решение. Упростим первую часть:
\[ 5^{(1 — \sqrt{5})(1 + \sqrt{5})} = 5^{1 — (\sqrt{5})^2} = 5^{1 — 5} = 5^{-4} \] — Вторая часть: \( (\sqrt{5})^{0} = 1 \).
— Итог:
\[ 5^{-4} — 1 = \frac{1}{625} — 1 = -\frac{624}{625} \] Ответ: \( \left(5^{1 — \sqrt{5}}\right)^{1 + \sqrt{5}} — (\sqrt{5})^{0} = -\frac{624}{625} \)

Упражнение № 70. Решение

№ 70. Вычислить:
1) \( 2^{1 — 2\sqrt{2}} \cdot 4^{\sqrt{2}} \)
Решение:
— Представим 4 как степень двойки: \( 4 = 2^2 \).
— Перепишем выражение:
\[ 2^{1 — 2\sqrt{2}} \cdot (2^2)^{\sqrt{2}} = 2^{1 — 2\sqrt{2}} \cdot 2^{2\sqrt{2}} = 2^{1 — 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}} = 2^1 \] Ответ: \( 2^{1 — 2\sqrt{2}} \cdot 4^{\sqrt{2}} = 2 \)

2) \( 3^{2 — 3\sqrt{3}} \cdot 27^{\sqrt{3}} \)
Решение:
— Представим 27 как степень тройки: \( 27 = 3^3 \).
— Перепишем выражение:
\[ 3^{2 — 3\sqrt{3}} \cdot (3^3)^{\sqrt{3}} = 3^{2 — 3\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}} = 3^{2 — 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3}} = 3^2 \] Ответ: \( 3^{2 — 3\sqrt{3}} \cdot 27^{\sqrt{3}} = 9 \)

3) \( 9^{1 + \sqrt{3}} \cdot 3^{1 — \sqrt{3}} \cdot 3^{-2 — \sqrt{3}} \)
Решение:
— Представим 9 как степень тройки: \( 9 = 3^2 \).
— Перепишем выражение:
\[ (3^2)^{1 + \sqrt{3}} \cdot 3^{1 — \sqrt{3}} \cdot 3^{-2 — \sqrt{3}} = 3^{2 + 2\sqrt{3}} \cdot 3^{1 — \sqrt{3} — 2 — \sqrt{3}} = 3^{2 + 2\sqrt{3} — 1 — 2\sqrt{3}} = 3^1 \] Ответ: \( 9^{1 + \sqrt{3}} \cdot 3^{1 — \sqrt{3}} \cdot 3^{-2 — \sqrt{3}} = 3 \)

4) \( 4^{3 + \sqrt{2}} \cdot 2^{1 — \sqrt{2}} \cdot 2^{-4 — \sqrt{2}} \)
Решение:
— Представим 4 как степень двойки: \( 4 = 2^2 \).
— Перепишем выражение:
\[ (2^2)^{3 + \sqrt{2}} \cdot 2^{1 — \sqrt{2}} \cdot 2^{-4 — \sqrt{2}} = 2^{6 + 2\sqrt{2}} \cdot 2^{1 — \sqrt{2} — 4 — \sqrt{2}} = 2^{6 + 2\sqrt{2} — 3 — 2\sqrt{2}} = 2^3 \] Ответ: \( 4^{3 + \sqrt{2}} \cdot 2^{1 — \sqrt{2}} \cdot 2^{-4 — \sqrt{2}} = 8 \)

Упражнение № 71. Решение

№ 71. Вычислить:
1) \( \frac{10^{2 + \sqrt{7}}}{2^{2 + \sqrt{7}} \cdot 5^{1 + \sqrt{7}}} \)
Решение:
— Разложим 10: \( 10 = 2 \cdot 5 \).
— Перепишем числитель:
\[ 10^{2 + \sqrt{7}} = (2 \cdot 5)^{2 + \sqrt{7}} = 2^{2 + \sqrt{7}} \cdot 5^{2 + \sqrt{7}} \] — Подставим в выражение:
\[ \frac{2^{2 + \sqrt{7}} \cdot 5^{2 + \sqrt{7}}}{2^{2 + \sqrt{7}} \cdot 5^{1 + \sqrt{7}}} = 5^{(2 + \sqrt{7}) — (1 + \sqrt{7})} = 5^1 \] Ответ: \( \frac{10^{2 + \sqrt{7}}}{2^{2 + \sqrt{7}} \cdot 5^{1 + \sqrt{7}}} = 5 \)

2) \( \frac{6^{3 + \sqrt{5}}}{2^{2 + \sqrt{5}} \cdot 3^{1 + \sqrt{5}}} \)
Решение:
— Разложим 6: \( 6 = 2 \cdot 3 \).
— Перепишем числитель:
\[ 6^{3 + \sqrt{5}} = (2 \cdot 3)^{3 + \sqrt{5}} = 2^{3 + \sqrt{5}} \cdot 3^{3 + \sqrt{5}} \] — Подставим в выражение:
\[ \frac{2^{3 + \sqrt{5}} \cdot 3^{3 + \sqrt{5}}}{2^{2 + \sqrt{5}} \cdot 3^{1 + \sqrt{5}}} = 2^{(3 + \sqrt{5}) — (2 + \sqrt{5})} \cdot 3^{(3 + \sqrt{5}) — (1 + \sqrt{5})} = 2^1 \cdot 3^2 = 18 \] Ответ: \( \frac{6^{3 + \sqrt{5}}}{2^{2 + \sqrt{5}} \cdot 3^{1 + \sqrt{5}}} = 18 \)

3) \( \left(25^{1 + \sqrt{2}} — 5^{2\sqrt{2}}\right) \cdot 5^{-1 — 2\sqrt{2}} \)
Решение:
— Представим 25 как степень пятерки: \( 25 = 5^2 \).
— Перепишем выражение:
\[ \left((5^2)^{1 + \sqrt{2}} — 5^{2\sqrt{2}}\right) \cdot 5^{-1 — 2\sqrt{2}} = \left(5^{2 + 2\sqrt{2}} — 5^{2\sqrt{2}}\right) \cdot 5^{-1 — 2\sqrt{2}} \] — Раскроем скобки:
\[ 5^{2 + 2\sqrt{2} — 1 — 2\sqrt{2}} — 5^{2\sqrt{2} — 1 — 2\sqrt{2}} = 5^1 — 5^{-1} = 5 — \frac{1}{5} = \frac{24}{5} \] Ответ: \( \left(25^{1 + \sqrt{2}} — 5^{2\sqrt{2}}\right) \cdot 5^{-1 — 2\sqrt{2}} = \frac{24}{5} \)

4) \( \left(2^{2\sqrt{3}} — 4^{\sqrt{3} — 1}\right) \cdot 2^{-2\sqrt{3}} \)
Решение:
— Представим 4 как степень двойки: \( 4 = 2^2 \).
— Перепишем выражение:
\[ \left(2^{2\sqrt{3}} — (2^2)^{\sqrt{3} — 1}\right) \cdot 2^{-2\sqrt{3}} = \left(2^{2\sqrt{3}} — 2^{2\sqrt{3} — 2}\right) \cdot 2^{-2\sqrt{3}} \] — Раскроем скобки:
\[ 2^{2\sqrt{3} — 2\sqrt{3}} — 2^{2\sqrt{3} — 2 — 2\sqrt{3}} = 2^0 — 2^{-2} = 1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] Ответ: \( \left(2^{2\sqrt{3}} — 4^{\sqrt{3} — 1}\right) \cdot 2^{-2\sqrt{3}} = \frac{3}{4} \)

Упражнение № 72. Решение

№ 72. Выяснить, какое из чисел больше:
1) \( 3^{\sqrt{71}} \) или \( 3^{\sqrt{69}} \)
Решение:
— Основание степени \( 3 > 1 \), поэтому функция \( 3^x \) возрастает.
— Сравним показатели: \( \sqrt{71} > \sqrt{69} \).
Ответ: \( 3^{\sqrt{71}} > 3^{\sqrt{69}} \)

2) \( \left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{3}} \) или \( \left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{2}} \)
Решение:
— Основание степени \( \frac{1}{3} < 1 \), поэтому функция \( \left(\frac{1}{3}\right)^x \) убывает.
— Сравним показатели: \( \sqrt{3} > \sqrt{2} \).
Ответ: \( \left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{3}} < \left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{2}} \)

3) \( 4^{-\sqrt{3}} \) или \( 4^{-\sqrt{2}} \)
Решение:
— Основание степени \( 4 > 1 \), поэтому функция \( 4^x \) возрастает.
— Умножим показатели на \(-1\): \( -\sqrt{3} < -\sqrt{2} \).
Ответ: \( 4^{-\sqrt{3}} < 4^{-\sqrt{2}} \)

4) \( 2^{\sqrt{3}} \) или \( 2^{1,7} \)
Решение:
— Основание степени \( 2 > 1 \), поэтому функция \( 2^x \) возрастает.
— Сравним показатели: \( \sqrt{3} \approx 1,732 > 1,7 \).
Ответ: \( 2^{\sqrt{3}} > 2^{1,7} \)

5) \( \left(\frac{1}{2}\right)^{1,4} \) или \( \left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}} \)
Решение:
— Основание степени \( \frac{1}{2} < 1 \), поэтому функция \( \left(\frac{1}{2}\right)^x \) убывает.
— Сравним показатели: \( 1,4 < \sqrt{2} \approx 1,414 \).
Ответ: \( \left(\frac{1}{2}\right)^{1,4} > \left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}} \)

6) \( \left(\frac{1}{9}\right)^{\pi} \) или \( \left(\frac{1}{9}\right)^{3,14} \)
Решение:
— Основание степени \( \frac{1}{9} < 1 \), поэтому функция \( \left(\frac{1}{9}\right)^x \) убывает.
— Сравним показатели: \( \pi \approx 3,1416 > 3,14 \).
Ответ: \( \left(\frac{1}{9}\right)^{\pi} < \left(\frac{1}{9}\right)^{3,14} \)

Упражнение № 73. Решение

№ 73. Сравнить число с единицей:
1) \( 2^{-2} \)
Решение:
\[ 2^{-2} = \frac{1}{4} < 1 \] Ответ: \( 2^{-2} < 1 \)
2) \( (0,013)^{-1} \)
Решение:
\[
(0,013)^{-1} = \frac{1}{0,013} \approx 76,92 > 1
\] Ответ: \( (0,013)^{-1} > 1 \)

3) \( \left(\frac{2}{7}\right)^{5} \)
Решение:
\[
\frac{2}{7} < 1 \Rightarrow \left(\frac{2}{7}\right)^5 < 1
\] Ответ: \( \left(\frac{2}{7}\right)^5 < 1 \)

4) \( 27^{1,5} \)
Решение:
\[
27^{1,5} = 27^{3/2} = (\sqrt{27})^3 = 3^3 = 27 > 1
\] Ответ: \( 27^{1,5} > 1 \)

5) \( 2^{-\sqrt{5}} \)
Решение:
\[
2^{-\sqrt{5}} = \frac{1}{2^{\sqrt{5}}} \approx \frac{1}{4,64} < 1
\] Ответ: \( 2^{-\sqrt{5}} < 1 \)
6) \( \left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{3}} \)
Решение:
\[
\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{3}} = 2^{-\sqrt{3}} \approx \frac{1}{3,32} < 1
\] Ответ:
\[
\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{3}} < 1
\] 7) \( \left(\frac{\pi}{4}\right)^{\sqrt{5} — 2} \)
Решение:
— Оценим основание: \( \frac{\pi}{4} \approx 0,785 < 1 \).
— Оценим показатель: \( \sqrt{5} — 2 \approx 2,236 — 2 = 0,236 > 0 \).
— Для \( a < 1 \) и \( x > 0 \), \( a^x < 1 \).
Ответ:
\[
\left(\frac{\pi}{4}\right)^{\sqrt{5} — 2} < 1
\] 8) \( \left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{8} — 3} \)
Решение:
— Оценим показатель: \( \sqrt{8} — 3 \approx 2,828 — 3 = -0,172 < 0 \).
— Для \( a < 1 \) и \( x < 0 \), \( a^x > 1 \) (так как \( \left(\frac{1}{3}\right)^{-x} = 3^x \)).
Ответ:
\[
\left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{8} — 3} > 1
\] [/latex]

Вы смотрели: Учебник по алгебре УМК Алимов, Колягин 10 класс. Цитаты из пособия 2022 года использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Алгебра Алимов Упражнения 64-73.

Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.