Частная школа 10 класс

Читать онлайн фрагменты: Учебник по алгебре УМК Алимов, Колягин 10 класс Страница 33 Упражнения №№ 74 — 82 (задания, решения, ответы). Цитаты из пособия 2022 года использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения, а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения. Код материалов: Алгебра Алимов Упражнения 74-82.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.

Алгебра (УМК Алимов)
Страница 33. Упражнения 74-82

№ 74. Упростить выражение:
1) a^{√2} • a^{1─√2}; 2) a^{√3─1} • a^{√3+1}; 3) (b^{√3})^{√3} : b^2.

№ 75. Сравнить числа: 1) √[3]{2} и √[3]{3}; 2) √[4]{5} и √[4]{7}.

№ 76. Вычислить:
1) (1/16)^{─0,75} + 8100000^{0,25} ─ (7 {19/32})^{{1/5}};
2) 27^{2/3} ─ (─2)^{─2} + (3 {3/8})^{─1/3};
3) (0,001)^{─1/3} ─ 2^{─2} • 64^{2/3} ─ 8^{─1/3};
4) (─0,5)^{─4} ─ 625^{0,25} ─ (2 {1/4})^{─1 {1/2}}.

№ 77. Упростить выражение:
1) (a^4)^{─3/4} • (b^{─2/3})^{─6};
2) ((a^6 / b^{─3})^4)^{1/12}.

№ 78. Упростить выражение:
1) (a^{4/3} • (a^{─1/3} + a^{2/3})) / (a^{1/4} • (a^{3/4} + a^{─1/4}));
2) (b^{1/5} • (√[5]{b^4} ─ √[5]{b^{─1})) / (b^{2/3} • (√[3]{b} ─ √[3]{b^{─2})};
3) (a^{5/3} • b^{─1} ─ a^{─1/3}) / (√[3]{a^2});
4) (a^{1/3} • √b + b^{1/3} • √a) / (√[6]{a} + √[6]{b}).

№ 79. Вычислить:
1) (5^{5^3} • 3^{─1/3} ─ 3^{5^3} • 2^{─1/3}) • √[3]{6};
2) (5^{1/4} : 2^{3/4} ─ 2^{1/4} : 5^{3/4}) • √[4]{1000}.

№ 80. Упростить выражение:
1) a^{1/9} • √[6]{ a√[3]{a} };
2) b^{1/12} • √[3]{ b√[4]{b} };
3) (√[3]{ab^{─2}} + (ab)^{─1/6}) • √[6]{ab^4};
4) (√[3]{a} + √[3]{b}) • (a^{2/3} + b^{2/3} ─ √[3]{ab}).

№ 81. Упростить выражение:
1) (1 ─ 2√{b/a} + {b/a}) : (a^{1/2} ─ b^{1/2})^2;
2) (a^{1/3} + b^{1/3}) : (2 + √[3]{a/b} + √[3]{b/a});
3) (a^{1/4} ─ a^{9/4}) / (a^{1/4} ─ a^{5/4}) ─ (b^{─1/2} ─ b^{3/2}) / (b^{1/2} + b^{─1/2});
4) (√a ─ a^{─1/2}b) / (1 ─ √{a^{─1}b}) ─ (√[3]{a^2} ─ a^{─1/3}b) / (√[6]{a} + a^{-1/3} • √b).

№ 82. Упростить выражение:
1) (m^{√3} • n^{√3}) / ((mn)^{2+√3});
2) (x^{√7} • y^{√7+1}) / ((xy)^{√7});
3) (a^{√2} ─ b^{√3}) • (a^{√2} + b^{√3});
4) (2a^{─0,5} ─ {1/3} • b^{─√3}) • ({1/3} • b^{─√3} + 2a^{─0,5}).

 

Упражнение № 74. Решение

[latex]

№ 74. Упростить выражение:
1) \( a^{\sqrt{2}} \cdot a^{1 — \sqrt{2}} \)
Решение:
Используем свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):
\[ a^{\sqrt{2}} \cdot a^{1 — \sqrt{2}} = a^{\sqrt{2} + 1 — \sqrt{2}} = a^1. \] Ответ: \( a^{\sqrt{2}} \cdot a^{1 — \sqrt{2}} = a \).

2) \( a^{\sqrt{3} — 1} \cdot a^{\sqrt{3} + 1} \)
Решение:
Применяем свойство степеней:
\[ a^{\sqrt{3} — 1} \cdot a^{\sqrt{3} + 1} = a^{(\sqrt{3} — 1) + (\sqrt{3} + 1)} = a^{2\sqrt{3}}. \] Ответ: \( a^{\sqrt{3} — 1} \cdot a^{\sqrt{3} + 1} = a^{2\sqrt{3}} \).

3) \( (b^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}} : b^2 \)
Решение:
Сначала возводим в степень, затем делим:
\[ (b^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}} = b^{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = b^3, \] \[ b^3 : b^2 = b^{3 — 2} = b^1. \] Ответ: \( (b^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}} : b^2 = b \).

Упражнение № 75. Решение

№ 75. Сравнить числа:
1) \( \sqrt[3]{2} \) и \( \sqrt[3]{3} \)
Решение. Кубический корень — возрастающая функция, поэтому:
\[ 2 < 3 \Rightarrow \sqrt[3]{2} < \sqrt[3]{3}. \] Ответ: \( \sqrt[3]{2} < \sqrt[3]{3} \).

2) \( \sqrt[4]{5} \) и \( \sqrt[4]{7} \)
Решение: Корень четной степени также возрастает для положительных чисел:
\[ 5 < 7 \Rightarrow \sqrt[4]{5} < \sqrt[4]{7}. \] Ответ: \( \sqrt[4]{5} < \sqrt[4]{7} \).

Упражнение № 76. Решение

№ 76. Вычислить:
1) \( \left( \frac{1}{16} \right)^{-0,75} + 8100000^{0,25} — \left( 7 \frac{19}{32} \right)^{\frac{1}{5}} \)
Решение:
1. \( \left( \frac{1}{16} \right)^{-0,75} = 16^{0,75} = (2^4)^{3/4} = 2^3 = 8 \).
2. \( 8100000^{0,25} = (81 \cdot 10^4)^{1/4} = 3 \cdot 10 = 30 \).
3. \( 7 \frac{19}{32} = \frac{243}{32} \), \( \left( \frac{243}{32} \right)^{1/5} = \frac{3}{2} = 1,5 \).
Итого: \( 8 + 30 — 1,5 = 36,5 \).
Ответ: \( \left( \frac{1}{16} \right)^{-0,75} + 8100000^{0,25} — \left( 7 \frac{19}{32} \right)^{\frac{1}{5}} = 36,5 \).

2) \( 27^{\frac{2}{3}} — (-2)^{-2} + \left( 3 \frac{3}{8} \right)^{-\frac{1}{3}} \)
Решение:
1. \( 27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{2/3} = 3^2 = 9 \).
2. \( (-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4} \).
3. \( 3 \frac{3}{8} = \frac{27}{8} \), \( \left( \frac{27}{8} \right)^{-1/3} = \left( \frac{8}{27} \right)^{1/3} = \frac{2}{3} \).
Итого: \( 9 — \frac{1}{4} + \frac{2}{3} = 9 + \frac{5}{12} = \frac{113}{12} \).
Ответ: \( 27^{\frac{2}{3}} — (-2)^{-2} + \left( 3 \frac{3}{8} \right)^{-\frac{1}{3}} = \frac{113}{12} \).

3) \( (0,001)^{-\frac{1}{3}} — 2^{-2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} — 8^{-\frac{1}{3}} \)
Решение:
1. \( (0,001)^{-1/3} = (10^{-3})^{-1/3} = 10 \).
2. \( 2^{-2} = \frac{1}{4} \), \( 64^{2/3} = (4^3)^{2/3} = 16 \), \( \frac{1}{4} \cdot 16 = 4 \).
3. \( 8^{-1/3} = \frac{1}{2} \).
Итого: \( 10 — 4 — \frac{1}{2} = 5,5 \).
Ответ: \( (0,001)^{-\frac{1}{3}} — 2^{-2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} — 8^{-\frac{1}{3}} = 5,5 \).

4) \( (-0,5)^{-4} — 625^{0,25} — \left( 2 \frac{1}{4} \right)^{-1 \frac{1}{2}} \)
Решение:
1. \( (-0,5)^{-4} = \left( -\frac{1}{2} \right)^{-4} = (-2)^4 = 16 \).
2. \( 625^{0,25} = 5 \).
3. \( 2 \frac{1}{4} = \frac{9}{4} \), \( \left( \frac{9}{4} \right)^{-3/2} = \left( \frac{4}{9} \right)^{3/2} = \frac{8}{27} \).
Итого: \( 16 — 5 — \frac{8}{27} = 10 \frac{19}{27} \).
Ответ: \( (-0,5)^{-4} — 625^{0,25} — \left( 2 \frac{1}{4} \right)^{-1 \frac{1}{2}} = \frac{289}{27} \).

Упражнение № 77. Решение

№ 77. Упростить выражение:
1) \( (a^4)^{-\frac{3}{4}} \cdot (b^{-\frac{2}{3}})^{-6} \)
Решение:
1. \( (a^4)^{-3/4} = a^{-3} \).
2. \( (b^{-2/3})^{-6} = b^4 \).
Итого: \( a^{-3} \cdot b^4 = \frac{b^4}{a^3} \).
Ответ: \( (a^4)^{-\frac{3}{4}} \cdot (b^{-\frac{2}{3}})^{-6} = \frac{b^4}{a^3} \).

2) \( \left( \left( \frac{a^6}{b^{-3}} \right)^4 \right)^{\frac{1}{12}} \)
Решение:
1. Упрощаем внутреннюю часть: \( \frac{a^6}{b^{-3}} = a^6 \cdot b^3 \).
2. Возводим в 4-ю степень: \( (a^6 b^3)^4 = a^{24} b^{12} \).
3. Извлекаем корень 12-й степени: \( (a^{24} b^{12})^{1/12} = a^2 b \).
Ответ: \( \left( \left( \frac{a^6}{b^{-3}} \right)^4 \right)^{\frac{1}{12}} = a^2 b \).

Упражнение № 78. Решение

№ 78. Упростить выражение:
1) \( \frac{a^{\frac{4}{3}} \cdot (a^{-\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{4}} \cdot (a^{\frac{3}{4}} + a^{-\frac{1}{4}})} \)
Решение:
1. Раскрываем скобки в числителе:
\[ a^{\frac{4}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{3}} + a^{\frac{4}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}} = a^1 + a^2. \] 2. Раскрываем скобки в знаменателе:
\[ a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{-\frac{1}{4}} = a^1 + a^0 = a + 1. \] 3. Делим числитель на знаменатель:
\[ \frac{a + a^2}{a + 1} = \frac{a(1 + a)}{a + 1} = a. \] Ответ: \( \frac{a^{\frac{4}{3}} \cdot (a^{-\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{4}} \cdot (a^{\frac{3}{4}} + a^{-\frac{1}{4}})} = a \).

2) \( \frac{b^{\frac{1}{5}} \cdot (\sqrt[5]{b^4} — \sqrt[5]{b^{-1}})}{b^{\frac{2}{3}} \cdot (\sqrt[3]{b} — \sqrt[3]{b^{-2}})} \)
Решение:
1. Перепишем корни в виде степеней:
\[ \sqrt[5]{b^4} = b^{\frac{4}{5}}, \quad \sqrt[5]{b^{-1}} = b^{-\frac{1}{5}}, \] \[ \sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}, \quad \sqrt[3]{b^{-2}} = b^{-\frac{2}{3}}. \] 2. Упростим числитель и знаменатель:
Числитель:
\[ b^{\frac{1}{5}} \cdot (b^{\frac{4}{5}} — b^{-\frac{1}{5}}) = b^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}} — b^{\frac{1}{5} — \frac{1}{5}} = b^1 — b^0 = b — 1. \] Знаменатель:
\[ b^{\frac{2}{3}} \cdot (b^{\frac{1}{3}} — b^{-\frac{2}{3}}) = b^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} — b^{\frac{2}{3} — \frac{2}{3}} = b^1 — b^0 = b — 1. \] 3. Делим числитель на знаменатель:
\[ \frac{b — 1}{b — 1} = 1. \] Ответ: \( \frac{b^{\frac{1}{5}} \cdot (\sqrt[5]{b^4} — \sqrt[5]{b^{-1}})}{b^{\frac{2}{3}} \cdot (\sqrt[3]{b} — \sqrt[3]{b^{-2}})} = 1 \).

3) \( \frac{a^{\frac{5}{3}} \cdot b^{-1} — a^{-\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{a^2}} \)
Решение:
1. Перепишем корень: \( \sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}} \).
2. Разделим числитель на знаменатель:
\[ \frac{a^{\frac{5}{3}} \cdot b^{-1}}{a^{\frac{2}{3}}} — \frac{a^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}} = a^{1} b^{-1} — a^{-1} = \frac{a}{b} — \frac{1}{a}. \] Ответ: \( \frac{a^{\frac{5}{3}} \cdot b^{-1} — a^{-\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{a^2}} = \frac{a}{b} — \frac{1}{a} \).

4) \( \frac{a^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{b} + b^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} \)
Решение:
1. Перепишем корни в виде степеней:
\[ \sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}}, \quad \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}, \quad \sqrt[6]{a} = a^{\frac{1}{6}}, \quad \sqrt[6]{b} = b^{\frac{1}{6}}. \] 2. Числитель:
\[ a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}}. \] 3. Знаменатель:
\[ a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}. \] 4. Заметим, что числитель можно разложить как:
\[ (a^{\frac{1}{6}})^2 (b^{\frac{1}{6}})^3 + (a^{\frac{1}{6}})^3 (b^{\frac{1}{6}})^2 = a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}}. \] 5. Общий множитель: \( a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{6}} \), тогда:
\[ a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{6}} (a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{6}}) = a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{6}} (a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}) (a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{6}}). \] 6. Сокращаем знаменатель:
\[ \frac{a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{6}} (a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}} = a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{6}}. \] Ответ:
\( \frac{a^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{b} + b^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} = \sqrt[6]{a b} \).

Упражнение № 79. Решение

№ 79. Вычислить:
1) \((5^{5^3} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} — 3^{5^3} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}) \cdot \sqrt[3]{6}\)
Решение:
1. Упростим выражение, учитывая, что \(5^3 = 125\):
\[
(5^{125} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} — 3^{125} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}) \cdot 6^{\frac{1}{3}}
\] 2. Раскроем скобки:
\[
5^{125} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{3}} — 3^{125} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{3}}
\] 3. Упростим степени:
\[
5^{125} \cdot \left( \frac{6}{3} \right)^{\frac{1}{3}} — 3^{125} \cdot \left( \frac{6}{2} \right)^{\frac{1}{3}}
\] \[
5^{125} \cdot 2^{\frac{1}{3}} — 3^{125} \cdot 3^{\frac{1}{3}}
\] \[
5^{125} \cdot 2^{\frac{1}{3}} — 3^{125 + \frac{1}{3}} = 5^{125} \cdot 2^{\frac{1}{3}} — 3^{\frac{376}{3}}
\] 4. Дальнейшее упрощение невозможно, так как степени разных чисел не приводятся к общему виду.
Ответ:
\[
(5^{5^3} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} — 3^{5^3} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}) \cdot \sqrt[3]{6} = 5^{125} \cdot 2^{\frac{1}{3}} — 3^{\frac{376}{3}}
\]

2) \((5^{\frac{1}{4}} : 2^{\frac{3}{4}} — 2^{\frac{1}{4}} : 5^{\frac{3}{4}}) \cdot \sqrt[4]{1000}\)
Решение:
1. Перепишем деление как умножение на обратную степень:
\[
\left( 5^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{-\frac{3}{4}} — 2^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{-\frac{3}{4}} \right) \cdot 1000^{\frac{1}{4}}
\] 2. Упростим выражение:
\[
\left( \frac{5^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{3}{4}}} — \frac{2^{\frac{1}{4}}}{5^{\frac{3}{4}}} \right) \cdot (10^3)^{\frac{1}{4}} = \left( \frac{5^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{3}{4}}} — \frac{2^{\frac{1}{4}}}{5^{\frac{3}{4}}} \right) \cdot 10^{\frac{3}{4}}
\] 3. Приведем к общему знаменателю:
\[
\frac{5 — 2}{2^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}}} \cdot 10^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{(2 \cdot 5)^{\frac{3}{4}}} \cdot 10^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{10^{\frac{3}{4}}} \cdot 10^{\frac{3}{4}} = 3
\] Ответ:
\[
(5^{\frac{1}{4}} : 2^{\frac{3}{4}} — 2^{\frac{1}{4}} : 5^{\frac{3}{4}}) \cdot \sqrt[4]{1000} = 3
\]

Упражнение № 80. Решение

№ 80. Упростить выражение:
1) \(a^{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt[6]{a \sqrt[3]{a}}\)
Решение:
1. Перепишем корни в виде степеней:
\[
a^{\frac{1}{9}} \cdot \left( a \cdot a^{\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{1}{9}} \cdot \left( a^{\frac{4}{3}} \right)^{\frac{1}{6}}
\] 2. Упростим степени:
\[
a^{\frac{1}{9}} \cdot a^{\frac{4}{18}} = a^{\frac{1}{9} + \frac{2}{9}} = a^{\frac{3}{9}} = a^{\frac{1}{3}}
\] Ответ:
\[
a^{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt[6]{a \sqrt[3]{a}} = a^{\frac{1}{3}}
\]

2) \(b^{\frac{1}{12}} \cdot \sqrt[3]{b \sqrt[4]{b}}\)
Решение:
1. Перепишем корни в виде степеней:
\[
b^{\frac{1}{12}} \cdot \left( b \cdot b^{\frac{1}{4}} \right)^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{12}} \cdot \left( b^{\frac{5}{4}} \right)^{\frac{1}{3}}
\] 2. Упростим степени:
\[
b^{\frac{1}{12}} \cdot b^{\frac{5}{12}} = b^{\frac{6}{12}} = b^{\frac{1}{2}}
\] Ответ:
\[
b^{\frac{1}{12}} \cdot \sqrt[3]{b \sqrt[4]{b}} = b^{\frac{1}{2}}
\]

3) \((\sqrt[3]{ab^{-2}} + (ab)^{-\frac{1}{6}}) \cdot \sqrt[6]{ab^4}\)
Решение:
1. Перепишем корни в виде степеней:
\[
\left( a^{\frac{1}{3}} b^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{6}} b^{-\frac{1}{6}} \right) \cdot a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{4}{6}}
\] 2. Раскроем скобки:
\[
a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} b^{-\frac{2}{3} + \frac{4}{6}} + a^{-\frac{1}{6} + \frac{1}{6}} b^{-\frac{1}{6} + \frac{4}{6}}
\] \[
a^{\frac{1}{2}} b^{-\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{2}}
\] Ответ:
\[
(\sqrt[3]{ab^{-2}} + (ab)^{-\frac{1}{6}}) \cdot \sqrt[6]{ab^4} = a^{\frac{1}{2}} b^{-\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{2}}
\]

4) \((\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) \cdot (a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} — \sqrt[3]{ab})\)
Решение:
1. Заметим, что это формула суммы кубов:
\[
a + b = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})
\] 2. Таким образом, выражение равно: \( a + b \)
Ответ:
\[
(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) \cdot (a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} — \sqrt[3]{ab}) = a + b
\]

Упражнение № 81. Решение

№ 81. Упростить выражение:
1) \((1 — 2\sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{a}) : (a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})^2\)
Решение:
1. Упростим числитель:
\[
1 — 2\sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{a} = \left(1 — \sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2
\] 2. Упростим знаменатель:
\[
(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})^2 = a — 2\sqrt{ab} + b
\] 3. Подставим обратно:
\[
\frac{\left(1 — \sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2}{a — 2\sqrt{ab} + b}
\] 4. Упростим:
\[
\frac{\left(\frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt{a}}\right)^2}{(\sqrt{a} — \sqrt{b})^2} = \frac{1}{a}
\] Ответ:
\[
(1 — 2\sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{a}) : (a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})^2 = \frac{1}{a}
\]

2) \((a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) : (2 + \sqrt[3]{\frac{a}{b}} + \sqrt[3]{\frac{b}{a}})\)
Решение:
1. Упростим знаменатель:
\[
2 + \sqrt[3]{\frac{a}{b}} + \sqrt[3]{\frac{b}{a}} = \frac{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}
\] 2. Подставим обратно:
\[
\frac{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}{\frac{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}} = a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}
\] Ответ:
\[
(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) : (2 + \sqrt[3]{\frac{a}{b}} + \sqrt[3]{\frac{b}{a}}) = a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}
\]

3) \(\frac{a^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{9}{4}}}{a^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{5}{4}}} — \frac{b^{-\frac{1}{2}} — b^{\frac{3}{2}}}{b^{\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}}}\)
Решение:
1. Упростим первую дробь:
\[
\frac{a^{\frac{1}{4}}(1 — a^2)}{a^{\frac{1}{4}}(1 — a)} = \frac{1 + a}{1} = 1 + a
\] 2. Упростим вторую дробь:
\[
\frac{b^{-\frac{1}{2}}(1 — b^2)}{b^{-\frac{1}{2}}(b + 1)} = \frac{1 — b}{1} = 1 — b
\] 3. Подставим обратно:
\[
(1 + a) — (1 — b) = a + b
\] Ответ:
\[
\frac{a^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{9}{4}}}{a^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{5}{4}}} — \frac{b^{-\frac{1}{2}} — b^{\frac{3}{2}}}{b^{\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}}} = a + b
\]

4) \(\frac{\sqrt{a} — a^{-\frac{1}{2}}b}{1 — \sqrt{a^{-1}b}} — \frac{\sqrt[3]{a^2} — a^{-\frac{1}{3}}b}{\sqrt[6]{a} + a^{-\frac{1}{3}} \sqrt{b}}\)
Решение:
1. Упростим первую дробь:
\[
\frac{a^{\frac{1}{2}} — a^{-\frac{1}{2}}b}{1 — a^{-\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}(1 — a^{-1}b)}{1 — a^{-\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{a}
\] 2. Упростим вторую дробь:
\[
\frac{a^{\frac{2}{3}} — a^{-\frac{1}{3}}b}{a^{\frac{1}{6}} + a^{-\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{3}}
\] 3. Подставим обратно:
\[
\sqrt{a} — \sqrt[3]{a}
\] Ответ:
\[
\frac{\sqrt{a} — a^{-\frac{1}{2}}b}{1 — \sqrt{a^{-1}b}} — \frac{\sqrt[3]{a^2} — a^{-\frac{1}{3}}b}{\sqrt[6]{a} + a^{-\frac{1}{3}} \sqrt{b}} = \sqrt{a} — \sqrt[3]{a}
\]

Упражнение № 82. Решение

№ 82. Упростить выражение:
1) \(\frac{m^{\sqrt{3}} \cdot n^{\sqrt{3}}}{(mn)^{2 + \sqrt{3}}}\)
Решение:
1. Упростим знаменатель:
\[
(mn)^{2 + \sqrt{3}} = m^{2 + \sqrt{3}} \cdot n^{2 + \sqrt{3}}
\] 2. Подставим обратно:
\[
\frac{m^{\sqrt{3}} \cdot n^{\sqrt{3}}}{m^{2 + \sqrt{3}} \cdot n^{2 + \sqrt{3}}} = m^{-2} \cdot n^{-2}
\] Ответ:
\[
\frac{m^{\sqrt{3}} \cdot n^{\sqrt{3}}}{(mn)^{2 + \sqrt{3}}} = m^{-2} \cdot n^{-2}
\]

2) \(\frac{x^{\sqrt{7}} \cdot y^{\sqrt{7} + 1}}{(xy)^{\sqrt{7}}}\)
Решение:
1. Упростим знаменатель:
\[
(xy)^{\sqrt{7}} = x^{\sqrt{7}} \cdot y^{\sqrt{7}}
\] 2. Подставим обратно:
\[
\frac{x^{\sqrt{7}} \cdot y^{\sqrt{7} + 1}}{x^{\sqrt{7}} \cdot y^{\sqrt{7}}} = y
\] Ответ:
\[
\frac{x^{\sqrt{7}} \cdot y^{\sqrt{7} + 1}}{(xy)^{\sqrt{7}}} = y
\]

3) \((a^{\sqrt{2}} — b^{\sqrt{3}}) \cdot (a^{\sqrt{2}} + b^{\sqrt{3}})\)
Решение:
1. Это разность квадратов:
\[
(a^{\sqrt{2}})^2 — (b^{\sqrt{3}})^2 = a^{2\sqrt{2}} — b^{2\sqrt{3}}
\] Ответ:
\[
(a^{\sqrt{2}} — b^{\sqrt{3}}) \cdot (a^{\sqrt{2}} + b^{\sqrt{3}}) = a^{2\sqrt{2}} — b^{2\sqrt{3}}
\] 4) \((2a^{-0,5} — \frac{1}{3} b^{-\sqrt{3}}) \cdot (\frac{1}{3} b^{-\sqrt{3}} + 2a^{-0,5})\)
Решение:
1. Это разность квадратов:
\[
(2a^{-0,5})^2 — \left(\frac{1}{3} b^{-\sqrt{3}}\right)^2 = 4a^{-1} — \frac{1}{9} b^{-2\sqrt{3}}
\] Ответ:
\[
(2a^{-0,5} — \frac{1}{3} b^{-\sqrt{3}}) \cdot (\frac{1}{3} b^{-\sqrt{3}} + 2a^{-0,5}) = 4a^{-1} — \frac{1}{9} b^{-2\sqrt{3}}
\] [/latex]

---

Вы смотрели: Учебник по алгебре УМК Алимов, Колягин 10 класс. Цитаты из пособия 2022 года использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Алгебра Алимов Упражнения 74-82.

Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.