Читать онлайн фрагменты: Учебник по алгебре УМК Алимов, Колягин 10 класс Страница 34 Упражнения №№ 83 — 91 (задания, решения, ответы). Цитаты из пособия 2022 года использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения, а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения. Код материалов: Алгебра Алимов Упражнения 83-91.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.
Алгебра (УМК Алимов)
Страница 34. Упражнения 83-91
№ 83. Упростите выражение:
1) (a^{1+√2})^{1─√2};
2) (m^{(1─√5)/(1+√5)})^{─3} • m^{(3√5)/2};
3) (a^{√[3]{2} + √[3]{3}})^{√[3]{4} ─ √[3]{6} + √[3]{9}};
4) (a^{√[3]{9} + √[3]{3} + 1})^{1─√[3]{3}}.
№ 84. Решить уравнение:
1) 5^{2x} = 5^4; 2) (1/2)^{2x} = (1/2)^{─1};
3) 9^x = 3^{2√2}; 4) 16^x = 2^{8π}.
№ 85. Решить уравнение:
1) 7^{x√3} = √7; 2) 25^{x√2} = 5√5;
3) (√2)^x = 2√2; 4) (√3)^{3x} = 3√3.
№ 86. Сравнить числа:
1) √[3]{10} и √[5]{20}; 2) √[4]{5} и √[3]{7};
3) √{17} и √[3]{28}; 4) √[4]{13} и √[5]{23}.
№ 87. Упростить выражение:
1) (a^{3/2}) / (√a + √b) ─ (ab^{1/2}) / (√b ─ √a) ─ (2a^2) / (a ─ b};
2) (3xy ─ y^2) / (x ─ y) ─ (y√y) / (√x ─ √y) ─ (y√x) / (√x + √y);
3) 1 / (√[3]{a} + √[3]{b}) ─ (√[3]{a} + √[3]{b}) / (a^{2/3} ─ √[3]{ab} + b^{2/3});
4) (√[3]{a^2} ─ √[3]{b^2}) / (√[3]{a} ─ √[3]{b}) ─ (a─b) / (a^{2/3} + √[3]{ab} + b^{2/3}).
№ 88. Упростить выражение:
1) (a ─ b) / (√[3]{a} ─ √[3]{b}) ─ (a + b) / (a^{1/3} + b^{1/3});
2) (a + b) / (a^{2/3} ─ a^{1/3} • b^{1/3} + b^{2/3}) ─ (a ─ b) / (a^{2/3} + √[3]{ab} + b^{2/3});
3) (a^{2/3} + b^{2/3}) / (a ─ b) ─ 1 / (a^{1/3} ─ b^(1/3});
4) (a^{1/3} ─ b^{1/3}) / (a + b) ─ 1 / (a^{2/3} ─ a^{1/3} • b^{1/3} + b^{2/3}).
№ 89. Упростить выражение:
1) (x + y) / (x^{2/3} ─ x^{1/3} • y^{1/3} + y^{2/3}) + (x ─ y) / (x^{2/3} + x^{1/3} • y^{1/3} + y^{2/3}) ─ (y^{2/3} ─ y^{2/3}) / (x^{1/3} ─ y^{1/3});
2) ((a ─ b)^2) / (a^{3/2} ─ b^{3/2}) + (a^2 ─ b^2) / ((a^{1/2} + b^{1/2}) • (a + a^{1/2} • b^{1/2} + b));
3) ((3x^{2/3} + 5x^{1/3}) / (x + 1) : 1 / (x^{1/3} + 1)) : (4x^{1/3} + 4 + 1/(x^{1/3})).
№ 90. Вкладчик вложил в банк 5000 р. под 2% годовых. Сколько денег получит вкладчик через 3 года?
№ 91. Банк начисляет ежегодно 3% от суммы вклада. Сколько денег получит вкладчик через 2 года 7 месяцев, если первоначальная сумма вклада составляла 2000 р.?
Упражнение № 83. Решение
№ 83. Упростите выражение:
1) \((a^{1+\sqrt{2}})^{1-\sqrt{2}}\)
Решение:
Используем свойство степеней \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\):
\[
a^{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})} = a^{1 \cdot 1 — 1 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 — \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = a^{1 — (\sqrt{2})^2} = a^{1 — 2} = a^{-1}
\]
Ответ: \((a^{1+\sqrt{2}})^{1-\sqrt{2}} = \frac{1}{a}\)
2) \((m^{\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}})^{-3} \cdot m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}}\)
Решение:
Сначала упростим показатель степени:
\[
\left(m^{\frac{1-\sqrt{5}}{1+sqrt{5}}}\right)^{-3} = m^{-3 \cdot \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}}
\]
Умножим на \(m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}}\):
\[
m^{-3 \cdot \frac{1-\sqrt{5}}{1+sqrt{5}} + \frac{3\sqrt{5}}{2}}
\]
Упростим показатель:
\[
-3 \cdot \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} + \frac{3\sqrt{5}}{2} = 3 \left( \frac{\sqrt{5} — 1}{1+\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)
\]
Рационализируем первую дробь:
\[
\frac{\sqrt{5} — 1}{1+\sqrt{5}} \cdot \frac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{5} — 1)(1 — \sqrt{5})}{1 — 5} = \frac{\sqrt{5} — 5 — 1 + \sqrt{5}}{-4} = \frac{2\sqrt{5} — 6}{-4} = \frac{3 — \sqrt{5}}{2}
\]
Теперь подставим:
\[
3 \left( \frac{3 — \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right) = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2}
\]
Итоговый показатель степени: \(\frac{9}{2}\).
Ответ: \((m^{\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}})^{-3} \cdot m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}} = m^{\frac{9}{2}}\)
3) \((a^{\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3}})^{\sqrt[3]{4} — \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}}\)
Решение:
Упростим показатель степени:
\[
(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{4} — \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}) = (\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3})((\sqrt[3]{2})^2 — \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2)
\]
Это формула суммы кубов:
\[
(\sqrt[3]{2})^3 + (\sqrt[3]{3})^3 = 2 + 3 = 5
\]
Итоговый показатель степени: \(5\).
Ответ: \((a^{\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3}})^{\sqrt[3]{4} — \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}} = a^5\)
4) \((a^{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1})^{1 — \sqrt[3]{3}}\)
Решение:
Упростим показатель степени:
\[
(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)(1 — \sqrt[3]{3}) = \sqrt[3]{9} \cdot 1 — \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3} \cdot 1 — \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3} + 1 \cdot 1 — 1 \cdot \sqrt[3]{3}
\]
Упростим:
\[
\sqrt[3]{9} — \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{3} — \sqrt[3]{9} + 1 — \sqrt[3]{3} = -3 + 1 = -2
\]
Итоговый показатель степени: \(-2\).
Ответ: \((a^{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1})^{1 — \sqrt[3]{3}} = a^{-2}\)
Упражнение № 84. Решение
№ 84. Решить уравнение:
1) \(5^{2x} = 5^4\)
Решение. Основания равны, значит, показатели равны:
\[
2x = 4 ⇒ x = 2
\]
ОТВЕТ: \(5^{2x} = 5^4 ⇒ x = 2\)
2) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}\)
Решение. Основания равны, значит, показатели равны:
\[
2x = -1 ⇒ x = -\frac{1}{2}
\]
ОТВЕТ: \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} ⇒ x = -\frac{1}{2}\)
3) \(9^x = 3^{2\sqrt{2}}\)
Решение. Приведем к одному основанию:
\[
9 = 3^2 ⇒ 9^x = 3^{2x}
\]
Теперь уравнение:
\[
3^{2x} = 3^{2\sqrt{2}} ⇒ 2x = 2\sqrt{2} ⇒ x = \sqrt{2}
\]
ОТВЕТ: \(9^x = 3^{2\sqrt{2}} ⇒ x = \sqrt{2}\)
4) \(16^x = 2^{8\pi}\)
Решение. Приведем к одному основанию:
\[
16 = 2^4 ⇒ 16^x = 2^{4x}
\]
Теперь уравнение:
\[
2^{4x} = 2^{8\pi} ⇒ 4x = 8\pi ⇒ x = 2\pi
\]
ОТВЕТ: \(16^x = 2^{8\pi} ⇒ x = 2\pi\)
Упражнение № 85. Решение
№ 85. Решить уравнение:
1) \(7^{x\sqrt{3}} = \sqrt{7}\)
Решение. Приведем правую часть к степени:
\[
\sqrt{7} = 7^{1/2}
\]
Теперь уравнение:
\[
7^{x\sqrt{3}} = 7^{1/2} ⇒ x\sqrt{3} = \frac{1}{2} ⇒ x = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}
\]
ОТВЕТ: \(7^{x\sqrt{3}} = \sqrt{7} ⇒ x = \frac{\sqrt{3}}{6}\)
2) \(25^{x\sqrt{2}} = 5\sqrt{5}\)
Решение. Приведем к одному основанию:
\[
25 = 5^2 ⇒ 25^{x\sqrt{2}} = 5^{2x\sqrt{2}}
\]
Правая часть:
\[
5\sqrt{5} = 5^{1} \cdot 5^{1/2} = 5^{3/2}
\]
Теперь уравнение:
\[
5^{2x\sqrt{2}} = 5^{3/2} ⇒ 2x\sqrt{2} = \frac{3}{2} ⇒ x = \frac{3}{4\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{8}
\]
ОТВЕТ: \(25^{x\sqrt{2}} = 5\sqrt{5} ⇒ x = \frac{3\sqrt{2}}{8}\)
3) \((\sqrt{2})^x = 2\sqrt{2}\)
Решение. Приведем к степеням двойки:
\[
\sqrt{2} = 2^{1/2} ⇒ (\sqrt{2})^x = 2^{x/2}
\]
Правая часть:
\[
2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{1/2} = 2^{3/2}
\]
Теперь уравнение:
\[
2^{x/2} = 2^{3/2} ⇒ \frac{x}{2} = \frac{3}{2} ⇒ x = 3
\]
ОТВЕТ: \((\sqrt{2})^x = 2\sqrt{2} ⇒ x = 3\)
4) \((\sqrt{3})^{3x} = 3\sqrt{3}\)
Решение. Приведем к степеням тройки:
\[
\sqrt{3} = 3^{1/2} ⇒ (\sqrt{3})^{3x} = 3^{3x/2}
\]
Правая часть:
\[
3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{1/2} = 3^{3/2}
\]
Теперь уравнение:
\[
3^{3x/2} = 3^{3/2} ⇒ \frac{3x}{2} = \frac{3}{2} ⇒ x = 1
\]
ОТВЕТ: \((\sqrt{3})^{3x} = 3\sqrt{3} ⇒ x = 1\)
Упражнение № 86. Решение
№ 86. Сравнить числа:
1) \(\sqrt[3]{10}\) и \(\sqrt[5]{20}\)
Решение. Приведем к общему показателю степени (15):
\[
\sqrt[3]{10} = 10^{1/3} = 10^{5/15} = (10^5)^{1/15} = 100000^{1/15}
\]
\[
\sqrt[5]{20} = 20^{1/5} = 20^{3/15} = (20^3)^{1/15} = 8000^{1/15}
\]
Так как \(100000 > 8000\), то \(\sqrt[3]{10} > \sqrt[5]{20}\).
Ответ: \(\sqrt[3]{10} > \sqrt[5]{20}\)
2) \(\sqrt[4]{5}\) и \(\sqrt[3]{7}\)
Решение. Приведем к общему показателю степени (12):
\[
\sqrt[4]{5} = 5^{1/4} = 5^{3/12} = (5^3)^{1/12} = 125^{1/12}
\]
\[
\sqrt[3]{7} = 7^{1/3} = 7^{4/12} = (7^4)^{1/12} = 2401^{1/12}
\]
Так как \(2401 > 125\), то \(\sqrt[3]{7} > \sqrt[4]{5}\).
Ответ: \(\sqrt[4]{5} < \sqrt[3]{7}\)
3) \(\sqrt{17}\) и \(\sqrt[3]{28}\)
Решение. Приведем к общему показателю степени (6):
\[
\sqrt{17} = 17^{1/2} = 17^{3/6} = (17^3)^{1/6} = 4913^{1/6}
\]
\[
\sqrt[3]{28} = 28^{1/3} = 28^{2/6} = (28^2)^{1/6} = 784^{1/6}
\]
Так как \(4913 > 784\), то \(\sqrt{17} > \sqrt[3]{28}\).
Ответ: \(\sqrt{17} > \sqrt[3]{28}\)
4) \(\sqrt[4]{13}\) и \(\sqrt[5]{23}\)
Решение:
Приведем к общему показателю степени (20):
\[
\sqrt[4]{13} = 13^{1/4} = 13^{5/20} = (13^5)^{1/20} = 371293^{1/20}
\]
\[
\sqrt[5]{23} = 23^{1/5} = 23^{4/20} = (23^4)^{1/20} = 279841^{1/20}
\]
Так как \(371293 > 279841\), то \(\sqrt[4]{13} > \sqrt[5]{23}\).
Ответ: \(\sqrt[4]{13} > \sqrt[5]{23}\)
Упражнение № 87. Решение
№ 87.
1) Упростите выражение:
\[
\frac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} — \frac{ab^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{b} — \sqrt{a}} — \frac{2a^2}{a — b}
\]
Решение. Приведём все дроби к общему знаменателю \((a — b)(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{b} — \sqrt{a})\).
Упростим числитель:
\[
a^{\frac{3}{2}}(\sqrt{b} — \sqrt{a})(a — b) — ab^{\frac{1}{2}}(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a — b) — 2a^2(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{b} — \sqrt{a})
\]
После раскрытия скобок и сокращения подобных слагаемых получим: \( 0 \)
ОТВЕТ:
\[
\frac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} — \frac{ab^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{b} — \sqrt{a}} — \frac{2a^2}{a — b} = 0
\]
2) Упростите выражение:
\[
\frac{3xy — y^2}{x — y} — \frac{y\sqrt{y}}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} — \frac{y\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}
\]
Решение. Разложим первое слагаемое:
\[
\frac{3xy — y^2}{x — y} = \frac{y(3x — y)}{x — y}
\]
Приведём второе и третье слагаемые к общему знаменателю \((\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = x — y\):
\[
\frac{y\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + y\sqrt{x}(\sqrt{x} — \sqrt{y})}{x — y} = \frac{y(x + y)}{x — y}
\]
Теперь вычтем вторую и третью дроби из первой:
\[
\frac{y(3x — y) — y(x + y)}{x — y} = \frac{2xy — 2y^2}{x — y} = 2y
\]
ОТВЕТ:
\[
\frac{3xy — y^2}{x — y} — \frac{y\sqrt{y}}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} — \frac{y\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = 2y
\]
3. Упростите выражение:
\[
\frac{1}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} — \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{a^{\frac{2}{3}} — \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}}}
\]
Решение. Воспользуемся формулой суммы кубов:
\[
a + b = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(a^{\frac{2}{3}} — \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}})
\]
Тогда:
\[
\frac{1}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} — \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{a^{\frac{2}{3}} — \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}}} = \frac{a^{\frac{2}{3}} — \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}} — (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})^2}{a + b}
\]
Раскроем квадрат и упростим:
\[
\frac{a^{\frac{2}{3}} — \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{2}{3}} — 2\sqrt[3]{ab} — b^{\frac{2}{3}}}{a + b} = \frac{-3\sqrt[3]{ab}}{a + b}
\]
ОТВЕТ: \[
\frac{1}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} — \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{a^{\frac{2}{3}} — \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}}} = -\frac{3\sqrt[3]{ab}}{a + b}
\]
4) Упростите выражение:
\[
\frac{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} — \frac{a — b}{a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}}}
\]
Решение. Разложим первое слагаемое по формуле разности квадратов:
\[
\frac{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}
\]
Во втором слагаемом знаменатель можно представить как:
\[
a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})^2 — \sqrt[3]{ab}
\]
Но удобнее заметить, что:
\[
a — b = (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})(a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}})
\]
Тогда второе слагаемое равно \(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}\).
Теперь вычтем второе слагаемое из первого:
\[
\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} — (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}) = 2\sqrt[3]{b}
\]
ОТВЕТ:
\[
\frac{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} — \frac{a — b}{a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}}} = 2\sqrt[3]{b}
\]
Упражнение № 88. Решение
№ 88. Упростить выражение:
1) \(\frac{a — b}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} — \frac{a + b}{a^{1/3} + b^{1/3}}\)
Решение/ Воспользуемся формулами разности и суммы кубов:
— \(a — b = (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})(a^{2/3} + \sqrt[3]{ab} + b^{2/3})\)
— \(a + b = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(a^{2/3} — \sqrt[3]{ab} + b^{2/3})\)
Подставляем:
\[ \frac{a — b}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} = a^{2/3} + \sqrt[3]{ab} + b^{2/3} \]
\[ \frac{a + b}{a^{1/3} + b^{1/3}} = a^{2/3} — \sqrt[3]{ab} + b^{2/3} \]
Вычитаем:
\[ (a^{2/3} + \sqrt[3]{ab} + b^{2/3}) — (a^{2/3} — \sqrt[3]{ab} + b^{2/3}) = 2\sqrt[3]{ab} \]
Ответ: \(\frac{a — b}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} — \frac{a + b}{a^{1/3} + b^{1/3}} = 2\sqrt[3]{ab}\)
2) \(\frac{a + b}{a^{2/3} — a^{1/3} \cdot b^{1/3} + b^{2/3}} — \frac{a — b}{a^{2/3} + \sqrt[3]{ab} + b^{2/3}}\)
Решение:
В числителях используем формулы суммы и разности кубов:
\[ a + b = (a^{1/3} + b^{1/3})(a^{2/3} — a^{1/3}b^{1/3} + b^{2/3}) \]
\[ a — b = (a^{1/3} — b^{1/3})(a^{2/3} + a^{1/3}b^{1/3} + b^{2/3}) \]
Подставляем:
\[ \frac{a + b}{a^{2/3} — a^{1/3}b^{1/3} + b^{2/3}} = a^{1/3} + b^{1/3} \]
\[ \frac{a — b}{a^{2/3} + \sqrt[3]{ab} + b^{2/3}} = a^{1/3} — b^{1/3} \]
Вычитаем:
\[ (a^{1/3} + b^{1/3}) — (a^{1/3} — b^{1/3}) = 2b^{1/3} \]
Ответ: \(\frac{a + b}{a^{2/3} — a^{1/3} \cdot b^{1/3} + b^{2/3}} — \frac{a — b}{a^{2/3} + \sqrt[3]{ab} + b^{2/3}} = 2b^{1/3}\)
3) \(\frac{a^{2/3} + b^{2/3}}{a — b} — \frac{1}{a^{1/3} — b^{1/3}}\)
Решение:
Приведем к общему знаменателю \((a — b)(a^{1/3} — b^{1/3})\):
\[ \frac{(a^{2/3} + b^{2/3})(a^{1/3} — b^{1/3}) — (a — b)}{(a — b)(a^{1/3} — b^{1/3})} \]
Раскроем числитель:
\[ (a^{2/3} + b^{2/3})(a^{1/3} — b^{1/3}) — (a — b) = a — a^{2/3}b^{1/3} + a^{1/3}b^{2/3} — b — a + b = -a^{2/3}b^{1/3} + a^{1/3}b^{2/3} \]
Упростим:
\[ a^{1/3}b^{1/3}(-a^{1/3} + b^{1/3}) = -a^{1/3}b^{1/3}(a^{1/3} — b^{1/3}) \]
Подставим обратно:
\[ \frac{-a^{1/3}b^{1/3}(a^{1/3} — b^{1/3})}{(a — b)(a^{1/3} — b^{1/3})} = \frac{-a^{1/3}b^{1/3}}{a — b}\]
Ответ: \(\frac{a^{2/3} + b^{2/3}}{a — b} — \frac{1}{a^{1/3} — b^{1/3}} = \frac{-a^{1/3}b^{1/3}}{a — b}\)
4) \(\frac{a^{1/3} — b^{1/3}}{a + b} — \frac{1}{a^{2/3} — a^{1/3} \cdot b^{1/3} + b^{2/3}}\)
Решение:
Приведем к общему знаменателю \((a + b)(a^{2/3} — a^{1/3}b^{1/3} + b^{2/3})\):
\[
\frac{(a^{1/3} — b^{1/3})(a^{2/3} — a^{1/3}b^{1/3} + b^{2/3}) — (a + b)}{(a + b)(a^{2/3} — a^{1/3}b^{1/3} + b^{2/3})}
\]
Числитель:
\[
(a^{1/3} — b^{1/3})(a^{2/3} — a^{1/3}b^{1/3} + b^{2/3}) = a — b
\]
Подставляем:
\[
\frac{a — b — a — b}{(a + b)(a^{2/3} — a^{1/3}b^{1/3} + b^{2/3})} = \frac{-2b}{(a + b)(a^{2/3} — a^{1/3}b^{1/3} + b^{2/3})}
\]
Ответ: \(\frac{a^{1/3} — b^{1/3}}{a + b} — \frac{1}{a^{2/3} — a^{1/3} \cdot b^{1/3} + b^{2/3}} = \frac{-2b}{(a + b)(a^{2/3} — a^{1/3}b^{1/3} + b^{2/3})}\)
Упражнение № 89. Решение
№ 89. Упростить выражение:
1) \(\frac{x + y}{x^{2/3} — x^{1/3} \cdot y^{1/3} + y^{2/3}} + \frac{x — y}{x^{2/3} + x^{1/3} \cdot y^{1/3} + y^{2/3}} — \frac{y^{2/3} — y^{2/3}}{x^{1/3} — y^{1/3}}\)
Решение:
Последний член равен нулю (\(y^{2/3} — y^{2/3} = 0\)).
Используем формулы суммы и разности кубов:
\[
x + y = (x^{1/3} + y^{1/3})(x^{2/3} — x^{1/3}y^{1/3} + y^{2/3})
\]
\[
x — y = (x^{1/3} — y^{1/3})(x^{2/3} + x^{1/3}y^{1/3} + y^{2/3})
\]
Подставляем:
\[
\frac{x + y}{x^{2/3} — x^{1/3}y^{1/3} + y^{2/3}} = x^{1/3} + y^{1/3}
\]
\[
\frac{x — y}{x^{2/3} + x^{1/3}y^{1/3} + y^{2/3}} = x^{1/3} — y^{1/3}
\]
Суммируем:
\[
(x^{1/3} + y^{1/3}) + (x^{1/3} — y^{1/3}) = 2x^{1/3}
\]
Ответ: \(\frac{x + y}{x^{2/3} — x^{1/3} \cdot y^{1/3} + y^{2/3}} + \frac{x — y}{x^{2/3} + x^{1/3} \cdot y^{1/3} + y^{2/3}} — \frac{y^{2/3} — y^{2/3}}{x^{1/3} — y^{1/3}} = 2x^{1/3}\)
2) \(\frac{(a — b)^2}{a^{3/2} — b^{3/2}} + \frac{a^2 — b^2}{(a^{1/2} + b^{1/2})(a + a^{1/2}b^{1/2} + b)}\)
Решение. Разложим знаменатели:
\[
a^{3/2} — b^{3/2} = (a^{1/2} — b^{1/2})(a + a^{1/2}b^{1/2} + b)
\]
\[
a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) = (a^{1/2} — b^{1/2})(a^{1/2} + b^{1/2})(a + b)
\]
Подставляем:
\[
\frac{(a — b)^2}{(a^{1/2} — b^{1/2})(a + a^{1/2}b^{1/2} + b)} = \frac{(a^{1/2} — b^{1/2})^2(a^{1/2} + b^{1/2})^2}{(a^{1/2} — b^{1/2})(a + a^{1/2}b^{1/2} + b)} = \frac{(a^{1/2} — b^{1/2})(a^{1/2} + b^{1/2})^2}{a + a^{1/2}b^{1/2} + b}
\]
\[
\frac{a^2 — b^2}{(a^{1/2} + b^{1/2})(a + a^{1/2}b^{1/2} + b)} = \frac{(a^{1/2} — b^{1/2})(a^{1/2} + b^{1/2})(a + b)}{(a^{1/2} + b^{1/2})(a + a^{1/2}b^{1/2} + b)} = \frac{(a^{1/2} — b^{1/2})(a + b)}{a + a^{1/2}b^{1/2} + b}
\]
Суммируем:
\[
\frac{(a^{1/2} — b^{1/2})((a^{1/2} + b^{1/2})^2 + a + b)}{a + a^{1/2}b^{1/2} + b}
\]
Упростим числитель:
\[
(a^{1/2} + b^{1/2})^2 + a + b = a + 2a^{1/2}b^{1/2} + b + a + b = 2a + 2b + 2a^{1/2}b^{1/2}
\]
Подставляем:
\[
\frac{(a^{1/2} — b^{1/2})(2a + 2b + 2a^{1/2}b^{1/2})}{a + a^{1/2}b^{1/2} + b} = 2(a^{1/2} — b^{1/2})
\]
Ответ: \(\frac{(a — b)^2}{a^{3/2} — b^{3/2}} + \frac{a^2 — b^2}{(a^{1/2} + b^{1/2})(a + a^{1/2}b^{1/2} + b)} = 2(a^{1/2} — b^{1/2})\)
3) \(\left(\frac{3x^{2/3} + 5x^{1/3}}{x + 1} : \frac{1}{x^{1/3} + 1}\right) : \left(4x^{1/3} + 4 + \frac{1}{x^{1/3}}\right)\)
Решение. Упростим по частям:
1. Деление дробей:
\[
\frac{3x^{2/3} + 5x^{1/3}}{x + 1} : \frac{1}{x^{1/3} + 1} = \frac{3x^{2/3} + 5x^{1/3}}{x + 1} \cdot (x^{1/3} + 1)
\]
2. Разложим знаменатель \(x + 1\):
\[
x + 1 = (x^{1/3} + 1)(x^{2/3} — x^{1/3} + 1)
\]
3. Подставим:
\[
\frac{3x^{2/3} + 5x^{1/3}}{(x^{1/3} + 1)(x^{2/3} — x^{1/3} + 1)} \cdot (x^{1/3} + 1) = \frac{3x^{2/3} + 5x^{1/3}}{x^{2/3} — x^{1/3} + 1}
\]
4. Упростим вторую часть:
\[
4x^{1/3} + 4 + \frac{1}{x^{1/3}} = \frac{4x^{2/3} + 4x^{1/3} + 1}{x^{1/3}}
\]
5. Деление:
\[
\frac{3x^{2/3} + 5x^{1/3}}{x^{2/3} — x^{1/3} + 1} : \frac{4x^{2/3} + 4x^{1/3} + 1}{x^{1/3}} = \frac{x^{1/3}(3x^{2/3} + 5x^{1/3})}{(x^{2/3} — x^{1/3} + 1)(4x^{2/3} + 4x^{1/3} + 1)}
\]
Дальнейшее упрощение требует разложения на множители, но в общем виде ответ можно записать так:
Ответ: \(\left(\frac{3x^{2/3} + 5x^{1/3}}{x + 1} : \frac{1}{x^{1/3} + 1}\right) : \left(4x^{1/3} + 4 + \frac{1}{x^{1/3}}\right) = \frac{x^{1/3}(3x^{2/3} + 5x^{1/3})}{(x^{2/3} — x^{1/3} + 1)(4x^{2/3} + 4x^{1/3} + 1)}\)
Упражнение № 90. Решение
№ 90. Вкладчик вложил в банк 5000 р. под 2% годовых. Сколько денег получит вкладчик через 3 года?
Решение. Используем формулу сложных процентов:
\[ S = P \cdot (1 + r)^n \]
где:
— \( P = 5000 \) р. — начальная сумма,
— \( r = 0{,}02 \) — годовая процентная ставка,
— \( n = 3 \) года — срок вклада.
Подставляем значения:
\[ S = 5000 \cdot (1 + 0{,}02)^3 = 5000 \cdot 1{,}061208 = 5306{,}04 \text{ р.} \]
ОТВЕТ: Вкладчик вложил в банк 5000 р. под 2% годовых. Сколько денег получит вкладчик через 3 года? = 5306,04 р.
Упражнение № 91. Решение
№ 91. Банк начисляет ежегодно 3% от суммы вклада. Сколько денег получит вкладчик через 2 года 7 месяцев, если первоначальная сумма вклада составляла 2000 р.?
Решение. Сначала найдём начисление за 2 года по формуле сложных процентов:
\[ S_1 = P \cdot (1 + r)^n = 2000 \cdot (1 + 0{,}03)^2 = 2000 \cdot 1{,}0609 = 2121{,}8 \text{ р.} \]
Затем учтём оставшиеся 7 месяцев. Процент за месяц:
\[ r_{\text{мес}} = \frac{3\%}{12} = 0{,}25\% = 0{,}0025 \]
Начисление за 7 месяцев:
\[ S = S_1 \cdot (1 + 0{,}0025)^7 \approx 2121{,}8 \cdot 1{,}0176 \approx 2159{,}14 \text{ р.} \]
ОТВЕТ: Банк начисляет ежегодно 3% от суммы вклада. Сколько денег получит вкладчик через 2 года 7 месяцев, если первоначальная сумма вклада составляла 2000 р.? = 2159,14 р.
Вы смотрели: Учебник по алгебре УМК Алимов, Колягин 10 класс. Цитаты из пособия 2022 года использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Алгебра Алимов Упражнения 83-91.