Геометрия Мерзляк МП Контрольная 1 В1-В2 (10 класс)

Методическое пособие: Геометрия Мерзляк МП Контрольная 1 для 10 класса по теме «Аксиомы стереометрии и следствия из них» для УМК Мерзляк Базовый уровень (четыре варианта). Цитаты из пособия «Методическое пособие. Геометрия 10 класс. Базовый уровень» использованы в учебных целях. Ответы только на Вариант 1.

ОГЛАВЛЕНИЕ К-1 Варианты 1-2 из ДМ К-1 Варианты 3-4 из МП

Геометрия (ДМ Мерзляк)
Контрольная К-1 Варианты 1-2

МП К-1 Вариант 1 + Ответы

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть задания Варианта 1

№ 1. На рисунке 1 изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите прямую пересечения плоскостей A₁DC и BB₁C₁.

ОТВЕТ: В₁С.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ОБЪЯСНЕНИЕ

1. Определим что такое плоскость A₁DC в кубе.
По трем точкам A₁, D и C можно построить сечение куба. Это сечение представляет собой прямоугольник A₁B₁CD.
Доказательство: В кубе противоположные грани параллельны. Рассмотрим отрезок DC (ребро нижней грани) и точку A₁. Проведем через точку A₁ прямую, параллельную DC. Так как A₁B₁ || D₁C₁, а D₁C₁ || DC (по свойству параллельности ребер куба), то A₁B₁ || DC. Следовательно, четырехугольник A₁B₁CD — это параллелограмм (у него две противоположные стороны A₁B₁ и DC параллельны и равны). Более того, поскольку все ребра куба равны, A₁D = B₁C, значит, этот параллелограмм является прямоугольником.
Вывод: Плоскость A₁DC тождественна плоскости A₁B₁CD.
2) Определим что такое плоскость BB₁C₁ в кубе. Это плоскость правой боковой грани куба, которая также является прямоугольником BB₁C₁C.
3) Найдем общие точки двух плоскостей.
— Плоскость A₁B₁CD и плоскость BB₁C₁C уже имеют одну общую точку — C (она принадлежит и отрезку DC, и грани BB₁C₁C).
— Найдем вторую общую точку. В плоскости A₁B₁CD лежит точка B₁ (по построению сечения). Точка B₁ также лежит в плоскости BB₁C₁C (по определению этой грани).
— Таким образом, точки B₁ и C принадлежат обеим плоскостям.
4) Определим линию пересечения.
По аксиоме стереометрии: если две различные плоскости имеют две общие точки, то вся прямая, проходящая через эти точки, является их линией пересечения. Обе плоскости содержат точки B₁ и C. Следовательно, прямая B₁C является искомой линией пересечения плоскостей A₁DC (т.е. A₁B₁CD) и BB₁C₁.
Правильный ответ: B₁C.

№ 2. Даны точки A, B и C такие, что AB = 12 см, BC = 19 см, AC = 7 см. Сколько плоскостей можно провести через точки A, B и C? Ответ обоснуйте.
ОТВЕТ: бесконечно много плоскостей.
Обоснование: 19 см = 12 см + 7 см ⇒ ВС = АВ + АС
Отсюда следует, что точки А, В и С лежат на одной прямой, а как известно, через одну прямую можно провести бесконечное число плоскостей.

№ 3. Плоскость а проходит через вершины A и D параллелограмма ABCD и точку O пересечения его диагоналей. Докажите, что прямая BC лежит в плоскости а.
Ответ см. в спойлере.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Дано: ABCD — параллелограмм, O = AC ∩ BD, плоскость α проходит через A, D, O.
Доказать: BC ⊂ α.
Доказательство:
1. Так как A ∈ α и O ∈ α, то вся прямая AO лежит в плоскости α.
Но AO ⊂ AC (диагональ параллелограмма), значит C ∈ AC ⊂ α.
Вывод: C ∈ α.
2. Так как D ∈ α и O ∈ α, то вся прямая DO лежит в плоскости α.
Но DO ⊂ BD (диагональ параллелограмма), значит B ∈ BD ⊂ α.
Вывод: B ∈ α.
3. Так как две точки B и C прямой BC лежат в плоскости α, то и вся прямая BC лежит в плоскости α.
Что и требовалось доказать.

№ 4. Точки M и N принадлежат соответственно граням SAB и SAC пирамиды SABC (рис. 2). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC.
Решение: Из точки S в заданных гранях через точки M и N проводим прямые до пересечения с плоскостью АВС. Прямая КР – след пересечения плоскости, проходящей через прямые SK и SP с плоскостью АВС. Проводим прямую MN и точка D – это точка пересечения с плоскостью АВС.

№ 5. Постройте сечение пирамиды SABC плоскостью, проходящей через точки D, E и F, принадлежащие соответственно рёбрам AB, BC и SC, причём прямые DE и AC не параллельны.
Дано: Пирамида SABC. Точка D лежит на ребре AB. Точка E лежит на ребре BC. Точка F лежит на ребре SC. Прямые DE и AC не параллельны.
Решение:
1. Начальное построение: Соединяем точки D и E (лежат в грани ABC). Соединяем точки E и F (лежат в грани SBC)
2. Построение дополнительных точек: Продлеваем прямую EF до пересечения с ребром SB. Получаем точку T (EF ∩ SB = T). Соединяем точки T и D (лежат в грани ABS). Находим точку пересечения TD с ребром SA. Получаем точку H (TD ∩ SA = H).
3. Корректировка построения: Так как точка T находится за пределами пирамиды, основное внимание уделяем точке H. Соединяем точки H и F (лежат в грани SAC). Соединяем точки D и H (лежат в грани ABS)
4. Обоснование построения: Точки D, E, F, H лежат в одной плоскости. Все построенные точки являются точками пересечения секущей плоскости с рёбрами пирамиды. Полученная фигура является замкнутой ломаной линией
Ответ: Сечением пирамиды является четырёхугольник DEFH, где:
DE лежит в грани ABC
EF лежит в грани SBC
FH лежит в грани SAC
HD лежит в грани ABS. См.рисунок в спойлере.

Смотреть РЕШЕНИЕ задачи № 5 в тетради

МП К-1 Вариант 2 + Ответы

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть задания Варианта 2

№ 1. На рисунке 3 изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите прямую пересечения плоскостей A₁BC и ABB₁.
Решение: точки А₁ и В ∈ A₁BC и ABB₁ => A₁BC ∩ ABB₁ = А₁В.

ОТВЕТ: А₁В.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ОБЪЯСНЕНИЕ

1) Определим плоскости.
— Плоскость A₁BC проходит через вершину A₁, ребро основания BC и вершину C нижнего основания.
— Плоскость ABB₁ — это левая боковая грань куба, содержащая точки A, B, B₁ и A₁.
2) Найдем общие точки плоскостей.
Точка B: Является вершиной куба и принадлежит обеим плоскостям (по их определению).
Точка A₁: Лежит в плоскости ABB₁ (так как это грань ABB₁A₁). Точка A₁ также лежит в плоскости A₁BC (по определению этой плоскости).
3) Определим линию пересечения.
По аксиоме стереометрии, поскольку точки A₁ и B принадлежат обеим плоскостям, прямая A₁B является линией их пересечения.
Отрезок A₁B является диагональю грани ABB₁A₁ и целиком лежит в обеих плоскостях.
Правильный ответ: A₁B.

№ 2. Даны точки M, N и K такие, что MN = 23 см, MK = 14 см, NK = 13 см. Сколько плоскостей можно провести через точки M, N и K? Ответ обоснуйте.
ОТВЕТ: только одну плоскость.
Обоснование: 14 см + 13 см = 27 см ≠ 23 см => MN ≠ MK + NK
Отсюда следует, что точки M, N и K не лежат на одной прямой, а как известно, бесконечное число плоскостей можно провести только через одну прямую.

№ 3. Точки D и E — середины сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Плоскость а проходит через точки B, D и E. Докажите, что прямая AC лежит в плоскости а.

Доказательство: Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости (аксиома).
1) Точки В и D лежат в плоскости α, значит все точки прямой BD лежат в плоскости α, т.е. точка А лежит в плоскости α.
2) Точки В и Е лежат в плоскости α, значит все точки прямой BЕ лежат в плоскости α, т.е. точка С лежит в плоскости α.
3) Так как две точки прямой АС лежат в плоскости α, то прямая АС лежит в плоскости α.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть другое РЕШЕНИЕ

Дано: △ABC, D — середина AB, E — середина BC, плоскость α проходит через B, D, E.
Доказать: AC ⊂ α.
Доказательство:
1. Так как B ∈ α и D ∈ α, то вся прямая BD лежит в плоскости α.
Но D — середина AB, значит A ∈ BD ⊂ α. Вывод: A ∈ α.
2. Так как B ∈ α и E ∈ α, то вся прямая BE лежит в плоскости α.
Но E — середина BC, значит C ∈ BE ⊂ α. Вывод: C ∈ α.
3. Так как две точки A и C прямой AC лежат в плоскости α, то и вся прямая AC лежит в плоскости α.
Что и требовалось доказать.

№ 4. Точки M и N принадлежат соответственно граням SAB и SBC пирамиды SABC (рис. 4). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Из точки S в заданных гранях через точки M и N проводим прямые до пересечения с плоскостью АВС. Прямая КР – результат пересечения плоскости, проходящей через прямые SK и SP с плоскостью АВС. Проводим прямую MN и точка D – это точка пересечения с плоскостью АВС.

№ 5. Постройте сечение призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью, проходящей через точки M, K и N, принадлежащие соответственно рёбрам AB, BC и CC₁, причём прямые MK и AC не параллельны.
Дано: Призма ABCA₁B₁C₁. Точка M лежит на ребре AB. Точка K лежит на ребре BC. Точка N лежит на ребре CC₁. Прямые MK и AC не параллельны.
Решение:
1. Начальное построение: Соединяем точки M и K (лежат в грани ABC). Соединяем точки K и N (лежат в грани BCC₁B₁).
2. Построение дополнительных точек: Продлеваем прямую NK до пересечения с ребром BB₁. Получаем точку E (NK ∩ BB₁ = E). Соединяем точки E и M (лежат в грани ABB₁A₁). Находим точку пересечения EM с ребром AA₁. Получаем точку T (EM ∩ AA₁ = T)
3. Корректировка построения: Соединяем точки T и N (лежат в грани ACC₁A₁). Соединяем точки M и T (лежат в грани ABB₁A₁).
4. Обоснование построения: Точки M, K, N, T лежат в одной плоскости. Все построенные точки являются точками пересечения секущей плоскости с рёбрами призмы. Полученная фигура является замкнутой ломаной линией.
Ответ: Сечением призмы является четырёхугольник MKNT, где:
MK лежит в грани ABC
KN лежит в грани BCC₁B₁
NT лежит в грани ACC₁A₁
TM лежит в грани ABB₁A₁
См. рисунок в спойлере.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Вы смотрели: Методическое пособие Геометрия Мерзляк МП Контрольная 1 для 10 класса по теме «Аксиомы стереометрии и следствия из них» для УМК Мерзляк Базовый уровень (четыре варианта). Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Геометрия 10 класс. Базовый уровень» использованы в учебных целях.

ОГЛАВЛЕНИЕ К-1 Варианты 1-2 из ДМ К-1 Варианты 3-4 из МП

Частная школа 10 класс

Конспекты, контрольные, тесты