Частная школа. 10 класс

Контрольная работа № 1 по алгебре в 10 классе с ответами. Используется при работе по УМК Никольский. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс : базовый и углубленный уровни / Потапов, Шевкин» использованы в учебных целях. Ответы адресованы родителям. Алгебра 10 Никольский Контрольная 1 + ответы.

Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ

Алгебра 10 Никольский Контрольная 1

К-1. Вариант 1 (задания и ответы)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть только задания Варианта 1

№ 1. Упростите выражение (3a/(a²–b²) + 3/(b–a) – 4/(a+b)) : 1/(5a–5b)
ОТВЕТ: 5.

№ 2. Решите уравнение (2x+3)/(x²–2x) – (x–3)/(x²+2x) = 0.
ОТВЕТ: –12.

№ 3. Решите неравенство: a) ((x–2) (x+2))/(x–3) < 0;
б) (x²–10x+25)/(x²–4x–12) ≥ 0.
ОТВЕТ: а) (–∞; –2) ∪ (2; 3);
б) (–∞; –2) ∪ {5} ∪ (6; +∞).

№ 4. * а) Упростите выражение (1/(n²–n) + 1/(n²+n)) : (n+3)/(n²–1).
б) Найдите значение полученного выражения при п = –1.
ОТВЕТ: а) 2/(n + 3); б) 1.

№ 5. * Докажите справедливость неравенства: а) х² + у² – 2х + 4у +5 ≥ 0; б) х⁴ – 3х² – 2х + 6 > 0; в) х²+ 2х + 1/(х² + 2х + 2) ≥ 0.
Решение: Самое идеальное – это преобразовать данное выражение в квадрат какого-то многочлена, но для доказательства положительности того или иного выражения достаточно выделить из исходного выражения суммы квадратов многочленов, одночленов и положительных чисел. Посмотрите примеры доказательств в 2–м варианте и сделайте также.

№ 6. * Решите уравнение х⁴ – х³ – 3х² + 4х – 4 = 0.
ОТВЕТ: –2; 2.

№ 7. * К двузначному числу приписали цифру 1 сначала справа, потом слева, получились два числа, разность которых равна 234. Найдите это двузначное число.
ОТВЕТ: 37.

К-1. Вариант 2 (задания и ответы)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть задания Варианта 2

№ 1. Упростите выражение (6a/(a²–b²) – 2/(a+b) + 3/(b–a)) : 1/(4a+4b).
ОТВЕТ: 4.

№ 2. Решите уравнение (2x+4)/(x²–x) – (x–4)/(x²+x) = 0.
ОТВЕТ: –11.

№ 3. Решите неравенство: а) ((x–2) (x–4))/(x+3) < 0;
б) (x²–8x+16)/(x²–3x–10) ≥ 0.
ОТВЕТ: а) (–∞; –3) ∪ (2; 4);
б) (–∞;–2) ∪ {4} ∪ (5; +∞).

№ 4. * а) Упростите выражение (1/(n²–n) – 1/(n²+n)) : (n–2)/(n²–1);
б) Найдите значение полученного выражения при п = –1.
ОТВЕТ: а) 2/(n(n – 2)); б) 2/3.

№ 5. * Докажите справедливость неравенства: а) х² + у² – 4х + 2у + 5 ≥ 0; б) х⁴ – 5х² – 2х + 11 > 0; в) х² – 2х + 1/( х² – 2х + 2) ≥ 0.
Решение: 
     а) х² + у² – 4х + 2у + 5 ≥ 0. Доказательство: Преобразуем левую часть неравенства: x² + y² – 4x + 2y + 5 = (x² – 4x + 4) + (y² + 2y + 1) = (x – 2)² + (y + 1)². Поскольку при любом значении x верно неравенство (x – 2)² ≥ 0 и при любом значении y верно неравенство  (y + 1)² ≥ 0, то при любых значениях x и y верно неравенство (x — 2)² + (y + 1)² ≥ 0, следовательно, верно и неравенство: x² + y² — 4x + 2y + 5 ≥ 0.;
     б) х⁴ – 5х² – 2х + 11 > 0. Доказательство: х⁴– 5х² – 2х + 11 = (x⁴ – 6x² + 9) + (x² – 2x + 1) + 1 = (x² – 3)² + (x – 1)² + 1. Преобразованное выражение представляет собой сумму квадратов выражений плюс число 1, каждое из них больше 0, а значит и исходное выражение х⁴ – 5х² – 2х + 11 > 0 справедливо при любом значении х;
     в) х² – 2х + 1/( х² – 2х + 2) ≥ 0. Доказательство: Числитель x² – 2x + 1 преобразуем в (х – 1)², и видим, что он неотрицателен. В знаменателе x² – 2x + 2 = x² – 2x + 1 + 1 = (x² – 2x + 1) + 1 = (х –1)² + 1, т.е. знаменатель всегда положителен. Таким образом числитель либо положителен, ли бо равен нулю, а знаменатель всегда положителен. Значит вся дробь либо равна нулю (при х = 1), либо положительна (при значениях х, отличных от 1).

№ 6. * Решите уравнение х⁴ + х³ – 8х²– 9х – 9 = 0.
ОТВЕТ: –3; 3.

№ 7. * К двузначному числу приписали цифру 4 сначала справа, потом слева, получились два числа, разность которых равна 432. Найдите это двузначное число.
ОТВЕТ: 92.

Алгебра 10 Никольский Контрольная 1

К-1. Вариант 3 (задания и ответы)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть только задания Варианта 3

№ 1. Упростите выражение (10a/(a²–b²) + 5/(b–a) – 4/(a+b)) : 3/(a+b).
ОТВЕТ: 1/3.

№ 2. Решите уравнение (2х + 7)/(х² + 2x) – (x – 1)/(х² + 6x + 8) = 0
ОТВЕТ: –14.

№ 3. Решите неравенство: а) (x + 1)(x + 3)/(x – 2) < 0;
б) (х² – 4x + 4)/(х² – x – 20) ≥ 0.
ОТВЕТ: а) (–∞; –3) ∪ (–1; 2);
б) (–∞; –4) ∪ {2} ∪ (5; +∞).

№ 4. * а) Упростите выражение (1/(n²+3n+2) – 1/(n²–n)) : (n+2)/(n²–2n);
б) Найдите значение полученного выражения при n = 2.
ОТВЕТ: ) 2/(n + 2); б) 1/2.

№ 5. * Докажите справедливость неравенства: а) х² + y² – 6х + 4у +13 ≥ 0; б) х⁴ + 13х² – 6х + 6 > 0;  в) х² + 3 > √(х⁴ + 6х² + 8).
Решение: Самое идеальное – это преобразовать данное выражение в квадрат какого-то многочлена, но для доказательства положительности того или иного выражения достаточно выделить из исходного выражения суммы квадратов многочленов, одночленов и положительных чисел. Посмотрите примеры доказательств в 2–м варианте и сделайте также.

№ 6. * Решите уравнение х⁴ + 4х³ – 2х² – 12х + 9 = 0.
ОТВЕТ: 1; –3.

№ 7. * К трехзначному числу приписали цифру 3 сначала справа, потом слева, получились два числа, разность которых равна 3114. Найдите это трехзначное число.
ОТВЕТ: 679.

К-1. Вариант 4 (задания и ответы)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть только задания Варианта 4

№ 1. Упростите выражение (–4a/(a²–b²) + 2/(a+b) – 3/(b–a)) : 2/(a–b).
ОТВЕТ: 1/2.

№ 2. Решите уравнение (2х + 6)/(х² + x) – (х – 3)/(х² + Зx + 2) = 0.
ОТВЕТ: –12.

№ 3. Решите неравенство: а) (x + 1)(x – 1)/(x + 4) < 0;
б) (х² – 6x + 9)/(х² – 4x – 5) ≥ 0.
ОТВЕТ: а) (–∞; –4) ∪ (–1; 1);
б) (–∞; –1) ∪ {3} ∪ (5; +∞).

№ 4. * а) Упростите выражение (1/(n²–n) – 1/(n²+3n+2)) : (n–3)/(n²+2n);
б) Найдите значение полученного выражения при n = 0.
ОТВЕТ: а) 2/((n–3) (n+1)); б) –2/3.

№ 5. * Докажите справедливость неравенства: а) х² + у² + 4х – 6у +13 ≥ 0; б) х⁴ + 10х² – 4х + 14 > 0; в) х² + 4 > √(х⁴ + 8х² + 15).
Решение: Самое идеальное – это преобразовать данное выражение в квадрат какого-то многочлена, но для доказательства положительности того или иного выражения достаточно выделить из исходного выражения суммы квадратов многочленов, одночленов и положительных чисел. Посмотрите примеры доказательств во 2–м варианте и сделайте также.

№ 6. * Решите уравнение х⁴ – 4х³ – 2х² + 12x + 9 = 0.
ОТВЕТ: –1; 3.

№ 7. * К трехзначному числу приписали цифру 2 сначала справа, потом слева, получились два числа, разность которых равна 4113. Найдите это трехзначное число.
ОТВЕТ: 679.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть только ОТВЕТЫ на все 4 варианта

Вернуться к Списку контрольных работ по алгебре в 10 классе (Никольский)

Вы смотрели: Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Контрольная работа с ответами. Используется при работе по УМК Никольский. Цитаты из пособия Потапова и Шевкина использованы в учебных целях. Ответы адресованы родителям.
Алгебра 10 Никольский Контрольная 1 + ответы.