Методическое пособие: Геометрия Мерзляк МП Контрольная 4 В1-В2 для 10 класса по теме «Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями. Перпендикулярные плоскости» для УМК Мерзляк Базовый уровень (четыре варианта). Цитаты из пособия «Методическое пособие. Геометрия 10 класс. Базовый уровень» использованы в учебных целях. Ответов нет.
ОГЛАВЛЕНИЕ К-4 Варианты 1-2 из ДМ К-4 Варианты 3-4 из МП
Геометрия (ДМ Мерзляк)
Контрольная К-4 Варианты 1-2
МП К-4 Вариант 1
№ 1. Из точки D, которая лежит вне плоскости а, проведены к этой плоскости наклонные DK и DB, образующие с ней углы 45° и 60° соответственно. Найдите длину проекции наклонной DK на плоскость а, если DB = 10√3 см.
Решение:
1. Проекция наклонной DB на плоскость α:
DB_{проекция} = DB • cos 60° = 10√3 • 1/2 = 5√3 см.
Это расстояние от основания перпендикуляра из D до точки B в плоскости α.
2. Пусть DH — перпендикуляр из D на плоскость α. Тогда DH — общий катет для треугольников DHK и DHB.
Из ΔDHB:
DH = DB • sin 60° = 10√3 • √3/2 = 15 см.
3. Из ΔDHK (угол между DK и плоскостью α равен 45°):
Проекция DK на плоскость α — это отрезок HK.
tan 45° = DH/HK ⇒ 1 = 15/HK ⇒ HK = 15 см.
✅ Ответ: 15 см.
№ 2. Точка A принадлежит одной из граней двугранного угла и удалена от другой грани на 8 см. Найдите расстояние от точки А до ребра двугранного угла, если величина этого угла равна 45°.
Решение:
1. Пусть ребро двугранного угла — прямая l.
Проведём из точки A перпендикуляр AB на ребро l (B ∈ l).
Проведём из точки A перпендикуляр AC на вторую грань (C — основание перпендикуляра на плоскость второй грани).
Тогда BC — проекция AB на вторую грань, и по теореме о трёх перпендикулярах BC ⟂ l.
2. Угол между плоскостями равен линейному углу ∠ABC = 45°.
В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°):
AC = 8 см — расстояние от A до второй грани.
sin 45° = AC/AB ⇒ √2/2 = 8/AB ⇒ AB = 8 • 2/√2 = 8√2 см.
✅ Ответ: 8√2 см.
№ 3. Угол между плоскостями треугольников ABC и ABD равен 45°. Треугольник ABC — равносторонний со стороной 4√3 см, треугольник ABD — равнобедренный, AD = BD = √14 см. Найдите отрезок CD.
Решение:
1. Общая сторона AB — линия пересечения плоскостей.
Найдём середину E отрезка AB.
В равностороннем ΔABC: CE || AB ,
CE = AB√3/2 = 4√3 • √3/2 = 4 • 3/2 = 6 см.
2. В равнобедренном ΔABD (AD = BD): DE || AB ,
AE = AB/2 = 2√3 см.
DE = √{AD² ─ AE²} = √{14 ─ 12} = √2 см.
3. Угол между плоскостями равен углу между CE и DE, т.е. ∠CED = 45°.
В ΔCED по теореме косинусов:
CD² = CE² + DE² ─ 2 • CE • DE • cos 45°
CD² = 36 + 2 ─ 2 • 6 • √2 • √2/2 = 38 ─ 12 = 26
CD = √26 см.
✅ Ответ: √26 см.
№ 4. Концы отрезка, длина которого равна 5√5 см, принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Расстояния от концов этого отрезка до линии пересечения плоскостей равны 5 см и 8 см. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей.
Решение:
1. Пусть плоскости α и β перпендикулярны, линия пересечения — прямая l.
Точка A ∈ α, точка B ∈ β, AB = 5√5 см.
Проведём AA₁ ⟂ l (A₁ ∈ l), BB₁ ⟂ l (B₁ ∈ l).
Дано: AA₁ = 5 см, BB₁ = 8 см.
2. Плоскости перпендикулярны, поэтому AA₁ ⟂ β (так как AA₁ ⟂ l и α ⟂ β).
Тогда A₁B₁ — проекция AB на плоскость β.
В прямоугольном треугольнике AA₁B (∠A₁ = 90°):
A₁B² = AB² ─ AA₁² = (5√5)² ─ 5² = 125 ─ 25 = 100 ⇒ A₁B = 10 см.
3. В прямоугольном треугольнике BB₁A₁ (∠B₁ = 90°):
A₁B₁² = A₁B² ─ BB₁² = 100 ─ 64 = 36 ⇒ A₁B₁ = 6 см.
✅ Ответ: 6 см.
№ 5. Через гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника проведена плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол 45°. Найдите синусы углов, которые образуют катеты треугольника с этой плоскостью.
Решение:
1. Пусть ΔABC — прямоугольный равнобедренный (∠C = 90°, AC = BC).
Гипотенуза AB лежит в плоскости β, плоскость α — плоскость треугольника.
Угол между плоскостями α и β равен 45°.
2. Возьмём середину M гипотенузы AB. В равнобедренном прямоугольном треугольнике CM ⟂ AB (медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы и перпендикулярна ей в равнобедренном случае).
Угол между плоскостями — линейный угол между CM и его проекцией на β.
Пусть CH — перпендикуляр из C на плоскость β (H ∈ β). Тогда HM — проекция CM на β, ∠CMH = 45°.
3. Пусть AC = BC = a, тогда AB = a√2 , CM = AB/2 = a√2/2.
Из ΔCHM (∠H = 90°):
CH = CM • sin 45° = a√2/2 • √2/2 = a/2.
4. Угол между катетом AC и плоскостью β — это угол между AC и её проекцией AH на β.
В прямоугольном треугольнике ACH (∠H = 90°):
sin(∠CAH) = CH/AC = (a/2)/a = 1/2.
Аналогично для катета BC.
✅ Ответ: 1/2; 1/2.
МП К-4 Вариант 2
№ 1. Из точки K, которая лежит вне плоскости а, проведены к этой плоскости наклонные KA и KB, образующие с ней углы 45° и 30° соответственно. Найдите длину проекции наклонной KB на плоскость а, если KA = 8√6 см.
Решение:
Пусть KO — перпендикуляр из K на плоскость α.
Тогда AO — проекция KA , BO — проекция KB.
Для KA :
∠KAO = 45° ⇒ AO = KA • cos 45° = 8√6 • √2/2 = 8√3 см.
Также KO = KA • sin 45° = 8√6 • √2/2 = 8√3 см.
Для KB :
∠KBO = 30° ⇒ BO = KO • ctg 30° = 8√3 • √3 = 24 см.
✅ Ответ: 24 см.
№ 2. Точка M принадлежит одной из граней двугранного угла и удалена от его ребра на 12 см. Найдите расстояние от точки M до другой грани угла, если величина этого угла равна 60°.
Решение:
Пусть ребро двугранного угла — прямая l , точка M лежит в грани α , MH || l (в плоскости α), MH = 12 см.
Проведём MK || второй грани β , тогда K лежит в β , MK — искомое расстояние.
В плоскости, перпендикулярной l , MH и MK — катеты, угол между плоскостями α и β равен 60° , значит, в сечении перпендикулярно l угол между MH и MK равен 60°.
Тогда MK = MH • sin 60° = 12 • √3/2 = 6√3 см.
✅ Ответ: 6√3 см.
№ 3. Угол между плоскостями треугольников ABC и AKC равен 60°, AC = 24 см, BC = BA = 20 см, KC = KA = 15 см. Найдите отрезок BK.
Решение:
Треугольники ABC и AKC имеют общую сторону AC.
В △ ABC : AB = BC = 20 , AC = 24.
Найдём высоту BH в △ ABC к стороне AC :
AH = HC = 12.
BH = √{AB² ─ AH²} = √{400 ─ 144} = √256 = 16 см.
В △ AKC : AK = KC = 15 , AC = 24.
Высота KH в △ AKC к стороне AC :
KH = √{AK² ─ AH²} = √{225 ─ 144} = √81 = 9 см.
Угол между плоскостями ABC и AKC равен углу между высотами BH и KH , проведёнными к AC в этих треугольниках, так как AC — линия пересечения плоскостей, BH || AC , KH || AC.
Значит, ∠BHK = 60°.
В треугольнике BHK : BH = 16 , KH = 9 , угол между ними 60°.
По теореме косинусов:
BK² = BH² + KH² ─ 2 • BH • KH • cos 60°
BK² = 256 + 81 ─ 2 • 16 • 9 • 1/2
BK² = 337 ─ 144 = 193
BK = √193 см.
✅ Ответ: √193 см (≈ 13,89 см).
№ 4. Концы отрезка, длина которого равна 16 см, принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Расстояния от концов этого отрезка до линии пересечения плоскостей равны 8 см и 8√2 см. Найдите углы, которые образует отрезок с данными плоскостями.
ОТВЕТ: 30°, 45°.
№ 5. Через сторону правильного треугольника проведена плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол 30°. Найдите синусы углов, которые образуют две другие стороны треугольника с этой плоскостью.
Решение:
Пусть ABC — правильный треугольник со стороной a. Проведена плоскость через сторону AB. Эта плоскость образует с плоскостью ABC двугранный угол 30°.
Пусть CH — высота треугольника ABC к стороне AB , H — середина AB.
В плоскости ABC CH || AB. В проведённой плоскости AB лежит, значит, угол между плоскостями — угол между CH и его проекцией на новую плоскость. Но проще: рассмотрим линейный угол двугранного угла: в плоскости, перпендикулярной AB , это угол между высотой CH и её проекцией на новую плоскость.
Новая плоскость содержит AB и наклонена к ABC на 30°. Значит, если опустить перпендикуляры из точек C и H на новую плоскость… Лучше: возьмём точку C , расстояние от C до новой плоскости равно CH • sin 30° , так как CH перпендикулярен линии пересечения плоскостей AB.
CH = √3/2a.
Расстояние от C до новой плоскости:
d = CH • sin 30° = √3/2a • (1/2) = √3/4a.
Теперь: две другие стороны — AC и BC , они равны.
Рассмотрим AC. Длина AC = a. Проекция AC на новую плоскость: A и проекция C на новую плоскость C’. Но A лежит в новой плоскости, значит, проекция A — сама A.
Расстояние от C до новой плоскости d.
Угол между AC и новой плоскостью: sin φ = d/AC = {√3/4a}/a = √3/4. Аналогично для BC.
✅ Ответ: √3/4, √3/4.
Вы смотрели: Методическое пособие Геометрия Мерзляк МП Контрольная 4 В3-В4 для 10 класса по теме «Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями. Перпендикулярные плоскости» для УМК Мерзляк Базовый уровень (четыре варианта). Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Геометрия 10 класс. Базовый уровень» использованы в учебных целях.
ОГЛАВЛЕНИЕ К-4 Варианты 1-2 из ДМ К-4 Варианты 3-4 из МП
пожалуйста добавьте ответы
Добавили.
Добавьте решение на все задания
Добавили.